^хс £уу ^ ^zz >
то кристалл является одноосным, причём ось z оказывается осью кри сталла. Если же все три величины £уу, различны, то кристалл —
двуосный.
В случае изотропной среды (или среды с кубической симметри ей) главные значения тензора £ совпадают:
£ц - £ l = e , D = s E .
Рассмотрим далее случай одноосных кристаллов. Для таких кри сталлов вектор индукции можно разлржить на проекции вдоль (индекс «||») й перпендикулярно (индекс «J.») оси кристалла:
D-*=£j|E|| +е ±Е, или 1)ц =^|£j|, D± =^ХЕ±.
Для обыкновенного луча вектор Е перпендикулярен оси кристал ла, Е _L оси, так что
£о = £1
независимо от направления распространения луча. Соответственно по казатель преломления и скорость обыкновенного луча оказываются равными
=лДГ» =C/V^i ■
Если необыкновенный луч распространяется перпендикулярно оси кристалла, то его вектор Е параллелен оси, Е |оси, так что
пе = ие =c / f i ,
П.1.3. У р а вн ен и е Ф р ен ел я дл я о д н о о сн ы х кри ст ал л ов
Получим выражение для показателя преломления луча, распро страняющегося под произвольным углом 9 к оси кристалла. Ограни чимся случаем диэлектрического немагнитного кристалла: ц =\. Пред полагаем, что свободные заряды и токи проводимости отсутствуют.
Исходим из уравнений Максвелла: |
, „ 1 |
дВ |
+ " 1 Ш |
rotE =-------- , |
rotH =------ , |
с dt |
с |
dt |
divD =0, divH =0.
Рассмотрим бегущие волны. Тогда зависимость полей от координат и времени имеет вид
~ e x p ( ik r - ifitf) .
Соответственно уравнения Максвелла принимают вид
кхЕ =—Н, кхН = —D, kD = 0, кН =0 . |
(П.1.1) |
Сс
Из этих уравнений видно, что векторы D, Н и к взаимно ортогональны
с
(рис. П.1.4а). Поскольку вектор Пойнтинга равен S =— [Е, Н], то вза-
4ж
имно ортогональную тройку образуют также векторы Е, Н и S (рис.
П.1.46)
Вектор Е перпендикулярен вектору Н и, следовательно, лежит в плоскости, образуемой векторами D и к. Это значит, что в случае, когда Е и D не параллельны, Направления волнового вектора к и вектора Пойнтинга S не совпадают. При этом, как легко увидеть из рис. П.1.4в, угол между D и Е равен углу между к и S.
4S
Рис. П.1.4. Взаимное расположение векторов D, Е, Н, к и S в одноосном кри сталле: векторы D, Е, к и S лежат в плоскости, перпендикулярной вектору Н, причём угол между D и Е такой же, как и между к и S
Введём вектор N следующим образом: |
|
I ^TVT |
(П.1.2) |
к =—N. |
Этот вектор имеет тот смысл, что его длина |N =п равна показателю преломления для волны, распространяющейся в направлении, задавае мом волновым вектором к. Если луч образует угол в с осью кристалла, то
iV||=«cos0, |Njl| =nsm 9 , N2 = +N2 =n2.
Соответственно первые два уравнения в (П.1.1) принимают вид
NxE =H, NхН = -D.
