Kirichenko_Elektrichestvo_i_Magnetizm

Переходя теперь к пределу h —» 0, приходим к граничному условию

Еъ =Elt, приведённому выше.

Аналогично устанавливается и граничное условие для напряжён­ ности магнитного поля (рис. 10.2.1, 10.2.2):

10.3. Закон сохранения энергии для электромагнитного поля

10.3.1. Теорема П ойнтинга

Пусть в некоторой области пространства присутствуют перемен­ ные во времени электрическое и магнитное поля. Получим закон сохра­ нения энергии.

Запишем выражение для изменения плотности энергии электромагнит­ ного поля:

=— [ErotH-HrotEl- jE.

An

Далее воспользуемся тождеством

191

Этот вектор определяет количество энергии поля, протекающее через единичную площадку в единицу времени, и называется вектором плот­ ности потока энергии, или вектором Пойнтинга.

Равенство (10.3.6) называется теоремой Пойнтинга в дифференци­ альной (или локальной) форме.

Проинтегрируем почленно соотношение (10.3.7) по некоторому объёму V:

Обозначим энергию в объёме Vкак

W = \wdV.

у

Преобразуя объёмный интеграл от divS в поверхностный с помощью теоремы Остроградского-Гаусса, получим

(10.3.8)

Здесь H(V) — поверхность, ограничивающая рассматриваемый объём

V, a Q — полная мощность джоулевых потерь в том же объёме. Соот­ ношение (10.3.8) представляет собой теорем у Пойнтинга в интеграль­ ной форме.

Пусть токи проводимости отсутствуют. Тогда закон сохранения принимает более простой вид:

Это значит, что в данном случае энергия поля в объёме Vменяется только за счёт её переноса через границы объёма.

192

где С =е ■7rR2jAnh. —-ёмкость конденсатора. За конечное времк, при

достижении заряда q на пластине, энергия составит W =д2/2С. Мы

пришли к известной формуле для энергии, запасаемой в конденсаторе.

2) Длинный п р ов од ,

Рассмотрим длинный прямой провод радиуса R и длины /, по кото­ рому течёт ток J — рис. 10.3.3. На внешней поверхности провода при­ сутствует магнитное поле Н =2J/cR. Ток в проводе возникает благо­ даря напряжению U на его концах и созданной этим напряжённости электрического поля E=U/l. Направления полей Е й В показаны на

рис. 10.3.3. Соответственно вектор Пойнтинга оказывается направлен­ ным к оси провода и равным по величине

П =2nRl, то полный поток энергии, втекающий в провод, составляет Q =STI =UJ. Это в точности та же энергия, что идёт на джоулевы по­

тери в проводе: JjEdV =UJ.

Рис. 10.3.3. Ток, текущий по проводу, создаёт поток энергии (вектор Пойнтинга), направленный внутрь провода

3)П робой в плоском конденсат оре

Рассмотрим плоский конденсатор, обкладками которого являются пластаны радиуса R. Пространство между обкладками заполнено веще­ ством с диэлектрической проницаемостью; s =l.

Пусть верхняя и нижняя пластины несут заряды соответственно +q и —q (рис. 10.3.4). Считаем, что конденсатор отключён от внешних ис­ точников зарядов (батареи).

Пусть в центре конденсатора (на его оси) происходит пробой и возникает узкий токовый канал, в результате чего конденсатор начинает разряжаться. Считая разряд квазистационарным (достаточно медлен­ ным), найдём поток электромагнитной энергии.

195

В приближении квазистационарности электрическое поле в кон­

где П =nR 2 — площадь одной из пластин. Поскольку конденсатор от­ ключён от батареи, то ток в нём определяется скоростью уменьшения заряда на пластинах:

Рис. 10.3.4. Плоский конденсатор, на оси которого происходит пробой — возникаетток разряда./

Магнитное поле в конденсаторе можно найти с помощью теоремы о циркуляции, учитывающей как обычный ток, так и ток смещения:

Контур интегрирования здесь — это окружность радиуса г вокруг оси конденсатора, совпадающая с силовой линией магнитного поля.

Ток смещения обусловлен изменением электрического поля в кон­ денсаторе. Поскольку £ =1, то D=E, и согласно (10.3.12), (11.3.13)

полный ток смещения J CM=n r 2{t>/An), протекающий через круг ра­ диуса г, с центром на оси конденсатора, равен

по радиусу к оси конденсатора. Длина вектора S равна

196

(10.3.16)

Полный поток энергии через боковую поверхность цилиндра радиуса г равен

(10.3.17)

Произведение U —Eh есть напряжение на конденсаторе (разность по­ тенциалов между его обкладками). Обозначая Q0 =UJ, получим

(10.3.18)

Величина Q0имеет смысл мощности тока разряда в конденсаторе.

