Kirichenko_Elektrichestvo_i_Magnetizm
.pdf
небрежимо малы, то магнитные потоки не меняются (по теореме о со хранении магнитного потока): Ф; =const. Таким образом, при вирту альном смещении
. М о л е = / 5х = - { аР )ф'Т -
Поскольку
■г
то в рассматриваемом подходе
if'11'4
2)Пусть теперь в контуры включены внешние источники энергии
—батареи ЭДС |£.(бат), / =1,2, ...j, поддерживающие неизменными то
ки в контурах. Роль этих ЭДС состоит в том, чтобы уравновесить ЭДС индукции, возникающие при всяких изменениях магнитных потоков:
g(бат) _ |
_g(mm.) _ |
1 |
■ 1 |
1 |
с dt |
Соответственно работа батарей ЭДС за время виртуального перемеще ния Л будет равна
М аг. =
Эта работа идёт на работу сил поля и на изменение свободной энергии поля:
^ ^баг. ^'^lioic (^^ ) / j j или Sj4no:ae —SA§aT —(dF 'jj y ■
1 H
Поскольку F =— 7;-Ф;, то
- c i
так что с учётом выражения для работы сторонних батарей ЭДС получаем
М о л е = М а х . - i dF) j,r = - Е ^ ф / |
= |
г-
161
Таким образом,
S^ saB= fS x -= -{ dF )tbtT=+{dF)JtT .
8.3.2.Втягивание стерж н я из магнетика в соленоид
Вкачестве примера применения метода найдём силу, с которой втягивается в вакуумный соленоид длинный цилиндрический стержень
смагнитной проницаемостью ц и площадью поперечного сечения S (рис. 8.3.1). По соленоиду, имеющему плотность намотки п = N/1, цир
кулирует ток J.
Рис. 8.3.1. Стержень из магнетика, введённый в соленоид, смещается вправо на малое расстояние дх
■&
■' Будем предполагать, что тбк в соленоиде неизменный, так что для расчёта сил нужно Использовать формулу
Мюле =/<?* = ( ^ ) л ;г -
При смещении стержня на 8х изменяется магнитный поток, по скольку часть объёма соленоида заполняется веществом с магнитной проницаемостью ju, и в этой части меняется индукция магнитного поля В. Согласно формуле F =J<5>/2c имеем (d F )j Т =МФ/2с.
Перепишем эго выражение, перейдя от тока к напряжённости маг нитного поля. Вдали от границы раздела стержень-вакуум и от концов соленоида напряжённость поля равна, как в идеальном однородном со леноиде, Н =Anijc =AjinJ/c. Отсюда находим ток: J =сН/Акп. Сле
довательно,
(d F ). T =— H dФ.
v > JJ |
Ълп |
Найдём теперь изменение |
магнитного потока при смещении |
стержня на 8х. |
|
Магнитный поток Ф = BS меняется за счёт уменьшения длины об |
|
ласти соленоида, в которой /1 =1. |
При смещении стержня на 8х число |
витков соленоида, создающих поле в вакуумной части, уменьшается на п8х. На столько же увеличивается число витков в части соленоида,
заполненной средой с магнитной проницаемостью /л Поэтому
162
dQ ?=nSx(BS) |
—nSx(B S) |
, |
|
\ |
/стержень |
V /вакуум |
|
где BS — поток через один виток. Если исключить из рассмотрения об ласти неоднородного поля вблизи границы раздела сред и концов соле ноида, объём которых практически не меняется, то
(В ) |
= цН , (5 ) |
=Н. |
\ /стержень |
” 5 V /вакуум |
|
Поэтому
d<f> =nSx(ji-\)H S.
Подставляя это выражение в формулу (dF ) |
= |
получим |
|
• |
8пп |
Отсюда находим выражение для силы, действующей на стержень:
г : } J ^ } L L ^ ! L ± H 2S. |
|
||
8х |
8яг |
ц > 1 |
|
Отсюда, в частности, следует, что при |
сила положительна — |
||
стержень втягивается в соленоид, а при |
ju< 1 |
сила отрицательна — |
|
стержень выталкивается из соленоида. Первый случай описывает пове дение парамагнетиков, а второй— диамагнетиков.
