Kirichenko_Elektrichestvo_i_Magnetizm

dS

Рис. 1.2.2. Нахождение потока напряжённости поля через произвольно ориенти­ рованную элементарную площадку

Рис. 1.2.3. Заряд находится вне замкнутой поверхности

Подобно тому, как было сделано выше, находим:

■ЕJSj = ■ Ч t/iVj у — cl ,

—EJS2 —-i—~dS2 гг —’hqd£l.

Г2

Здесь учтено, что площадки c/Si и dS2 ориентированы противоположно по отношению к радиус-вектору, идущему от точечного заряда q (рйс. 1.2.3). Таким образом, для каждой силовой линии, пересекающей по­ верхность дважды, dO =dФ l +<^Ф2 =0. Если же силовая линия не пе­

ресекает поверхность, то соответствующий поток напряжённости равен нулю по смыслу понятия потока.

4) Заряд находит ся внут ри поверхност и, но сгш овая линия п е­ р есека ет поверхност ь бол ее чем в одной т очке

В простейшем случае число пересечений составляет три (рис. 1.2.4). В общем случае число пересечений нечётно.

Выбирая элементарный конус вокруг соответствующей силовой линии, и суммируя потоки напряжённости через площадки, высекаемые конусом на поверхности, имеем dФ =dФ l + dФ 2 +dФ■i . Как видно из

рисунка, потоки напряжённости через площадки 1, 2 и 3 чередуются по знаку вследствие чередования ориентации внешних нормалей к поверх-

21

ности вдоль силовой линии: (1ФХ=—<1Ф2 =+(1Ф^. Равенство этих пото­

ков по абсолютной величине доказывается точно так же, как это сдела­

но выше и следует из равенств |c/Sj =г 2d fl, Е = q j г 2 и того, что в про­

изведении E(/S множитель г2 сокращается. Таким образом, получаем, что если заряд находится внутри поверхности, то независимо от числа точек пересечения силовой линии с поверхностью выполняется равен­ ство типа

=<ЙЕ>! + «?Ф2 + ЛФ3 = <1ФХ=>. Ф = | qdCl =Artq.

An

Рис. 1.2.4. Силовая линия пересекает поверхность в трёх точках

5) Система зарядов

Пусть теперь имеется произвольная система зарядов {q,}. В силу

принципа суперпозиции поле, создаваемое этой системой, равно

Е= 1 Е*

ii ri

где г,-— радиус-вектор точки наблюдения, относительно положения г-го заряда. Выберем некоторую замкнутую поверхность. Соответственно поток напряжённости поля Е можно представить как сумму потоков, создаваемых отдельными зарядами системы:

Ф =<j)ErfS = ] [ $ E (.rfS = Х Ф<>

Разобьём заряды на две группы: одни находятся внутри поверхно­ сти, а другие — вне её. Как было показано, если заряд находится вне поверхности, то создаваемый им поток равен нулю. Следовательно, для нахождения потока достаточно учитывать только заряды, находящиеся внутри поверхности. Для них Фг- =Ajrqi. Окончательно получаем

Для доказательства теоремы Гаусса в дифференциальной форме применим доказанное интегральное соотношение, к малому объёму AV, поделив обе стороны равенства на ЛF:

22

— фТЕгй='4яг S L ­

1.2.3.П рим еры п р и м ен ен и я т еор ем ы Г а у сса

1)Поле равном ерно заряж ен н ой плоскост и

Выберем элементарную площадку площадью dS на плоскости и вокруг неё элементарный объём в виде прямоугольного параллелепипе­ да, две стороны которого параллельны рассматриваемой плоскости, так

Из соображений симметрии следует, что вектор напряжённости поля направлен по нормали к плоскости, причём в противоположные стороны по разные стороны от плоскости. Тогда поток через выбранную поверхность равен

Ф =EjdSx+E2d$2 =2EdS.

