Kirichenko_Elektrichestvo_i_Magnetizm

(1-83)

Этот же результат можно получить из формулы (1.8.2), в которой следует положить р =0, ег = Q jAnR2, <p =QjR\

2) Шар, равном ерно заряж енны й по объём у

Для расчёта энергии равномерно заряженного шара будем перено­ сить из бесконечности заряд порциями dq и высаживать в сферическом слое r+ r +d r:

Здесь q(r) — заряд, накопленный в шаре радиуса г. Поскольку объём­

Работа по переносу заряда dq с нижней пластины на верхнюю рав­ на dU = <pdq, где <р — разность потенциалов пластин.

Поскольку <p =q/C {С — ёмкость конденсатора), то при накопле­

нии заряда (+ q) на верхней пластине конденсатора и (—q) — на нижней энергия будет равна

61

dU =2*L =*.XJ = 2 - ;

С2C

Используя связь q = Ctp, перешппем полученную формулу в следую­ щих эквивалентных формах:

Преобразуем последнее выражение. Поскольку в конденсаторе по­

где V —Sd — объём конденсатора.

62

Таким образом, при пространственном перераспределении свобод­ ных зарядов и соответствующем изменении индукции поля на SD плот­ ность энергии поля меняется на

(1.8.7)

В этой формуле не подразумевается какая-либо заранее определённая связь Е и D, и она применима, например. Для расчёта энергии поля при наличии электретов или веществ со сложной связью Е и D. Для линей­ ных же сред, в которых D = sE, s =const; отсюда следует обычное вы­

ражение: u=£E2 j%7i.

Таким образом, энергия конденсатора выражена через характери­ стики поля (а не заряды), что позволяет дать новую интерпретацию ре­ зультата. Переносчиком взаимодействия зарядов является электриче­ ское поле, так что оно же является носителем энергии, передаёт энергию от одного заряда к другому. Электрическое поле присутствует только в объёме конденсатора, так что и его энергия локализована в тех областях пространства, где присутствует поле.

1.8.4. Э н ер ги я эл ек т р и ч еск о го п ол я (о б щ и й вы вод)

Выше мы получили формулу для энергии электрического поля для частного случая, когда поле однородно и локализовано в конденсаторе. Приведём теперь более общий вывод. Исходим из выражения для ва­ риации энергии систем],I зарядов:

Здесь 8 р — изменение объёмной плотности свободных зарядов. Тогда по теореме Гаусса имеем

Интегрирование распространено на всё бесконечное пространство. Но на большом расстоянии от системы зарядов поле обращается в нуль. Поэтому, преобразуя первое слагаемое в правой части с помощью тео­ ремы Гаусса, получаем

J div(<p<!>D)dV =§{< р £D)<3?S = О,

63

где Sm — замкнутая бескойечно удалённая поверхность.

Во втором слагаемом в (1.8.9) учтём связь потенциала и напряжён­ ности поля: Е =—grad^j. Таким образом, приходим к формуле

5 совпадающей с той, что бьша получена для случая плоского конденса­ тора, но свободная от использовавшихся ранее ограничений.

1.8.5. Э н ер ги я п ол я в ва к уум е и в с р е д е

Если поле с напряжённостью Е создаётся в вакууме, то плотность

энергии равна =Е2 /8 л . Если поле с той же напряжённостью Е соз­

даётся в среде с диэлектрической проницаемостью г, то энергия равна

и =еЕ г /2. Отличие и от связано с тем, что в веществе, помимо

самого поля, производится работа по созданию поляризации среды. По­ кажем это на цримере среды, молекулы, которой представляют собой упругие диполи.

Под действием электрического поля молекулы приобретают ди­ польный момент р =/?Е, где р -— поляризуемость молекулы. Если в

единице объёма вещества содержится п молекул, то вектор поляризации

Это совпадает с выражением, полученным ранее без конкретизации ме­ ханизма поляризации.

1.8.6. С о бст в ен н а я и вза и м н а я эн ер ги я за р я д о в

В разделе 1.8.1 была найдена взаимная энергия системы зарядов:

2 a г* i*k

64

Перейдя к полям, мы получили другое выражение для энергии. В част­ ности, в вакууме

Между этими выражениями имеется противоречие. Дело в том, что величина, даваемая формулой (1.8.11), может быть как положительной, так и отрицательной. Например, для системы двух частиц U =qyq2 /гу2,

и для частиц с зарядами одного знака U >0, а для частиц с зарядами разного знака U <0. В то же время формула (1.8.12) даёт значение энергии всегда положительное, поскольку содержит интеграл от неот­ рицательной величины.

Причина отмеченного противоречия состоит в том, что при пере­ ходе от представления (1.8.11) к (1.8.12) мы включили в полную энер­ гию часть, представляющую собой собст венную энергию зарядов. По­ ясним сказанное. Пусть система состоит из двух зарядов qxй q2. Заряд q\ создаёт электрическое поле Еь и его собст венная энергия равна

Точно так же заряд q2 обладает собственной энергией

U2 = \— dV.

J Хм

Она соответствует величине (1.8.11), причём в зависимости от взаимной ориентации полей зарядов она может быть как положительной, так и отрицательной.