8.3.3. П одъём н а я си л а эл ек т ром агни т а
Пусть на общем подковообразном сердечнике насажены две ка тушки с суммарным числом витков N. По катушкам пустим ток J. Эта конструкция представляет собой электромагнит (рис. 8.3.2). Найдём силу, с которой он притягивает перемычку, расположенную вблизи но жек. Воспользуемся теоремой о циркуляции для магнитного поля, вы
брав замкнутый контур так, как показано на рис. 8.3.2. |
|
Введём следующие обозначения: |
. |
S — площадь основания ножки подковы, |
|
/ — длина контура внутри металла, |
|
N— число витков обмотки электромагнита, |
|
J— ток в обмотке,
ц— магнитная проницаемость материала (типично /л~ 102 ),
х — расстояние от ножки подковы до перемычки.
Как и при расчёте магнитных цепей, считаем х <H'ifs, I » -Js.
Поскольку ток в обмотке.пронизывает выбранный контур N раз, то по теореме о циркуляции
163
г |
4л |
фШ1=— NJ |
|
1 |
с |
находим
HMl +2H3x =— NJ.
С
Здесь Нм — поле в металле сердечника, Н3 — поле в зазоре.
Рис. 8.3.2. Электромагнит (катушки на общем сердечнике) и перемычка, замыкающая магнитный поток между ножками подковообразного электромагнита. Штриховой линией показан контур интегрирования в теореме о циркуляции
Используем далее условие на границе раздела сердечник—зазор:
ВЫ=В2п =>Ня = рН я . |
|
||
Это даёт: |
|
|
|
4тг |
К |
4лц |
NJ |
Нм {1 +2/лх) =— NJ |
~м н и |
1 + 2 f ix |
|
|
|
с |
|
Магнитный поток через всю обмотку электромагнита равен |
|||
ф =Ш ж8 = АЯМ |
N J S. |
|
|
|
с |
i+2jux |
|
Поскольку энергия магнитного |
поля |
U = УФ/2с, |
то при условии |
J = const полагаем |
|
|
|
dU =-Jd<S> - f - d x . 2с
Отсюда находим силу, действующую на перемычку:
^ J f & b } |
4лр2 |
NZJ 2 р |
/j |
_ с |
(l +2jux) |
Поскольку / <0, то перемычка притягивается к электромагниту. Мак
симального значения сила достигает при х = 0 и составляет
164
■: F
Глава 9. МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА
9.1. Парамагнетизм
9.1.1.Т еор и я Л а н ж евен а
В1905 г. П. Ланжевен предложил теорию, Объясняющую явление парамагнетизма и основанную на принципах классической статистиче ской физики. Согласно его теории частицы вещества изначально обла дают магнитными моментами. Тогда внешнее поле стремится ориенти ровать элементарные магниты в направлении поля, а тепловое движение Стремится разориентировать эти магниты.
Учтём, что потенциальная энергия отдельного магнитного момента Нполе В равна
U = —шВ = —тВ cos в.
Будем также пренебрегать взаимным влиянием частиц. Тогда распреде ление моментов по направлениям даётся распределением Больцмана:
=J e x p ^ - ^ jjQ , |
(9.1.1) |
Где dQ, = 2?rsin Odd — телесный угол (угол 9 отсчитывается от направ ления магнитного поля). Вводя обозначение
а —тВ/кТ,
Перепишем распределение (9.1.1) в виде
dn =2 ?rA ex p (^ -cosd \sm edd.
U Т J
Нормировочный множитель Аопределяется из условия
Ж
\ dn =nо,
0=0
где «0 — полная концентрация частиц (см-3). Выполняя интегрирова
ние, найдём значение нормировочного множителя:
165
А=^ ^ .
4;rsh а
Будем считать, что магнитное поле направлено вдоль оси z. Тогда намагниченность вещества можно записать как
J =nfhz = Jmzdn.
