Ilin_Poznyak_-_Matanaliz

в настоящем пункте мы докажем, что формула (2.30) спра­

ведлива для двух специальных типов линейных преобразований:

1) линейного преобразования Т/" заключающегося в том, что i-я координата умножается на вещественное число л i- О, а все

остальные координаты не изменяются 1), и 2) линейного пре­

образования Tij, заключающегося в том, что к i-й координате

добавляется j-я координата, а все координаты, кроме i-й, не из­

меняются 2).

Лемма 2. Если фу1-t'К'Цил f(y) интегрируема в области D,

то длл 'Каждого из nреобразова1-tиu Т/, и T ij справедлива форму­

ла заме1-tы nеременных (2.30).

Доказательство леммы 2. Обозначим через Rn-Mep- ный прямоугольный параллелепипед, содержащий область D, а через F - функцию, равную f в области D и равную нулю в R - D. Достаточно доказать, что для каждого из преобразо-

ваний Т/' и Tij справедлива формула

в которой символом Т обозначено одно из преобразований Т/,

или Tij .

а [Tij]-l R представляет собой заведомо кубируемую область

Применяя к однократному интегралу по переменной Yi фор­ мулу замены переменной Yi = ЛХi для случая преобразования

Т/, и Yi = Xi + Xj для случая преобразования Tij (см. § 7 гл. 10

вып. 1) мы получим:

а) для случая преобразования Т/,

bi

J F(Yl' ... , Уn) dYi =

получим формулу (2.31) для случая преобразования Т/,.

Аналогично, вставляя (2.37) в (2.35), применяя формулу по­

вторного интегрирования и учитывая равенства Yk = Xk при

k i= i, вид (2.34) области [TijJ- 1 R и второе равенство (2.32), мы

получим формулу (2.31) для случая преобразования Tij. Лем­

ма 2 доказана.

30. Лемма 3. Вслnое 1-t.евЪtрожде1-t.1-t.ое лu1-t.еU1-t.ое nреобразо­ вание Т nредстави.мо в виде суnерnозu'Цuu no1-t.е'Ч,1-t.ого 'Ч,uсла лu-

1-t.еu1-t.ыlx nреобразова1-t.uU тиnа Т/, u Tij.

Доказательство леммы 3. Прежде всего проверим,

что линейное преобразование Т', заключающееся в перестановке

каких-либо двух координат, представимо в виде суперпозиции

шести преобразований типа Т/' и Tij. В самом деле, пусть Т'

заключается в обмене местами i-й и j-й координат (остальные координаты при этом не изменяются). Тогда легко проверить, что 1)

(2.38)

Заметим теперь, что совершенно произвольное линейное невы­ рожденное преобразование Т путем конечного числа перестано­ вок двух строк И двух столбцов можно привести к линейному

Остается доказать, что последнее линейное преобразование представимо в виде суперпозиции конечного числа преобразова­

ний типа Т/, и Tij .

Докажем это по индукции.

Так как Ь.1 = а11 i- О, то с помощью преобразования Tfll

мы получим (Хl, Х2, ... , Хn) --+ (а11Хl, Х2, ... , Хn).

Предположим теперь, что путем суперпозиции конечного числа

преобразований типа Т/' и Tij нам удалось привести исходную

последовательность координат (Хl, Х2, ... , Хn) к виду

(а11Хl + ... + a1k x k, ... , akl x l + ... + akkxk, xk+l, ... , хn).

(2.40)

Для завершения индукции достаточно доказать, что путем

суперпозиции конечного числа преобразований типа Т/, и Tij

можно привести последовательность координат (2.40) к виду

(а11Хl + ... + al(k+1)Xk+l, ... , akl x l + ... + ak(k+l)Xk+l,

а(Н1)1Хl + ... + a(k+1)(k+l)Xk+1, ХН2, ... ,Хn). (2.41)

Сначала мы для каждого номера i, для которого отличен

от нуля элемент ai(k+l)' произведем последовательно пару пре-

1) в самом деле, сохраняя при записи только i-ю и j-ю координаты, мы по­

соответствующую пару преобразований не производим). Супер­

позиция всех указанных пар преобразований приводит последо­

вательность (2.40) к виду

(al1 X l + ... + a1(k+1)Xk+l, ... , ak1 x 1 + ...

... + ak(k+l)Xk+1, Xk+1, Xk+2, ... ,Хn)· (2.42)

Далее заметим, что поскольку минор (2.39) отличен от нуля,

то отличен от нуля и равный ему определитель

(2.43)

Но тогда найдутся такие вещественные числа А1, ... , Ak, Ak+l, что линейная комбинация строк определителя (2.43) с эти-

ми числами равна 1)

(2.44)

Это означает, что если мы для каждого номера j = 1, 2, ...

,k + 1, для которого Aj i- О, произведем последовательно па-

ру преобразований T(k+l)jT/\j (для тех j, для которых Aj = О,

соответствующую пару преобразований не производим), то су­

перпозиция всех произведенных пар преобразований переведет

последовательность (2.42) в (2.41). Тем самым индукция завер­

шена, и лемма 3 доказана.

