Ilin_Poznyak_-_Matanaliz

102 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ГЛ.3

Следствие ('Частный npU3Ha'N- сравнения в предель­

ной фор,м,е). Если при р > 1 существует к;оне'Чное предельное

дится.

Убедимся в справедливости первой части следствия. Для это­

го заметим, что из существования предела при х ---+ +00 выте­

кает ограниченность функции xPIJ(x)l, т. е. с некоторой посто­

янной со > О выполняется неравенство

После этого применяется первая часть теоремы 3.3. Спра­

ведливость второй части следствия вытекает из следующих рас­

суждений. Так как с > О, то можно указать столь малое [ > О,

что с - [ > о. Этому [ отвечает такое А > О, что при х ~ А вы­

полняется неравенство с - [ < f(x)x P (это неравенство следует

из определения предела). Поэтому лх) > с - Е И В этом случае

хР

действует вторая часть теоремы 3.3.

3. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов. Введем понятия аБСОЛ1Отноu и условноu сходи­

мости несобственных интегралов. Пусть f(x) интегрируема по

(х)

теграл J lJ(x)1 dx расходится.

а

3 а м е ч а н и е. Положив в теореме 3.2 g(x) = lJ(x)l, мы по­

лучим, что из абсолютной сходимости несобственного интеграла

вытекает его сходимость.

Отметим, что теоремы 3.2 и 3.3 позволяют установить лишь

абсолютную сходимость исследуемых несобственных интегралов.

1) Тогда и функция Ij(x)1 интегрируема по любому сегменту [а, R].

Приведем еще один достаточный признак сходимости несобст­

венных интегралов, пригодный и в случае условной сходимости.

Теорема 3.4 (nрuзнаn Дuрuх,л,е-Абе,л,.я). Пусть Фун'Х:­

'Ции f(x) и g(x) определены на nолуnр,я,мои а ~ х < 00. Пусть далее Фун'Х:'Ци,я, f (х) непрерывна на nолуnр,я,мои а ~ х < 00 и

имеет на этои nолуnр,я,мои ограни'Ченную nервообразную F (х) 1).

Предположим еще, 'Что Фун'Х:'Ци,я, g(x), монотонно не воз­

раста,я, на nолуnр,я,мои а ~ х < 00, стремитс,я, 'х: нулю при х --7

--7 +00 и имеет nроизводную g'(x), непрерывную на nолуnр,я,­

мои а ~ х < 00. При этих услови,я,х сходитс,я, несобственныи

а

Доказательство. Воспользуемся критерием Коши схо­

димости несобственных интегралов. Предварительно проведем

R"

интегрирование по частям интеграла J f(x)g(x) dx на произ­

По условию теоремы Р(х) ограничена: IF(x)1 ~ К. Так как g(x) не возрастает и стремится к нулю при х --7 +00, то g(x) ~ о, а g'(x) ~ о. Таким образом, оценивая соотношение (3.7), мы

получим следующее неравенство:

Так как интеграл в правой части этого неравенства равен

g(R') - g(R"), то, очевидно,%

Используя это неравенство, нетрудно завершить доказатель­

ство теоремы. Пусть Е - произвольное положительное число.

Так как g(x) --7 О при х --7 +00, то по данному Е можно выбрать

Атак, что при R' ~ А выполняется неравенство g(R') < Ej(2K).

1)Это означает, что первообразная F(x), которую можно определить как

х

J f(t) dt, удовлетворяет для всех х ? а неравенству IF(x)1 :( К, где К-

а

постоянная.

Мы будем предполагать выполненными следующие условия:

1)фун'К'Ция f(x) непрерывна на полуоси а ~ х < 00;

2)полуось а ~ х < 00 является МНО;JfCеством зншчениi1 не'Которои строго монотоннои фун'К'Ции х = g(t), заданноi1 на полуоси а ~ t < 00 (или - 00 < t ~ а) и имеющеi1 на этоi1

полуоси непрерывную nроизводную;

3)g(a) = а.

При этих условиях из сходимости одного из следующих

несобственных интегралов:

выlе'каетт сходимость другого и равенство этих интегралов. Сформулированное утверждение устанавливается с помощью

следующих рассуждений.

Рассмотрим произвольный сегмент [а, R]. Этому сегменту отвечает, согласно строгой монотонности функции g(t), сегмент [а, р] (или [р, а]) оси t такой, что при изменении t на сегменте [а, р] значения функции х = g(t) заполняют сегмент [а, R], при­ чем g(p) = R. Таким образом, для указанных сегментов выпол­

нены все условия п. 3 § 7 гл. 10 вып. 1 этого курса, при которых

действует формула замены переменной под знаком определен­ ного интеграла. Поэтому имеет место равенство

р -+ 00, и обратно, р -+ 00 при R -+ 00 (или R -+ 00 при р -+ - 00

и р -+ - 00 при R -+ (0). Поэтому из формулы (3.11) вытекает

справедливость сформулированного выше утверждения. Перейдем теперь к вопросу об интегрировании по частям

несобственных интегралов первого рода.

Докажем следующее утверждение.

Пусть фун'К'Ции и(х) и v(x) имеют непрерывные nроизвод­

ные на nолуnрямоi1 а ~ х < 00 и, 'Кроме того, существует

предельное зншчение

lim u(x)v(x) = А.

