Ilin_Poznyak_-_Matanaliz

62 ДВОЙНЫЕ И n-КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ГЛ.2

Во всех определениях и утверледениях указанного пункта

вместо фигуры Q молено брать произвольное ограниченное мно­ леество Q.

В том лее пункте было дано определение кривой (или грани­ цы фигуры) площади нуль: Г называется кривой пло­

щади нуль, если для любого Е > О найдется многоугольник,

содерлеащий все точки Г и имеющий площадь, меньшую Е.

Отметим, что в этом определении термин «многоугольник» молено заменить термином «элементарная фигура». Это следует

из того, что любая элементарная фигура является многоуголь­ ником, а любой многоугольник с площадью, меньшей числа Е,

содерлеится в элементарной фигуре, имеющей площадь, мень­

шую числа 8Е 1).

Легко доказать следующее у т в ер ле Д е н и е .

Если Г имеет площадь 'Нуль и если nлоск;ость noк;pЪtтa к;вад­ рат'Ной сетк;ой с шагом h, то для любого Е > О 'Найдется h > О так;ое, 'Ч,то сумма площадей всех имеющих общие то'Ч,к;и с Г к;вадратов ме'Ньше Е.

В самом деле, для любого Е > О молено фиксировать неко­

торую элементарную фигуру Q, содерлеащую внутри себя Г и

имеющую площадь, меньшую Е/4. После этого остается заме­

тить, что при достаточно малом шаге квадратной сетки h все квадраты, имеющие общие с Г точки, содерлеатся в элементар­

ной фигуре, получающейся заменой каледого прямоугольника Q

вдвое большим прямоугольником с тем лее центром. Подчеркнем, что класс кривых площади нуль весьма широк.

Этому классу принадлелеит, например, любая спрямляемая кри­

вая (см. теорему 11.3 вып. 1).

Перейдем теперь к определению двойного интеграла для про­

извольной двумерной области D.

Пусть D - замкнутая ограниченная область, граница Г ко­

торой имеет площадь нуль, а f(x, у) -произвольная функция,

определенная и ограниченная в области D.

Обозначим через R любой прямоугольник (со сторонами, параллельными координатным осям), содерлеащий область D (рис.

1)в самом деле: 1) многоугольник равен конечной сумме треугольников;

2)каждый треугольник равен сумме (или разности) двух прямоугольных тре­ угольников; 3) прямоугольный треугольник содержится в прямоугольнике, вдвое большем по площади; 4) любой прямоугольник равен сумме конечно­

го числа квадратов и одного прямоугольника, отношение сторон которого

заключено между 1 и 2; 5) любой квадрат содержится во вдвое большем по площади квадрате со сторонами, параллельными осям Ох и Оу; 6) любой

прямоугольник с отношением сторон, заключенным между 1 и 2, может быть дополнен до квадрата и потому содержится во вчетверо большем по площади квадрате со сторонами, параллельными осям Ох и Оу.

в остальных точках R.

Оnределе'Н,ие. ФУН'Кv,шо ЛХ, у) будем называтъ и н т е г­

рируемоu в области D, еслифун'Кv,и,я,F(х, у) интегри­

руема в nр,я,моуголъни'Ке R.

При этом число 1 = JJF (х, у) dx назовем двойным интег­

D

самом деле, подвергая соответствующий прямоугольник R все

более мелким разбиениям, мы получим, что верхние суммы этих разбиений будут равны площадям элементарных фигур, содер­ жащих D, а нижние суммы - площадям элементарных фигур,

мы отличаются от обычной интегральной суммы (соответствен­ но от нижней суммы) функции f (х, у) в области D только от­

сутствием слагаемых по квадратам, имеющим общие точки с границей Г области D, причем сумма всех отсутствующих слага­

емых по модулю меньше произведения точной верхней грани М

функции If(x, y)1 в области D на площадь S элементарной фи­

гуры, состоящей из квадратов, имеющих общие точки с г. Со­ гласно доказанному выше утверждению S ---+ О при h ---+ о.

В отношении данного нами определения естественно возни­ кает вопрос, зависит ли факт существования двойного интегра­

ла и его величина I от 1) выбора на плоскости координатных осей Ох и Оу; 2) выбора прямоугольника R, на котором мы определяем функцию F (х, у).

В следующем пункте мы дадим другое определение интегри­

руемости функции f(x, у) и двойного интеграла, не зависящее

ни от выбора координатных осей, ни от выбора прямоугольни­

ка R, и докажем эквивалентность этого определения приведен­

ному выше.

Пока же мы укажем следующую основную теорему, почти

непосредственно вытекающую из теоремы 2.3 и из данного выше

определения.

Теоре,м,а 2.4. Если функци-я Лх, у) обладает в области D I -свойством, то она интегрируема в области D.

Доказательство. Для такой функции f(x, у) функция Р(х, у), определенная формулой (2.2), будет обладать I-свойст­

вом в прямоугольнике R.

В самом деле, функция Р(х, у) ограничена в прямоугольни­

ке R и все точки и линии разрыва этой функции либо совпадают

с соответствующими разрывами f(x, у), либо лежат на грани­

це Г области D. Поскольку Г имеет площадь нуль, теорема до­

казана.

