Ilin_Poznyak_-_Matanaliz
.pdf
§ 5 РАЗЛОЖЕНИЕ Функций В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 51
Легко проверить, что указанные три ряда абсолютно сходятся
для всех значений z (их радиус сходимости R = (0).
Установим теперь связь между функциями eZ , cos z |
и sш z. |
||||
Заменяя и формуле (1.52) z на iz, получим |
|
||||
eiz = 1 + iz + (iZ)2 |
+ (iZ)3 |
+ (iZ)4 + (iZ)5 + ... = |
|
||
2! |
3! |
4! |
5! |
|
|
= (1 - (Z)2 + (Z)4 _ |
... ) |
+ i (z _(Z)3 |
+ ~ - ... ). |
(1.55) |
|
2! |
4! |
|
3! |
5! |
|
Сопоставляя правую часть равенства (1.55) с разложениями (1.53) и (1.54), придем к следующей замечательной формуле:
eiz = cos z + i sinz. |
(1.56) |
Формула (1.56) играет фундаментальную роль в теории функ |
|
ций комплексной переменной и называется фор м у л о й |
Э й |
л ера.
Полагая в формуле Эйлера переменную z равной сначала
вещественному числу х, а затем вещественному числу -х, полу
чим следующие две формулы:
eix = cos х + i sin х, е-ix = cos Х - i sin х.
Складывая и вычитая эти две формулы, мы получим формулы,
выражающие cos х и sin х через показательную функцию:
cosx =
(1.57)
sinx =
2i
в заключение остановимся на определении логарифмической функции w = ln z комплексной переменной z. Эту функцию естественно определить
как функцию, обратную показательной, т. е. из соотношения z = еШ • По
лагая w = 11, + iv, z = х + iy, поставим перед собой цель-выразить 11, и v через z = х + i у.
Из соотношения
z = х + iy = eu +iv = eU(cosv + isinv)
получим, используя понятия модуля и аргумента комплексного числа (см. формулу (7.6) из вып. 1),
Izl = Jx 2 + у2 = еи , argz = v- 27rk,
где
k = О, ±1, ±2, ...
Из последних равенств находим, что
u= ln Izl = ln Jx 2 + у2,
v = arg z + 27rk |
(k = О, ±1, ±2, ... ) |
52 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ |
ГЛ. 1 |
или окончательно |
|
lп z = lп Izl + i(arg z + 2Jrk), где k = О, ±1, ±2, ... |
(1.58) |
Формула (1.58) показывает, что логарифмическая функция в комплекс
ной области 'Не -явл-яетс-я од'Ноз'На'Ч'Ноu: ее мнимая часть для одного и того же значения z имеет бесчисленное множество значений, отвечающих раз личным k =
Легко понять, что аналогичная ситуация будет иметь место и при опре делении в комплексной области обратных тригонометрических функций.
4. Равномерное приближение непрерывной функции
многочленами (теорема Вейерштрасса). В этом пункте мы
докажем фундаментальную теорему, принадлежащую Вейер
штрассу и установленную им в 1895 г.
Теоре,м,а 1.18 (теоре,м,а ВеUерштрасса). Если функцил f(x) непрерывна на сегменте [а, Ь] то существует последова
тельность много'Ч.ленов {Рn(х)}, равномерно на сегменте [а, Ь]
сходлщалсл к f(x), т. е. длл любого G > О найдетсл много'Ч.лен Рn(х) С номером n, завислщим от G такой, 'Ч.то
IPn(x) - f(x)1 < G
сразу длл всех х из сегмента [а, Ь].
Иными словами, непрерывную на сегменте [а, Ь] функцию f(x) можно равномерно на этом сегменте nриблизить много
'Ч.леном с наперед заданной то'Ч.ностью с.
Д О К а з а т е л ь с т в о. Не ограничивая общности, мы можем
вместо сегмента [а, Ь] рассматривать сегмент [О, 1] 1). Кроме
того, достаточно доказать теорему для непрерывной функции f(x), обращающейся в нуль на концах сегмента [О, 1], т. е. удо
влетворяющей условиям f(O) = О и f(1) = о. В самом деле, если бы f(x) не удовлетворяла этим условиям, то, положив
g(x) = f(x) - f(0) - x[J(l) - f(O)],
мы получили бы непрерывную на сегменте [О, 1] функцию g(x), удовлетворяющую условиям g(O) = О и g(l) = О, и из возможно сти представления g(x) в виде предела равномерно сходящейся последовательности многочленов вытекало бы, что и f(x) пред
ставима в виде предела равномерно сходящейся последователь
ности многочленов (ибо разность f (х) - g (х) является многочле ном первой степени).
Итак, пусть функция f(x) непрерывна на сегменте [О, 1] и удовлетворяет условиям f(0) = О, f(1) = о. Такую функцию
1) Поскольк):" один из этих сегментов преобразуется в другой линейной
заменой х = lb - a)t + а.