40. Лемма 4. Для nроизволъного линейного невырожден­

ного nреобразования (2.28) при условии существования интег­ рала, стоящего в левой 'Ч.асти (2.30), справедлива фор.м.ула за­

.м.ены nере.м.енных

Для доказательства леммы 4 достаточно заметить, что фор­

мула (2.30) справедлива для каждого из преобразований типа

Т/' и Tij (лемма 2) и что произвольное линейное невырожден­

ное преобразование (2.28) представимо в виде суперпозиции ко­

нечного числа преобразований типа Т/' и Tij (лемма 3), причем

при суперпозиции линейных преобразований происходит пере­

множение соответствующих якобианов (лемма 1).

С.ледствuе uз .леммы 4. Если G - nроизволъная nуби­

руе.м.ая областъ в пространстве Еn , т - nроизволъное невы­

рожденное линейное nреобразование, то n-.м.ерныЙ обое.м. V (G)

1) Для доказательства этого достаточно добавить к матрице определителя

(2.43) строку (2.44) и применить теорему о базисном миноре lCM. вып. 4 «Линейная алгебра» ).

§ 5 ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В n-КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ 85

области G и n-MepHЪtи обоем V(TG) образа TG этоu области

связанЪt равенством

50. Переходим теперь к обоснованию формулы замены пе­

ременных (2.25) для совершенно произвольного преобразования у = ф(х), удовлетворяющего условиям теоремы 2.8.

Следует подчеркнуть, что при выполнении условий теоремы 2.8 существуют оба интеграла, стоящие в левой и правой ча­

стях (2.25), так что нам следует доказать только равенство этих

интегралов.

Договоримся обозначать символом Jij (х) элементы матрицы

'Чаемое символом IIAII иравноеi=l~~~.,n[j~llaijl].

Заметим, что при таком определении норм точки и матрицы из равенства у = Ах вытекает, что

Кроме того, легко проверить, что для единичной матрицы Е

справедливо равенство IIEII = 1.

В этом пункте мы докажем следующую лемму.

Лемма 5. Если вЪtnолненЪt условия тeO?eMЪt 2.8 и если С - n-MepHЪtи 'Куб, nринадлежащиu области D , то n-MepHЪte обо­ eMЪt 'Куба С и его образа ф(С) связанЪt неравенством

§ 5 ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В n-КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ 87

В силу следствия из леммы 4 для любого кубируемого мно­

жества G и для линейного преобразования т-1 справедливо ра­

Правую часть (2.52) оценим с помощью неравенства (2.47), взяв (2.47) не для преобразования ф, а для суперпозиции преоб­

разований т-1ф. Получим

Учитывая, что матрица Якоби линейного преобразования совпадает с матрицей этого преобразования, мы в силу леммы 1

получим, что

Но это и означает, что неравенство (2.53) может быть пере­ писано в виде (2.51).

Тем самым неравенство (2.51) доказано.

Теперь для доказательства леммы 6 покроем пространство

а символ Gh обозначает сумму всех указанных кубов.

Выбрав в каждом кубе Ci произвольную точку Xi запишем

для него неравенство (2.51), полагая при этом Т = JljI(Xi). По­

лучим

Суммируя последнее неравенство по всем номерам z от 1

до n(h), получим

Поскольку элементы матрицы Якоби JljI(X) являются непре­ рывными функциями точки Х во всей области D' и тем более в G

1) Мы учитываем при этом, что Т· T- 1 = Е, так что det Т· det T- 1 = 1.

в проведенных нами рассуждениях можно поменять ролями

области D и D' и вместо функции f (у) в области D рассмотреть

функцию g(x) = ЛФ(х)]·1 det JФ(х)1 в области D'. При этом, ис­

пользуя лемму 1 и теорему об определителе произведения двух

матриц, мы получим противоположное неравенство

Из (2.57) и (2.58) вытекает формула замены переменных (2.25).

Лемма 7 доказана.

80. Нам остается завершить доказательство теоремы 2.8, т. е.

избавиться от наложенного в лемме 7 дополнительного требова­

ния неотрицательности функции f (у).

Пусть f (у) - совершенно произвольная интегрируемая по об­

ласти D функция, число М - точная верхняя грань функции

1 f (у) 1 в области D 1).

в силу леммы 7 для каждой из неотрицательных функций fl(y) == М и f2(y) = М - f(y) справедлива формула замены

переменных (2.25).

Но тогда из линейного свойства интеграла вытекает спра­

ведливость формулы (2.25) и для разности fl(Y) - f2(Y) = ЛУ).

Теорема 2.8 полностью доказана.

3 а м е ч а н и е 1. В условиях теоремы 2.8 можно допустить

обращение в нуль якобиана (2.24) на некотором принадлежа­ щем D' множестве точек S, имеющем n-мерный объем нуль.

В самом деле, множество S лежит внутри элементарной фигу­ ры С как угодно малой площади, причем, согласно доказанному выше, справедлива формула

ф(D'-С) D'-C

Осуществляя в формуле (2.59) предельный переход по по­ следовательности элементарных фигур {Ck}' n-мерный объем V(Ck ) которых стремится к нулю, мы убедимся в справедливо­ сти формулы (2.25) и для рассматриваемого случая.

1) Напомним, что из интегрируемости f (у) в области D вытекает ограни­

ченность f (у) в D и существование точных граней.