Исключая отсюда вектор Н, получим одно уравнение, связывающее векторы напряжённости и индукции электрического поля:
D =-[N, [N, E]], или D =N2E - N(NE). |
(П.1.3) |
Вводя тензор диэлектрической проницаемости ё =(% ) соотношением
Ц =£1кЕк>
перепишем соотношение (П.1.3):
£ikEk=N 2SjkEk -N iNkEk, или [N2Sik ~NiNk - s ik^Ek = О
(по индексу к проводится суммирование). Условие совместности этой системы уравнений состоит в равенстве нулю её определителя:
Выберем систему координат так, чтобы ось z совпала с осью кристалла, а две другие оси (х, у ) были ей перпендикулярны. Тогда уравнение (П.1.4) принимает вид
N2-N x2 - sx |
-N xNy |
-N XNZ |
|
-N y Nx |
N2 -N 2 - s± |
-N yNz |
= 0. |
~NZNX |
NzNy |
N2-N 2s |
и |
Раскрыв определитель в левой части равенства, можно привести это уравнение к следующему виду:
(iV2 s ±)[s^N2 +е± (iV2 +N2) - £]ls ±] =О,
назьшаемому уравнением Френеля для одноосных кристаллов. Видно,
что оно распадается на два независимых уравнения:
N2 N2+N2
- 1. (П-1.5)
Поскольку
Nz =JVj| =ncos&,
N2 +N2 =N2 =n2sin2 в,
то уравнения (П.1.5) принимают вид
Здесь первая формула определяет показатель преломления для обыкно венного луча, а вторая — для необыкновенного. Обозначая
п0 =y fs[ , пе =^~£^, перепишем последнее равенство в (П.1.6):
_ j _ = s i n ^ + c o f 9 ; |
№ 1 7 |
п \ в ) |
4 |
nl |
|
Отсюда видно, что показатель преломления для необыкновенного луча заключен между значениями п0и пе.
Найдём угол <р, образуемый вектором Пойнтинга и волновым вектором необыкновенной волны. Как было сказано выше, этот угол равен углу между векторами D и Е.
Поскольку (рис. П.1.4а) D ± N , t o
Ш =D±N1_+ЦЩ=0.
Имея в виду, что JVjj =N cos в, N±=N sin#, находим угол вв, образуе мый вектором D с осью кристалла:
tg 0D = — =------ =-ctg<9.
|
Ц\ |
Искомый угол <р определится из равенств: |
ED |
Ef\\+ELDL |
cos (р = |
yjE^+El^D^+D- |
|
Щ I£\\+d±I£l |
f a |
■'i |
Поскольку Dji/D± =—ctg0, то последнее равенство можно переписать
в виде |
|
|
|
|
|
|
£, sin2 0 +Ейcos2 в |
|
cos<р = ь±! |
|
|
|
|
|
sin2 в +£|2 cos2 0 |
Найдём также синус угла (р\ |
|
|
|
|
|
I------- 2— |
|
~е ±) S'n ^C0S# |
Sin^7>=\/l-cos |
т = |
,—L |
О• _ |
О - о |
» |
' |
/ Ч |
|
|
|
yjsi? cos2 в +s 2 sin2 0 |
Наконец, для тангенса угла <р отсюда следует: |
|
|
(а. —Е\) sin 20 |
|
4V =------ " |
/ |
|
------- СП-1.8) |
|
+ £х |
+ (£ц — £± ) COS |
20 |
Легко видеть, что в частных случаях, когда луч распространяется
вдоль (0 =0) и перпендикулярно (9 =л:/2) оси кристалла, из послед ней формулы вытекает (р =0, т.е. луч не отклоняется от исходного на
правления: направления волнового вектора и вектора Пойнтинга совпа дают.
Таким образом, мы нашли угол, на который отклоняется необык новенный луч при нормальном падении света на поверхность кристалла в том случае, когда ось кристалла составляет угол 9 с нормалью к по верхности (рис. П.1.3).
П.1.4. Э л ем ент арная т ео р и я а н и зот р оп н ы х ди эл ек т р и к ов
Рассмотрим простейшую модель, иллюстрирующую возникнове ние анизотропии диэлектрической проницаемости. Предположим, что среда состоит из длинных молекул, ориентированных вдоль определён ного направления, называемого директором и являющегося осью кри сталла. Электроны в молекулах могут совершать колебания только вдоль этого направления (рис. П.1.5).