Усреднять достаточно только компоненту /и* магнитного момента, по скольку вследствие осевой симметрии окажется тх =ту =0. Посколь
ку mz = т cos в , то |
' ' |
/ =2ктА^е |
асоъв cos^sin^fi?# =и0да^сШа—- j , а= ~ ~ . (9.1.2) |
Рассмотрим, частные случаи. Заметим предварительно, что величи на 7нас =nQm представляет собой:предельную намагниченность, или
намагниченность насыщения, поскольку отвечает состоянию, в котором по направлению поля ориентированы магнитные моменты всех частиц.
1) Низкие температуры, а —тВ/kT » 1 .
Поскольку в этом пределе cthа —- —» 1, то получаем
а
J->/то =п0т.
2)В ы сокие температуры, а =тВ/kT « 1 .
В этом пределе cthа ——~ —. Соответственно находим
................ а 3
/~/ тВ п°т2 в - пот2 П '
~ ^ ЗкТ ЗкТ ~ ЗкТ
Здесь учтено, что коэффициент п0т2/ЗкТ, как правило, много меньше
единицы и отличие В и Н мало. Это позволило в последнем равенстве заменить В на Н. Таким образом, получаем следующие выражения для магнитной восприимчивости (коэффициента к в формуле I = кН ) и магнитной проницаемости:
к =п0т21ъкТ, // =1+4тас. (9.1.3)
График зависимости 1(B) показан на рис. 9.1.1. Видно, что если внешнее поле велико (или температура мала), то связь намагниченности и поля становится нелинейной.
9.1.2. Теория Бриллюэна
Теория Ланжевена даёт следующую зависимость магнитной вос приимчивости от температуры: к =пат2 /ъкТ. Вместе с тем, опыт го-
иорит, что наблюдаемое значение к в 3 раза больше. Причина этого не соответствия состоит в том, что поведение магнитных моментов частиц (тисывается законами квантовой, а не классической, механики. Объяс нение явления парамагнетизма, основанное на применении квантовой механики, предложил Л. Бриллюэнв 1926 г.
Рис. 9.1.1. Зависимость намагниченности парамагнетика от температурыи внешнегополя
а = тВ/кТ
Согласно законам квантовой механики электрон имеет собствен ный момент импульса — спин s, проекция которого на выделенное на правление (sz) может принимать только два значения:
sz = —Й/2, sz = +Й/2,.
Магнитный момент электрона т , будучи направленным антипараллельпо спину: m —g sys, также может ориентироваться только двумя спосо бами:
mz = ~ f* E ’ ™ 2 = + ц Б ,-
где |
|
- |
\е\h |
а |
, |
/иБ =-U— = 9,27 • 10 эрг/Гс — |
||
2т с |
|
|
иеличина, называемая магнетоном |
Бора. |
Заметим, что в формулу |
m =g sys для магнитного момента электрона входит, помимо гиромаг нитного отношения у =е/2тс < 0, дополнительный множитель g s =2,
называемый спиновым g -фактором1. Соответственно потенциальная энергия магнитного момента m в магнитном поле В, U =- т В , может Принимать два значения:
t/j =—fiEB, U2 = +МвВ,
1 Появление этого дополнительного множителя объясняется в релятивистской кнантовой теории.
167
отвечающие ориентации момента по полю и против поля.
Будем считать, это магнитные моменты частиц, образующих магнетак, определяются магнитным моментом электрона. Кроме того, пре небрегаем взаимодействием частиц друг с другом. Согласно распреде лению Больцмана концентрация частиц в состоянии с энергией 17} равна
|
и А . |
Г . -мБп ' |
(9.1.4) |
|
ni =AexР\~кт =Аехр |
± |
|
|
|
кТ ) |
|
где А — нормировочная постоянная. Введём обозначение а = |
/кТ, |
||
Тогда получаем |
|
|
|
|
Щ= Аеа — для ориентации m по направлению поля В, |
|
|
|
п2 =Ае~а — для ориентации гп против направления поля В. |
|
|
Из условия нормировки п1+п2 =п0 находим |
|
|
|
' |
А=- |
|
|
|
2sha |
|
|
(«о — концентрация атомов в веществе). Намагничепностьвещества равна
I =njm+ и2( - т ) = m-2Ash а = n0m tha.