х---+оо

При этих условиях из сходимости одного из интегралов

аа

выте'Кает сходимость другого. Справедлива та'К;JfCе формула

§ 2 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА 107

обозначается тем же символом (3.15). Таким образом, в случае сходимости интеграла (3.15) используется равенство

аа---++О а

3 а м е ч а н и е. Понятие несобственного интеграла второго

рода легко переносится на случай, когда функция f(x) имеет

конечное число особых точек.

При м ер. Рассмотрим на полусегменте [а, Ь) функцию 1j(b-х)Р, Р > о. Ясно, что точка Ь является особой точкой для

этой функции. Кроме того, очевидно, что эта функция интегри­

руема на любом сегменте [а, Ь - а], причем

при р < 1 и не существует при р ? 1. Следовательно, рассмат­

риваемый несобственный интеграл сходится при р < 1 и расхо­ дится при р ? 1.

Сформулируем критерий Коши сходимости несобственного

интеграла второго рода. При этом мы будем предполагать, что

функция f (х) задана на полусегменте [а, Ь) и Ь - особая точка

этой функции.

Теорема 3.5 ('К',ритерий Коши). Длл сходимости несоб­

ственного интеграла второго рода (3.15) необходимо и доста­

О < а" < а' < 6, выnолнллосъ неравенство

I:!::'f(x) dxl < [.

Справедливость этой теоремы вытекает из того, что понятие

сходимости интеграла по определению эквивалентно понятию

существования предельного значения функции Р(а), введенной

вначале этого пункта.

2.Заключительные замечания. Мы не будем подробно развивать теорию несобственных интегралов второго рода. Это

объясняется тем, что основные выводы и теоремы предыдущего параграфа без труда могут быть перенесены на случай интегра­ лов второго рода. Поэтому мы ограничимся некоторыми заме­

чаниями.

Частный признак сравнения будет иметь следующий вид.

Если lJ(x)1 ::;; с(Ь - х)-Р, где р < 1, то несобственный интег­ рал (3.15) сходится. Если же лх) ~ c(b-х)-Р, где с > О ир ~ 1, то несобственный интеграл (3.15) расходится. Доказательство

вытекает из общего признака сравнения и примера, рассмотрен­

ного в предыдущем пункте.

В полной аналогии с п. 3 предыдущего параграфа для несоб­ ственных интегралов второго рода формулируются правила ин­

тегрирования путем замены переменной и интегрирования по

частям.

§ 3. Главное значение несобственного интеграла

Оnределенuе. Пустъ фун'К'Ция f(x) определена на прямой

- 00 < х < 00 и интегрируема на 'Каждом сегменте, принад­

лежащем этой прямой. Будем говоритъ, 'Что фун'К'Ция f(x)

и н т е г р и р у е м а n о К о ш и, если существует предел

R

lim J f(x) dx.

R-++OO_R

Этот предел мы будем называтъ г л а в н ы м 3 Н а 'Ч е н и е м

несобственного интеграла от фун'К'Ции f(x) в смысле Коши и

Справедливо следующее утверждение.

Если фун'К'Ция лх) не'Четна, то она интегрируема по Коши

и главное зна'Чение интеграла от нее равняется нулю.

Если фун'К'Ция f(x) 'Четна, то она интегрируема по Коши

тогда и толъ'Ко тогда, 'Когда сходится несобственный интеграл

о

Первая часть этого утверждения является очевидной. Для до­

казательства второй части достаточно воспользоваться равенством

1) У. р. - начальные буквы французских слов «Valeur principal», обозна­

чающих «главное значение».

справедливым для любой четной функции, и определением схо­

димости несобственного интеграла (3.17).

Понятие интегрируемости по Коши можно ввести и для несоб­ ственных интегралов второго рода в случае, когда особая точка

является внутренней точкой сегмента, по которому производит­

ся интегрирование.

Оnределе'Н,uе. Пусть фу'Н'Кция f(x) оnределе'На 'На сегме'Н­ те [а, Ь], 'Кроме, быть может, то'Ч'Ки с, а < с < Ь, и и'Нтегри­

руема 'На любом сегме'Нте, 'Не содержащем с. Будем говорить,

[а, Ь], а < с < Ь в несобственном смысле, однако она интег­

рируема по Коши. При этом

Ьс-а Ь

§ 4. Кратные несобственные интегралы

Этот параграф посвящен обобщению понятия кратного ин­ теграла на случаи неограниченной области интегрирования и неограниченности подынтегральной функции. Напомним, что

именно эти случаи исключались нами из рассмотрения при по­

строении теории кратных интегралов.

Отметим, что мы сформулируем понятие несобственного

кратного интеграла так, что будут охвачены как случай неогра­ ниченной области интегрирования, так и случай неограниченной функции.

1. Понятие кратных несобственных интегралов. Пусть

D - открытое множество 1) т-мерного евклидова пространст­

ва Ет . Символом D мы будем обозначать замыкание D, которое

получается путем присоединения к D его границы. Нам пона­

добится понятие последовательности {Dn } открытых множеств,

монотонно исчерпывающих множество D.

Будем говорить, 'Что nоследователь'Ность {D n } от'Крытых м'Ножеств мо'Ното'Н'Но ис'Черnывает м'Ножество D, если: 1) для

1) Множество называется открытым, если оно состоит лишь из внутрен­

них точек. Открытое множество называют также областью.