§ 5 |
РАЗЛОЖЕНИЕ Функций В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ |
53 |
f(x) |
мы можем продолжить на всю бесконечную прямую, поло |
|
жив ее равной нулю за пределами сегмента [О, 1], и утверждать,
что так продолженная функция является равномерно непрерыв
ной на всей беск;оне'Чной прямой.
Рассмотрим следующую конкретную последовательность неотрицательных многочленов степени 2n:
(n = 1, 2, ... ), (1.59)
у каждого из которых постоянная сп выбрана так, что выпол
няется равенство
|
1 |
|
|
|
|
|
J Qn(x) dx = 1 |
(n = 1, 2, ... ). |
|
|
(1.60) |
|
-1 |
|
|
|
|
Не вычисляя точного значения постоянной сп, оценим ее |
|||||
сверху. |
|
|
|
|
|
Для этого заметим, что для любого номера n |
= |
1, 2, |
... и |
||
для всех х из сегмента [О, 1] справедливо неравенство |
1) |
|
|||
|
|
|
|
|
(1.61) |
Применяя неравенство (1.61) и учитывая, что l/Vn ~ 1 при |
|||||
любом n ? 1, будем иметь |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1/Vn |
|
|
|
J(1 - х2)n dx = 2 Л1 - х2 )n dx ? 2 J (1 - х2 )n dx ? |
|
|
|||
-1 |
О |
О |
|
|
|
|
1/Vn |
4 1 |
1 |
(1.62) |
|
|
? 2 J (1 - |
nх2 ) dx = -- |
> -. |
||
|
о |
3y'n |
y'n |
|
|
Из |
(1.59), (1.60) и (1.62) заключаем, что для всех номеров |
||||
n = 1, |
2, ... справедлива следующая оценка сверху для посто |
||||
янной сп:
(1.63)
Из (1.63) и (1.59) вытекает, что при любом д > О для всех х
из сегмента д ~ х ~ 1 справедливо неравенство
(1.64)
1) Это неравенство вытекает из того, что при любом n ~ 1 функция 'Р(х) =
= (1 - х2 )n - (1 - nх2 ) неотрu'Цател'b'l-Ш всюду на сегменте О ~ х ~ 1, ибо
эта функция обращается в нуль при х = О и имеет всюду на указанном
сегменте неотрицательную производную 'Р'(х) = 2nх[1 - (1 - x 2)n-l].
54 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ ГЛ. 1
Из (1.64) следует, что при любом фиnсировшн.'Ном д > О nо
следователь'Ность 'неотрицатель'ныlx м'Ного'Ч.ле'Нов {Qn (х)} схо
дитс-я n 'Нулю рав'Номер'Но 'На сегме'Нте д :::;; х :::;; 1 1).
Положим теперь для любого х из сегмента О :::;; х :::;; 1
1 |
|
Рn(х) = J f(x + t)Qn(t) dt |
(1.65) |
-1 |
|
и убедимся в том, что для любого n = 1, 2, ... |
функция Рn(х) |
есть многочлен степени 2n, причем {Рn(х)} И является искомой
последовательностью многочленов, равномерно сходящейся на
сегменте О :::;; х :::;; 1 к функции
Так как изучаемая функция f (х) равна нулю за пределами сегмента [О, 1], то для любого х из сегмента [О, 1] интеграл (1.65)
можно записать в виде
1-х
Рn(х) = J f(x + t)Qn(t) dt.
-х
Заменяя в последнем интеграле переменную t на t - х, мы
придадим ему вид
1 |
|
Рn(х) = J f(t)Qn(t - х) dt. |
(1.66) |
о
Из (1.66) и (1.59) ясно, что функция Рn(х) представляет со
бой многочлен степени 2n.
Остается доказать, что последовательность {Рn (х)} сходится к f(x) равномерно на сегменте О :::;; х :::;; 1.
Фиксируем произвольное с > о. Для фиксированного с, в си
лу равномерной непрерывности f(x) на всей бесконечной пря
мой, найдется д > О такое, что |
|
If(x) - f(y)1 < ~ при Ix - yl < д. |
(1.67) |
2 |
|
Заметим еще, что так как f(x) непрерывна на сегменте [О, 1],
то она и ограничена на этом сегменте, а стало быть, и всюду на бесконечной прямой. Это означает, что существует постоян ная А такая, что для всех х
|
|
|
|
If(x)1 :::;; А. |
(1.68) |
1) в |
самом |
деле, |
достаточно доказать, что |
последовательность аn = |
|
= (1 |
- |
52 )n . |
vn сходится к нулю, а это вытекает, например, из того, ЧТО |
||
поскольку |
lim |
r:;a;: = (1 - 52) lim n 1/(2n) = |
(1 - 52) < 1, |
||
|
|
|
|||
|
|
|
n-+ 00 |
n-+ 00 |
|
|
00 |
|
|
|
|
ряд |
2: аn сходится по признаку Коши (см. теорему 13.6 из вып. 1). |
||||
n=1
§ 5 РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 55
Используя (1.60), (1.64), (1.67) и (1.68) и учитывая неотри
цательность Q(x), оценим разность рn(х) - ЛХ).