Когда говорят о собственной энергии зарядов, то имеют в виду, что они в конкретной задаче являются неделимыми, так что Uco5c[ пред­ ставляет собой постоянную величину, которую можно не учитывать,

65

изменив начальный уровень отсчёта энергии. Поскольку при выводе формулы ( 1.8.12) заряды считались неограниченно делимыми, в полную энергию вошла и та часть, которая является их собственной энергией.

1.8.7. Э н ер гет и ч еск и й м ет о д в ы ч и сл ен и я си л

определяет свободную энергию в объёме F, связанную с полем.

Одним из эффективных приёмов расчёта сил является метод вир­

дится из равенства / = SAfSx.

Рассмотрим сначала два метода нахождения работы.

1) Пусть на проводниках поддерживаются постоянными заряды', q =const, т.е. нет внешних источников энергии. Тогда работа сил поля

Учтено, что (p= qjC . И з(1.8.15) следует, что

(SA ).m ^ -< p2S C .

2) Пусть теперь на проводниках поддерживаются постоянными потенциалы: <р=const. С этой целью в систему включены батареи

ЭДС, поставляющие заряды и расходующие энергию на совершение работы.

Рассмотрим конденсатор в цепи, содержащей ЭДС (рис. 1,8.2). В этом случае для свободной энергии имеем выражение

66

Рис. 1.8.2. Конденсатор подключён к источнику энергии внешней ЭДС, поддерживающей постоян­ ные потенциалы пластин

Отличие рассмотренных случаев состоит в том, что во второй си­ туации дополнительная работа совершается батарей ЭДС. Рассмотрим этот вопрос подробнее.

Поставка заряда от батареи равна Sq = S(C(p) = cpSC. Соответст­

венно работа батареи оказывается равной 5А= tpSq =<р2 SC. По закону сохранения энергии

(SA)6 aT= (dF )^r + (SA )^

или

(SA)m_=(SA)6 a j - (d F )PtT =<p2SC - -l (p2SC =^<p2SC =(dF)pT .

Итого, находим: работу сил электрического поля:

Имея в виду сказанное, рассмотрим теперь два примера вычисле­ ния сил.

Пример 1. Найдём силу притяжения пластин заряженного конден­ сатора (рис. 1.8.3).

В условиях, когда пластины конденсатора неподвижны, сила их притяжения определяется только величиной заряда на них и не зависит от способа вычисления — в предположении о постоянстве зарядов шш потенциалов.

Пусть сначала q =const. Тогда потенциал и напряжённость поля равны соответственно

<р - q/C, E =<p/d

(в объёме конденсатора поле практически однородно). При виртуальном перемещении верхней пластины на & работа сил поля равна

67

Знак «минус» свидетельствует о том, что пластины притягиваются друг к другу.

Если проводить расчёт в предположении о постоянстве потенциа­

q = const, и приводит к тому же результату (1.8.20).

Пример 2. Найдём силу, с которой пластина из диэлектрика с ди­ электрической проницаемостью е втягивается в конденсатор (рис. 1.8.4.) Будем предполагать, что толщина диэлектрической пластины равна рас­ стоянию между пластинами конденсатора.

Рис. 1.8.4. Слева- - конденсатор, в который частично вдвинута диэлектрическая пластина, заменяется системой двух параллельно соединённых конденсаторов; справа-- размеры конденсатора

68

Заменим конденсатор с частично вдвинутой в него пластиной ди­ электрика, двумя параллельно соединёнными конденсаторами, из кото­ рых один — вакуумный, а другой заполнен диэлектриком.

Ёмкость системы из двух параллельно соединённых конденсаторов равна

Суммарная площадь пластин Конденсаторов неизменна, и можно запи­ сать

69

Глава 2. ПОСТОЯННЫЙ ТОК

2.1.Основные определения

2.1.1.Сила и п л от н ост ь т ока

Электрический ток — это упорядоченное движение зарядов (элек­ тронов и ионов).

Постоянный ток — это неизменное во времени движение зарядов. Пусть ток течёт по проводнику. Тогда силой тока (или, кратко, током) называется количество заряда, переносимого через сечение про­

водника за единицу времени: [J] =заряд/с.

Аналогично определяется сила тока в пучке заряженных частиц (ионов или электронов).

Плотностью тока называется количество заряда, переносимого за единицу времени через единичную площадку.

Пусть п — число носителей с зарядом е в единице объёма. Тогда величина р = еп есть объёмная плотность заряда.

Выделим малый объём. Пусть в нём находится N носителей. Их средняя скорость равна

(2.1.1)

где суммирование производится по всем частицам в рассматриваемом объёме. Величина (2.1.1) называется также дрейф овой скоростью.

Возьмём площадку dS на пути носителей, перпендикулярную дрей­ фовой скорости. За время dt эту площадку пересекут носители, находя­ щиеся в цилиндре объёмом dV =u dtdS (рис. 2.1.1). Их число равно

dN = n ud td S , а перенесут они суммарный заряд

dq =en u d td S =pudtdS .

За единицу времени через единичную площадку пройдёт заряд

70