Из (10.3.18) видно, что поток энергии при г = 0 равен Q =U J, а

поток энергии на границе конденсатора отсутствует: S ■2nRh = 0. Это значит, что вся энергия поля в конденсаторе собирается в искровом ка­ нале и за пределы конденсатора не выходит. Величина поступающей в канал энергии равна Q - UJ, т.е. переходит в энергию тока в соотаетст-

вии с законом Джоуля Ленца.

Пусть теперь в цепь конденсатора включена батарея, которая под­ держивает неизменными заряды на пластинах. Тогда электрическое по­

конденсатора (к искровому каналу), и всюду в конденсаторе он оказы­ вается неизменным и равным Q =UJ. Поскольку на границе конденса­

тора Q\r_R =UJ Ф 0, то в конденсатор втекает энергия из внешнего про­

странства.

В рассмотренном примере энергия электромагнитного поля течёт от источника к нагрузке (активному сопротивлению), где она превраща­ ется в другие виды энергии (в частности, в тепловую).

197

Глава 11. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ

11.1.Волновое уравнение

11.1.1.Б егу щ и е и ст о я ч и е вол ны

Волна — это процесс, разворачивающийся во времени и в про­ странстве. Поэтому для его описания необходимо для каждого момента времени указать состояния всех элементов, отличающихся положением в пространстве.

Будем характеризовать волну некоторой величиной и. Например, в случае волны на поверхности жидкости это — отклонение точек по­ верхности жидкости от их положения в состоянии равновесия. Пусть в некоторый момент времени профиль поверхности имеет вид, показан­ ный на рис. 11.1.1. Предположим, что с течением времени профиль вол­ ны не меняется, а меняется только его положение в пространстве. Такой процесс называется бегущ ей волной.

Если х' — координата в собственной системе отсчета волны, то

и=и{х'). (11.1.1)

Рис. 11.1.1. Бегущая волна с неизменным профилем ■

Пусть волна движется с постоянной скоростью и вдоль оси х. То­ гда координаты в неподвижной (х) и в движущейся (хг) системах отсчёта связаны между собой соотношением х' =x —ut: Поэтому бегущая волна может быть представлена функцией

u{x,i) =f{ x -u t). (11.1.2)

В частном случае, когда и(х') =acosk x ', мы получаем гармониче­ скую волну (рис. 11.1.2)

198

Фиксируя точку наблюдения х, мы получаем в этой точке гармоничеукое колебание с частотой оз. Величина а называется амплитудой, а

фазой волны.

Согласно (11.1.5), любые две точки, отстоящие друг от друга на расстояние

ЛМИастся длиной волны, а число к — волновым числом.

Если наблюдатель движется вдоль оси х со скоростью и, то он ви- д и т ОДИН и тот же профиль волны, т.е. регистрирует одну и ту же фазу ЛОлчы: <р - к х - си 1 - const. Положение точки, в которой фаза волны

Имеет фиксированное значение <р =щ , даётся уравнением

кх =<ра -г cat.

С ТСчешем времени эта точка смещается:

dx со ках =codt => — =— =и.

dt к

Скорость о называется фазовой скорост ью и представляет собой ско­ рость движения точек, отвечающих фиксированному значению фазы.

199

Фазовая скорость связана с частотой, волновым числом и длиной волны соотношениями

Получим выражение для бегущей волны, распространяющейся в произвольном направлении (а: не только вдоль оси х). Пусть ц — еди-. ничный вектор в направлении оси х. Поскольку х =nr, то фаза будет

записываться в виде <р{х, t) =kar —cot. Обозначим k =Ап. Тогда оказы­ вается

В такой форме выражение для волны уже не привязано к конкретной системе координат и описывает волну, распространяющуюся в направ­ лении, задаваемом волновым вектором к. Из (11.1.9) находим связь фа­ зы и волнового вектора:

k =grad q>.

Множество точек в пространстве, отвечающих одному и тому же значению фазы (р = <р0 в момент времени t, называется волновым фрон-

том. Из формулы (11.1.9) находим

кг — 1 ml.

Это уравнение описывает плоскость, перпендикулярную волновому вектору к. Таким образом, волновой фронт волны (11.1.10) есть плос­ кость. Поэтому эта волна называется плоской.

В ряде ситуаций наряду с волной, распространяющейся в положи­ тельном направлении (т.е. имеющей, скорость и >0 ), может возникать волна, двигающаяся в противоположном направлении, — со скоростью (- о ). Так получается, например, при отражении волны от препятствия. При этом в каждой точке системы происходит сложение колебаний, вызванных прямой и обратной волнами: если щ =щ{х —vt) и

иг =u2(x +vt) — прямая и обратная волны соответственно, то резуль­

Пусть сталкивающиеся волны одинаковы и даются функциями

щ (х') =и2(х') =a cos(for').

Тогда1ИЗ (11.1.11) находим

200