Kirichenko_Elektrichestvo_i_Magnetizm

17.4.5. Интеграл Фурье

Обобщение разложения Фурье на случай непериодических функ­ ций, определённых на бесконечном временном интервале, производится следующим образом. Пусть вначале функция имеет большой период Т, который впоследствии будет устремлён к бесконечности: Т —>оо . Обо­ значим основную частоту как Асо =2л/Т. Тогда Т =2л/Аса. Обозна­

чим также сок = кАсо. Подставим эти выражения в формулу (17.4.3) дня коэффициентов ряда Фурье:

-Г /2

Переходя к пределу Т —>со, мы можем рассматривать уже не дискрет­ ный набор чисел {сок =2як/Т, к =0,±1,±2,...}, а непрерывную пере­ менную о и, следовательно, функцию

Это соотношение совместно с (17.4.10) даёт разложение произ­ вольной интегрируемой функции в интеграл Фурье:

341

аналогичному соотношению (17.4.4) для коэффициентов ряда Фурье периодических функций.

17.4.6. П рим ер сп ек т р а л ь н ого р а зл о ж ен и я

Получим разложение Фурье для функции, принимающей постоян­ ное значение /0 на отрезке -г/ 2 < t< г/2, а всюду вне этого отрезка

обращающейся в нуль (рис. 17.4.3).

Функция непериодическая, и она разлагается в интеграл Фурье. , At)

Фурье-спектр этой функции определяется по формуле (17.4.11):

Далее можно представить функцию (17.4.13) в виде интеграла Фурье:

342

17.4.7. S-функция

Рассмотрим функцию, задаваемую соотношениями (17.4.13) (рис. 17.4.3). Зафиксируем площадь под кривой, положив

/ о т ­ будем теперь неограниченно уменьшать длительность импульса: т —>О

(рис. 17.4.4). В результате получаем последовательность функций {/„(£)}, носитель1 которых неограниченно сжимается, но площадь, ог­

раничиваемая их графиками, всё время одинакова и равна единице. Предел этой последовательности есть импульсная функция

Сформулируем основное свойство ^-функции. Для этого рассмот­

рим интеграл

+00

J 'АЧУЩ-ЦЩ,

-со

где g(t) — произвольная непрерывная функция. По определению «S-функции область интегрирования бесконечно узкая (что можно ус­

1 Носитель функции — это та часть области определения, где данная функция отлична от нуля: supp/(i) = {t \f( t ) ф 0}. Черта над фигурными скобками озна­ чает замыкание множества. В примере, показанном на рис. 17.4.3, носитель есть отрезок [-г/2, г/2].

343

ловно записать как Цe [ t —s , t +s], е -> 0), и в этой области можно по­ ложить g(ty) = g(t). Следовательно, получаем

+0 0

J = g(t), (17.4.16)

. —00

где учтено равенство (17.4.15).

Найдём фурье-спектр ^-функции. Согласно (17.4.14) фурье-спегар

что и определяет искомый спектр. В соответствии с этим ^-функция может быть представлена в виде интеграла

-С О

Соотношения (17.4.11) показывают, что любая функцияf[t) может быть записана в ввде двойного интеграла, объединяющего прямое и обратное преобразования Фурье:

Используя представление о^-функции, нетрудно увидеть, что это ра­ венство есть тождество. Действительно, выполнив сначала интегриро­ вание по переменной со, получим

«^функция — это представитель класса обобщённых функций. С ней непосредственно связана единичная (или ступенчатая) функция

График 0-функции показан на рис. 17.4.5.

344

Найдём производную единичной функции. Прежде всего, .из (17.4.20) видно, что 6'{i) =0 всюду при К О и при t >0. Иначе говоря,

в'({) ф 0 только в точке t = 0.

Ньютона—Лейбница имеем t

\e\ tx)dtx= 0{t)-9{ -d) =e{t),

-а

где учтено, что 9 (-а ) =0 при а > 0. Отсюда видно, что

Следовательно, по своим свойствам 6'(t) совпадает с «^-функцией:

т- т

17.4.8, Соотношение неопределённостей

Рассмотрим функцию (17.4.13) (рис. 17.4.3). График её фурьеспектра а(а>) даётся формулой (17.4.17) и показан на рис. 17.4.6. Оценим ширину фурье-спектра.