Пусть поверхностная плотность заряда на плоскости (т.е. заряд, прихо­

23

2) П оле равном ерно заряж енн ой нити

Пусть бесконечно длинная нить равномерно заряжена с линейной плотностью заряда г. Из соображении симметрии ясно, что силовые линии поля направлены от нити по нормали к ней (рис. 1.2.6).

Окружим нить цилиндром радиуса г с длиной образующей, равной dl (рис. 1.2.6 справа). Поскольку линейная плотность заряда равна г, то в объёме цилиндра находится заряд dq —rdl. Имея в виду, что площадь

3) Полеравном ерно заряж ен н ого шара

Пусть имеется шар радиуса R, заряженный сферически симметрич­ но с плотностью заряда р{г) (рис. 1.2.7).

Рис. 1.2.7. К расчёту поля шара, равномерно заряженного по его объёму

Из соображений симметрии следует, что поле всюду направлено параллельно радиус-вектору: Ё |г . Используем теорему Гаусса в инте- 1ральной форме. Выберем сферическую поверхность S радиуса г с цен­ тром в центре шара (рис. 1.2.7). Применение теоремы Гаусса даёт:

г

24

г

где q(r) = J р { г)4 яг2dr — полный заряд, находящийся внутри сферы

о

радиуса г. .

В частном случае р = const по (Ьопмуле {'1.2.5'» нахопим:

Г

(Q — полный заряд шара).

4)Поле в сф ерической полост и внут ри шара

Пусть имеется шар, равномерно заряженный по объёму с плотно­ стью заряда р. Допустим, что в этом шаре вырезана сферическая по­ лость ( рис. 1.2.8). Найдём поле в этой полости.

Рис. 1.2.8. Равномерно заряженный шар с вырезанной в нём сферической полостью

Если бы полости не было, то внутри шара присутствовало бы поле с напряжённостью

где Г! — радиус-вектор точки наблюдения относительно центра шара. Отсутствие зарядов в полости можно интерпрётировать так, что в

этой области к зарядам исходного шара добавлены заряды с плотностью (-/?), точно компенсирующие присутствующие здесь заряды. Теперь согласно принципу суперпозиции поле в полости можно представить как сумму поля исходного шара и поля, создаваемого внесёнными заря­ дами (—/?). Поскольку поле в области полости, создаваемое внесёнными зарядами, равно

Е2 =— (-Р)*2>

25

где г2 — радиус-вектор точки наблюдения относительно центра полос­ ти, то

р >0 ) направлено от центра шара к центру полости (рис. 1.2.8).

Рассмотрим частный случай. Пусть в исходно электронейтральном шаре радиуса R положительные заряды сместились относительно отри­ цательных на бесконечно малое расстояние <Я(рис. 1.2.9 слева). В ре­ зультате такого смещения нескомпенсированными остаются заряды только на поверхности шара.

р г *

о

Рис. 1.2.9. С лева—- смещение положительных зарядов относительно отрица­ тельных на малое расстояние <Я. О- и 0+ — центры шаров, несущих соответст­ венно отрицательные и положительные заряды; справа — радиус-векторы точки наблюдения А относительно центров положительно и отрицательно заряженных шаров

Поле, создаваемое такой системой зарядов, находится аналогично полю в полости. Именно, пусть г+ и г_ — радиус-векторы точки наблю­ дения относительно центров положительно и отрицательно заряженных шаров (рис. 1.2.9 справа). Поля во внутренней области, создаваемые этими шарами, равны

44

=~ щ я ,л Е ~ - я ( р)г_.

Здесь р и (-р ) — плотности зарядов шаров. Полное поле в точке наблюдения есть

26

Здесь r+ —r_ ——Л (рис. 1.2.9 справа). Это поле однородно во всём объ­

ёме шара и направлено от центра положительно заряженного шара к центру отрицательно заряженного шара.

Найдём распределение заряда до поверхности шара. Для этого найдём толщину поверхностного слоя, в котором заряды нескомпенсированы.