Таким образом, в отличие от теории Ланжевена, подход Бриллюэна на основе квантовой Механики дает следующее выражение для намаг ниченности парамагнетика:
1 = щ т Ц — |. |
(9.1.5) |
Как и раньше, величина /нас =п0т есть намагниченность насыщения,
отвечающая состоянию,'в котором магнитные моменты всех частиц ориентированы по направлению поля.
Рассмотрим частные Случаи.
1) Низкие температуры: а =mBjkT 1.
Поскольку в этом пределе tha —>1, то получаем
'■ |
/ - > / „ас = пот- |
2)Высокие температуры: а = mBjkT « : 1.
Вэтом пределе th а « а. Соответственно находим
= W |
j , |
1 Н = К Н |
ас кТ |
кТ |
кТ |
168
(учтено, что, как правило, величина к =п0т2 /кТ <gcl). Таким образом,
квантово-механический подход даёт выражение для магнитной воспри имчивости
. к =щ т 2/кТ, |
(9.1.6) |
которое согласуется с экспериментальными данными.
9.2.Диамагнетизм
9.2.1.Л арм орова п р е ц е сси я
Рассмотрим систему частиц, имеющих одинаковые массы (пге ) и
чаряды (е). Магнитный момент этой системы связан с её моментом им пульса соотношением
m =/L, |
(9.2.1) |
где у =ej2m ec — гиромагнитное отношение.
Пусть эта система находится в однородном магнитном поле В. То гда на неё действует момент сил
М =т х В .
'Запишем уравнение динамики вращательного движения:
dL
— =М dl
или, после подстановки сюда выражения для М,
dh
— =mxB. dt
Учитывая связь (9.2.1) магнитного момента с моментом импульса, по лучаем
dm |
dm ' |
------ ym х В, |
и л и ------Sixm . |
dt |
dt |
Отсюда видно, что магнитный момент совершает прецессию (вращается О'шосительно направления магнитного поля В) с угловой скоростью
£1 =- у В =---- -—В, |
(9.2.2) |
2тпе с |
|
KUK показано на рис. 9.2.1. Это вращение называется прецессией Лйрмора, или ларморовой прецессией , а частота Q. =eB/2mec — лармо-
ровой частотой.
Если заряд частицы е < 0 (как у электрона), то прецессия осуще-
спшяется в положительном направлении (£2tTB ). Если же заряд час
169
тиц положительный* то прецессия осуществляется в противоположном направлении ( п Т ^ в ) .
Рис. 9.2.1. Ларморова прецессия в случае частицы с зарядом е <О
9.2.2. Д и а м агни т н ая в осп р и и м ч и во ст ь
Под действием внешнего магнитного поля В возникает ларморова прецессия магнитных моментов, причём электрон в атоме приобретает
дополнительную угловую скорость £2=- |
В, как показано |
2т„с
на рис. 9.2.2. Обозначим радиус соответствующей окружности как г.
Z к в
Рис. 9.2.2. Электрон в атоме под действием внешнего магнитного поля В приобретает дополнительное вращение вокруг направления В
Вращение заряда с периодом Т и частотой Q означает наличие до полнительного кругового тока:
а т е |
еП гл |
еВ |
Д/= —=— , П =- ------- . |
||
Т |
2я |
2т„с |
Ему соответствует магнитный момент
AJ |
2 |
= - —я г |
2 |
е2*"2 „ |
т - — я г |
|
|
=------—-В . |
|
с |
|
2я |
|
4т„с |
Если радиус атома есть R, то
R1 =х2 +у 2 +z2 => R2 = x2+ y 2 +z2.
Здесь усреднение выполнено по всем атомам, где электрон захватывает ся в дополнительное вращение в различных исходных положениях (х, у,