Поскольку согласно (17.4.12) отрицательные частоты не дают но­ вых компонент спектра, то достаточно учесть характерные масштабы

345

области локализации фурье-спектра при а>> 0, т.е. взять полуширину главного лепестка:

Асо~2я/т.

Поскольку длительность импульса At = т, то приходим к соотношению Асо ■At ~ 2к.

Полученное соотношение носит название соот нош ения неопределённост ей и имеет общий характер. Его смысл в том, что произведение длительности процесса на ширину соответствующего фурье-спектра есть величина порядка 2я.

17.5. Вынужденные колебания под действием негармонической внешней силы (спектральный подход)

17.5.1.Представление отклика на сложный сигнал в виде суммы откликов на простые сигналы

При исследовании отклика линейных систем на внешнее воздейст­

Линейность оператора А означает, что для любых функций qx(f) и

q2(t) (из области его определения) и любых констант С\ и С2 (в общем

В ряде задач относительно просто найти отклик системы на внеш­ нее гарм оническое воздействие:

346

Тогда вследствие линейности уравнения (17.5.1) можно найти отклик и на воздействие, представимое в виде суммы

4=1

Действительно, находя решения уравнений

A{qk) =£k(t)

и образуя сумму

П

к=1

мы получим решение исходного уравнения (17.5.1): отклик на суммар­ ное воздействие £(t) равен сумме откликов qk {t) на элементарные воз­ действия £к (().

В соответствии с теоремой Фурье произвольная интегрируемая функция может быть разложена в ряд Фурье:

в которых функция представлена в виде суперпозиции гармонических функций. Это позволяет использовать результаты, описывающие отклик на гармоническое внешнее воздействие.

17.5.2. Ф ун к ц и я от кл ика

Рассмотрим процессы в LC1f-контуре, описываемые уравнением

и рассмотрим отклик на элементарный гармонический сигнал:

347

получим

d v =Л(а)£те ш — .

®2л-

Таким образом, получаем отклик на произвольное воздействие:

Поскольку для такого источника

оо

£а = \ £{t)e-iMdt = A,

-со

то Vm = АЛ(си). Соответственно отклик системы даётся выражением

V(t) =A ] Л((о)еш — .

348

где т - RC — постоянная времени, определяющая характерное время релаксации колебаний в ЛС-контуре. Для этого случая, вьпголнив ин­ тегрирование по частотам, можно найти в явном виде отклик на им­ пульсное воздействие:

тт

можно найти следующим образом. Проинтегрируем почленно уравне­ ние (17.5.16) по времени на отрезке [—£, е]. Поскольку V(—s) =0, то

Если в контуре присутствует также индуктивность, то аналогич­ ным приёмом можно показать, что при импульсном воздействии

-\Н “ Г

17.6. Модулированные колебания

Пусть имеется некоторый сигнал, который мы запишем в виде x(t) =A (t)cosp(t).

Это общий вид сигнала. Положим

<p(t) -a>0t +y/{t).

Здесь функции A(t) и y/(t) имеют смысл амплитуды и сдвига фазы.

Если эти функции меняются медленно за характерные времена г ~2тг/со0, задаваемые основной частотой coq, то колебания называются

модулированными. Медленность изменения означает, что за времена, на которых существенно изменяются A(t) и y/(t), функция x(t) совершит

большое число колебаний с почш постоянными амплитудой и частотой. Выделяют три характерных типа модуляции: амплитудную, час­

тотную и фазовую.

17.6.1. А м плит удная м одул яц и я

Сигнал называется амтитудно-модулированным, если он задаётся функциейвида

x(t) =A (t)cosco0t,

где амплитуда A(t) является медленно меняющейся функцией времени

(по сравнению с cos a>0t).

Пусть периодический сигнал cos ®0f модулирован так, что ампли­ туда модуляции меняется по гармоническому закону:

A(t) =Aq(l +т cosi it ) .

Используется следующая терминология: coq— несущая частота, Q — частота модуляции, т — глубина модуляции.

Обычно предполагается, что т «: 1.

Пример амшшгудно-модулйрованного сигнала показан на рис. 17.6.1.

Рис. 17.6.1. Амплитудно-модулированный сигнал. Штриховой линией показана

350