Следствие 1. Если функци-я f(x, у) ограни'Ч.ена в облас­

ти D и имеет в этой области разрывы лиш'Ь на коне'Ч.ном 'Ч.ис­

ле сnр-ямл-яемых линий, то f(x, у) интегрируема в области D. Следствие 2. Если Лх, у) интегрируема в области D, а g(x, у) ограни'Ч.ена и совпадает с f(x, у) всюду в D, за исклю'Ч.е­ нием MHOJlCeCmBa то'Ч.ек площади нул'Ь, то и g(x, у) интегри­

руема в области D.

4. Определение двойного интеграла при помощи про­ извольных разбиений области. Выше мы определили двой­ ной интеграл, исходя из разбиения области прямыми линия­

ми на конечное число частичных прямоугольников. В этом пункте

мы сформулируем другое определение двойного интеграла, осно­ ванное на разбиении области D любыми кривыми площади нуль на конечное число частичных областей произвольного вида, и

докажем, что это определение эквивалентно данному выше.

Пусть D - замкнутая ограниченная область, имеющая гра­

ницу Г площади нуль. Разобьем область D при помощи конечно­

го числа произвольных кривых площади нуль на конечное чис­

ло r (не обязательно связных!) замкнутых частичных областей

D 1 , D 2 , ... , D r ·

Заметим, что каждая область D i квадрируема, ибо граница

ее имеет площадь нуль (см. вып. 1, гл. 11, § 2) и обозначим

символом b.Di площадь области D i .

Так как для любого разбиения s ~ (j ~ S,

~o достаточно доказать, что обе суммы S и s стремятся к 1 при

t:::. --+ о.

Требуется доказать, что~для любого Е > О найдется 6 > О

такое, что кажд~ из сумм S и s отклоняется от 1 меньше чем на Е как только t:::. < 6.

Обозначим через МО точную верхнюю грань If(x, y)1 в обла­

сти D и заключим все отрезки прямых, производящих разбие­ ние Т, и границу Г области D в н у т р ь элементарной фигуры,

площадь которой меньше числа Е/ (4Мо).

Тогда заведомо существует п о л о ж и т е л ь н а я точная

нижняя грань 6 расстояния между двумя точками, одна из ко­ торых принадлежит границе указанной элементарной фигуры, а другая - отрезкам прямых, производящих разбиение Т, или

границе Г области D 1).

Докажем, что для сумм S и s любого разбиения области D, удовлетворяющего условию t:::. < 6, справедливы неравенства

1) В самом деле, рассмотрим два множества: 1) множество {Р} всех точек

границы указанной элементарной фигуры и 2) множество {Q} всех точек

отрезков разбиения Т и границы Г области D. Оба множества {Р} и {Q}

ограничены и заМ1;;1-tуmы. Предположим, что точная нижняя грань б рас­

стояния р(Р, Q) равна нулю. Тогда найдутся две последовательности точек

{Рn } И {Qn} такие, что Р(Рn , Qn) -+ о. Из указанных последовательностей

в силу теоремы Больцано-Вейерштрасса можно выделить сходящиеся под­

последовательности {Pkn } И пределы Р и Q которых (в силу замкну­ тости) принадлежат соответственно {Р} и {Q}. НО тогда р(Р, Q) = о, т. е. точки Р и Q совпадают, что невозможно, ибо множество {Q} лежит строго внутри элементарной фигуры и не имеет общих точек с {Р}. Полученное противоречие доказывает положительность б.

Так как в силу (2.4) каждая из сумм s и S отклоняется от 1

меньше чем на Е/2, то каждая из сумм s и S в силу (2.10) от­

клоняется от 1 меньше чем на Е. Теорема доказана.

§ 2. Основные свойства двойного интеграла

Свойства двойного интеграла (и их вывод) вполне аналогичны

соответствующим свойствам однократного определенного инте­

грала. Поэтому мы ограничимся формулировкой этих свойств.

1О. А д д и т и в н о с т ь. Если функция f(x, у) интегрируема

в области D и если область D при помощи кривой Г площади нуль разбивается на две связные и не имеющие общих внутрен­

них точек области D 1 и D 2 , то функция f(x, у) интегрируема в

каждой из областей D 1 и D 2 , причем

20 .ЛинеЙное свойство. Если функции f(x, у)иg(х, у)

интегрируемы в области D, а а и (3 - любые вещественные

числа, то функция [а· f(x, у) + (3. g(x, у)] также интегрируе­

ма в области D, причем

Jf[a· f(x, у) + (3. g(x, у)] dx dy =

D

= а JJ f(x, у) dx dy + (3 JJ g(x, у) dx dy.

D D

3 О. Если функции f (х, у) и g (х, у) интегрируемы в обла­

сти D, то и произведение этих функций интегрируемо в D.

40. Если f(x, у) и g(x, у) обе интегрируемы в области D и всюду в этой области f(x, у) ~ g(x, у), то

5 О. Если f (х, у) интегрируема в области D, то и функция If(x, y)1 интегрируема в области D, причем

111 f(x, у)dx dyl ~ 11 f(x, у)dx dy.

(Конечно, из интегрируемости If(x, y)1 в D не вытекает интег­ рируемость f(x, у) в D.)