Рис. П. 1.5. Электрическое поле Е волны направлено под углом а к директору — оси кристалла z
Считая, что выделенное направление есть ось z, запишем уравне ние движения электрона:
mz = — k z — ftz +eEz. |
|
Вводя стандартные обозначения: |
|
о ? = к/т, 2 у =Р/т, |
|
перепишем это уравнение в виде |
|
z +2yz +co2z =eEz/m. |
(П.1.9) |
Если единичный вектор вдоль оси кристалла обозначить как q, то |
Ez =qE =Eq c o s a ■е~ш |
(П.1.10) |
— составляющая электрического поля волны вдоль оси кристалла (ди ректора). Решение уравнения (П.1.9) имеет вид
z - g ( d ) - qE, |
g(a>) =—2-----\------- . |
(П.1.11) |
т |
о)0 в) -2гуо? |
|
Отсюда находим вектор поляризации среды:
|
' JWg2 |
|
|
P =(0,0,Pz) ,P z =Nez =------g ( 0))Ez. |
|
|
m |
|
Здесь N— число электронов в единице объёма среды. В векторном виде |
полученное соотношение записывается в виде |
|
|
Ne2 ' |
|
|
P =qPz =— g(©)(Eq)q; |
|
|
т |
|
Поскольку D =E+4;rP, то |
|
|
АяЫе2 |
|
|
D = E+----------£(ft>)(Eq)q, |
|
или |
т |
|
|
|
- |
Di =Ei +a>lg(o)qiqkEk. |
(П.1.12) |
В последнем равенстве предполагается суммирование по индексу к.
Введено также обозначение для плазменной частоты: со2 =AnNe2/т.
Проекции единичного вектора q таковы: qx =qy =0, qz =1. Полагая
Dj = eikEk, получаем выражение для тензора диэлектрической прони цаемости:
Sik=Sik+co2pg((a)qiqk. (П.1.13)
Вглавных осях (считая, как и раньше, ось z осью кристалла) имеем
г\ О ОЛ
Таким образом, получаем среду, у которой
£хк = £уу = i . £z z = l + 0j2pg(0j).
Соответственно для обыкновенного луча: а0 =1, а для необыкновенно-
го луча: £е =1+w 2g (a ). ■<..
Заметим, что изложенная модель описывает не только анизотро пию среды, но и дисперсию.
Приложение 2. ОСНОВНЫЕ ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ В ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ.
ОСИСТЕМЕ СИ
Вкниге всюду (за исключением раздела, посвящённого колебани ям в электрических цепях) использовалась гауссова система единиц. Переход от систем единиц СГСЭ, СГСМ и гауссовой к СИ связан с вве дением вспомогательных числовых констант:
4жс
juq=4я--10~7 Г/м* 1,256-КГ6 Г/м.
Эти константы связаны между собой соотношением
Здесь с =2,99793 ■108 м/с — скорость света в СИ.
Система единиц СГСЭ строится на основе системы СГС, к которой добавляется единица заряда, исходя из закона Кулона:
В этой системе заряд электрона равен по величине
е * 4,803-1(Г10 ед. заряда СГСЭ.
Если за основу взять систему СГС и закон магнитного взаимодей ствия токов, то приходим к системе единиц СГСМ. Оказывается,
1 ед. заряда СГСМ =с ед. заряда СГСЭ » 3■Ю10 ед. заряда СГСЭ.
Здесь с « 2,998-1010 см/с — скорость света в системе СГС.
Единица заряда кулон связана с единицей заряда в СГСМ соотно шением
1 Кл =1/10ед. заряда СГСМ ~ 2,998-109 ед. заряда СГСЭ.
, Два заряда по 1 Кл каждый на расстоянии 1 м действуют друг на
друга с силой F » 9 -1011Н.
В системе СИ кулон определяется соотношением
1 Кл =1 А-с.
Ток 1 ампер (А) по определению равен силе не изменяющегося то ка, который при прохождении по двум параллельным проводникам бес конечной длины и ничтожно малой площади поперечного сечения, на
ходящихся в вакууме на расстоянии 1 м друг от друга, вызвал бы на участке длиной 1 м силу взаимодействия, равную 2 ЛОГ1 Н. При этом 1А =1/10 ед. тока СГСМ.
Поясним происхождение числа 2 10-7 Н. В системе СИ сила, дей ствующая на участок провода длины I, по которому течёт ток J\, со сто роны параллельного ему бесконечного провода, по которому течёт ток
./2, по закону Ампера равна
р _ Mo JyJ2 £
2 я R
Выражение для силы в гауссовой системе формально получается отсю да умножением на 4я/(с2ц 0) :
F = 2J£ ± h
c2R
Переход здесь к системе СГСМ состоит в замене J/ c =J^m>:
ry J(m ) r(m)
R
Имея в виду связь ампера и единицы тока в СГСМ и полагая здесь
j [ m) = =1/10ед. СГСМ, R =100 см, I =100 см, получаем значение
силы F =2-10~2 дин =2 -10~7 Н, о котором говорится в определении
ампера.