Рассмотрим треугольник ABC (рис. 1.2.10). Его сторона АС имеет длину R, а сторона ВС — длину R - х , где х — искомая толщина в на­ правлении, задаваемом углом д. По теореме косинусов -

R2 = (i?-x )2 +2 (R -x )S lcos в +(SI)2. :

Считая смещение шаров SI и толщину слоя х малыми одного порядка, и

Рис. 1.2.10. К определению поверхностной плотности заряда, возникающей при малом смещении шаров

Заметим, что вне шара поле такой системы поверхностных зарядов

поскольку поля от каждого из шаров во внешнем пространстве совпа­ дают с полями точечных зарядов, расположенных в центре шаров. Ве­ личина же (Я есть плечо такого диполя.

1.3.Потенциал

1.3.1.П от енциал ьны й х аракт ер эл ек т р о ст а т и ч еск о го

п ол я

Пусть электростатическое поле создаётся точечным зарядом Q, т.е.

Е - — г. Работа сил поля при перемещении заряда q из точки 1 в точку

2 (рис. 1.3.1) равна

27

Эта работа зависит от положения начальной и конечной точек, но не зависит от траектории, соединяющей эти точки. Следовательно, поле точечного заряда консервативно.

Рис. 1.3.1. Перемещение пробного заряда q в электрическом поле, создаваемом точечным зарядом Q

Если электростатическое поле создаётся системой зарядов, то по принципу суперпозиции

E =£ E f, Е. =^ _ ( г - г4),

где Е; — поле, создаваемое в точке г г-м зарядом, находящимся в точке гг. Поскольку каждое из полей Ег консервативно, то и суммарное поле также консервативно. Таким образом, электростатическое поле произ­ вольной системы зарядов консервативно, и можно ввести потенциаль­ ную энергию заряда q в этом поле: работа сил поля на пути 1 —»2 равна убыли потенциальной энергии рассматриваемого заряда:

. (2> .

Ап = | </E(r)fi?r = U\ -U 2-

1.3.2.Р а зн о ст ь п от ен ц и а л ов и п от ен ц и а л

Разност ью потенциалов q\—cp2 поля между точками 1 и 2 называ­ ется работа сил поля по перемещению единичного заряда из точки 1 в

точку 2:

(2)

(l)

Потенциал определён с точностью до произвольной постоянной. Выбирая какую-либо точку г0 за начало отсчёта, т.е. полагая (р(га) = 0.

мы определяем потенциалы всех прочих точек по отношению к вы­

28

бранной. Часто за начало отсчёта выбирают бесконечно удалённую точ­ ку, полагая (р(ю) =0. По отношению к ней потенциал точечного заряда

Q равен <p(r)- Q/r.

Поскольку электростатическое поле молено характеризовать по­ тенциалом (р(г) , то говорят, что это поле потенциальное.

Используя векторный оператор «набла», перепишем полученную связь в краткой форме:

29

1.3.5. Т еорем а ед и н ст в ен н о ст и дл я у р а в н ен и й Л апласа и П уа ссон а

Теорема 1. Если D — открытая область пространства, а Т — е ё граница, то, реш ение краевой задачи для уравнения Лапласа

единственно.

Д оказат ельст во. Допустим противное, т.е. предположим, что гдето в области D функция <р Ф 0. Поскольку всюду на границе области

<р =0, то это значит, что где-то внутри D достигается экстремум. До­

пустим для определённости, что это максимум. Тогда в этой точке

д<р _ дф _ д<р__ q

Последние неравенства означают, что в точке максимума

Но это неравенство противоречит уравнению А(р =0 в (1.3.5), которое

должно выполняться всюду в D. Полученное противоречие доказывает

теорему.

Теорема 2. Р еш ение краевой задачи для уравнения П уассона

Нг.Г = Л Г)

единственно.

Здесь, как и в теореме 1, D — открытая область пространства, Г — её граница, а / ( г ) — заданная функция.

Д оказат ельст во. Допустим, что краевая задача (1.3.6) имеет, по крайней мере, два решения: ^ (г ) и ^>2(г)> не равные тождественно друг другу:

30