В системе СИ закон Кулона записывается в виде
Потенциал точечного заряда в системе СИ равен
1 q (р =- ------- .
471Eq г
Единица потенциала в системе СИ — вольт (В), причём
1В =10®/с ед. СГСЭ «1/300 ед. СГСЭ, 1В=108 ед.СГСМ. ;
Теорема Гаусса для электрического поля в системе СИ: divE =p/ sQ, <^>EdS =q/s0.
Формула для ёмкости уединённого проводящего шара радиуса R в
система СИ: |
< |
С ~4Я£0£а. |
|
|
|
|
Ёмкость плоского конденсатора с площадью пластин S и расстоя |
нием между ними d в системе СИ: |
|
|
|
|
Е =£0£S/d. |
|
Единицей ёмкости в системе СГСЭ является сантиметр, а в сис |
теме СИ— фарад (Ф), причём |
|
|
|
|
1 ед. заряда СГСЭ |
1см =—;--------- |
—:--------------, |
|
|
1 ёд. потенциала СГСЭ |
, |
_ |
1 кулон |
с 2 |
.. .... |
1 |
Ф = |
— --------- = —- с м » 8,99-10 см. |
1 вольт Ю Кроме того, имеет место соотношение
1Ф =10“9 ед.СГСМ.
Заметим, что фарад входит в определение величины е0.
В системе СГСЭ единицей проводимости является секунда-1, а
удельного сопротивления — секунда. |
В системе СИ единицей сопро |
тивления является ом, причём |
|
1вольт |
109 |
1 |
1 ом =— ------=— -ед.СГСЭ®------ — ед.СГСЭ. |
1 ампер |
с |
9-10 |
В системе СИ вектор электрической индукции определяется фор |
мулой |
|
: |
|
D=ff0E+P. |
В случае линейной связи поляризации и напряжённости электрического поля имеем
Р =£0аЕ, D =£0£Ж, s =1 +а.
Теорема Гаусса для поля в диэлектрике записывается в виде
=divD =р
s
(q и р — соответственно свободный заряд в объёме Vи объёмная плот ность свободных зарядов).
Плотность энергии электрического поля равна
1 |
1 |
у |
= |
D2 |
и =—ED, и =—£0аЕ |
|
2£0£ |
2 |
2 |
|
|
(последние две формулы справедливы в случае D =^0^Е ).
В системё'СИ силы Лоренца и Ампера даются формулами
F = ^vxB, fifF =j х В dV, dF =Jdl x B.
Система СГСМ строится исходя из формулы для силы Лоренца следующим образом. В системе СГСЭ сила Лоренца, действующая на заряд q, равна
ч- |
F = —vxB. |
с |
В частности, когда v ± В5 имеем |
|
V - q-vB. |
|
С |
Обозначая тот же заряд в системе СГСМ как q(nC>=q j c , получаем
F =q(m)uB,
Соответственно получаем указанную вьппе связь единиц заряда в сис
темах СГСЭ (q) и СГСМ ( q{m)):
1 ед. заряда СГСМ =с-1 ед. заряда СГСЭ
(скорость света с здесь берётся в системе СГС: с =3 -1010см/с).
Единицей индукции магнитного поля в системе СГСМ является га
у с с (Гс), который определяется следующим образом: |
|
магнитное поле с индукцией 1 гаусс |
действует на заряд |
q{m) -1 ед. СГСМ, движущийся со скоростью |
о = |
1 см/с перпендику |
лярно силовым линиям магнитного поля, с силой F =1 дин.
Система единиц, в которой единицы заряда берутся из системы СГСЭ, а единицу магнитного поля — из системы СГСМ, называется
гауссовой системой.
В системе СИ единицей индукции магнитного поля является тесла (Тл). 1 Тл равен индукции однородного магнитного поля, в котором на
плоский контур с током, имеющий магнитный момент 1А-м2, дейст вует максимальный вращающий момент, равный 1 Н м . Численно
1Тл =104 Гс.
Магнитный момент витка с током в системе СИ дается выражени
ем
m =JS.
Момент силы, действующий на магнитный момент со стороны магнитного поля, записывается в виде
': М =jiixB.