Для всех х из сегмента О ~ х ~ 1 будем иметь
1 |
j(x)]Qn(t) dtl ~ |
IPn(x) - j(x)1 = I J [Лх + t) - |
|
-1 |
|
1 |
-о |
~ J Ij(x + t) - j(x)IQn(t) dt ~ 2А J Qn(t) dt + |
|
-1 |
-1 |
о |
1 |
+ ~ JQn(t) dt + 2АJQn(t) dt ~ 4Аy'n(1 - ( 2)n + ~. |
|
-о |
о |
Для завершения доказательства теоремы заметим, что для
всех достаточно больших номеров n справедливо неравенство
4Аy'n(1 - ( 2 )n < ~.
2
С.ледствuе. Если 'Не тольnо сама фу'Нn'Ци-я ЛХ), 'Но и ее nроизвод'Ные до 'Неnоторого nор-ядnа k вnлю'Читель'Но 'Неnрерыв-
'НЫ 'На сегме'Нте [О, 1] 1), то существует nоследователь'Ность
м'Ного'Чле'Нов {Рn (х)} таnа-я, 'Что nажда-я из nоследователь'Но-
стей {рn(х)}, {P~(x)}, ... , {p~k)(x)} сходитс-я рав'Номер'Но 'На
сегме'Нте [О, 1] соответстве'Н'Но n j(x), j'(x), ... , j(k)(x).
В самом деле, не ограничивая общности, мы можем считать,
что каждая из функций j(x), j'(x), ... , j(k)(x) обращается в
нуль при х = О и при х = 1 2), а при таких условиях функцию j(x) можно продолжить на всю бесконечную прямую, полагая ее равной нулю вне [О, 1], так что продолженная функция и все ее
производные до порядка k включительно окажутся рав'Номер'Но
'Неnрерыв'Ными 'На всей бесnо'Не'Ч'Ной np-ямоЙ.
Но тогда, обозначая через рn(х) тот же многочлен (1.65), что
и выше, и повторяя рассуждения, проведенные при доказатель
стве теоремы 1.18, мы докажем, что каждая из разностей
рn(х) - ЛХ), P~(x) - j'(x), ... , p~k)(x) - j(k)(x)
является бесконечно малой, равномерной относительно х на сег менте О ~ х ~ 1.
3 а м е ч а н и е 1. Изложенное нами доказательство легко
обобщается на случай функции т переменных ЛХ1, Х2, ... , хт), непрерывной в т-мерном кубе О ~ xi ~ 1 (i = 1, 2, ... , т).
1)Конечно, вместо [О, 1] можно взять [а, Ь].
2)Если бы f(x) не удовлетворяла этим условиям, то мы нашли бы мно
гочлен Pk(X) степени 2k такой, что для функции g(x) = f(x) - Pk(X) эти
условия были бы выполнены.
56 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ |
ГЛ. 1 |
в полной аналогии с теоремой 1.18 доказывается, что для
такой функции f(Xl' Х2, ... , Хт) существует равномерно сходя
щаяся к ней в т-мерном кубе последовательность многочленов
от т переменных Хl, Х2, ... , Хт .
З а м е ч а н и е 2. Заметим, что фигурирующие в теореме 1.18 много члены можно заменить функциями более общей природы, сохраняя при этом утверждение о возможности равномерного приближения такими функ циями любой непрерывной функции f.
Договоримся называть произвольную совокупность А функций, опре
деленных на некотором множестве Е, а л г е б рой , если 1) 1) f + g Е А;
2) f . g Е А, 3) СУ. f Е А при произвольных f Е А и g Е А и при любом
вещественном СУ.
Иными словами, алгебра есть совокупность функций, замкнутая отно сительно сложения и умножения функций и умножения функций на веще
ственные числа.
Если для каждой точки Х множества Е найдется некоторая функция g Е А такая, что g(x) # о, ТО говорят, что алгебра А не исчезает ни
водной точке Х множества Е.
Говорят, ЧТО совокупность А функций, определенных на множестве Е,
р азде ля е т т о чк И мно Ж е с т в а Е, если для любых двух различных
точек Xl и Х2 этого множества найдется функция f из А такая, что f(Xl) #
# f(X2).
Имеет место следующее замечательное утверждение, называемое т е 0-
р е м о й в е й ерш т р а с с а-С т о у н а 2).
Пустъ А - алгебра непрерывных на 'К:омnа'К:тном 3) мно;ж;естве Е
фун'К:'Ций, 'К:оторая разделяет то'Ч,'К:и мно;ж;ества Е и не ис'Ч,езает ни в од ной то'Ч,'К:е этого мно;ж;ества. Тогда 'К:а;ж;дая непрерывная на мно;ж;естве
Е фун'К:'Ция f(x) мо;ж;ет бытъ представлена в виде предела равномерно сходящейся nоследователъности фун'К:'Ций алгебры А.
1)Напомним, что символ f Е А означает принадлежность f к А.
2)М. Стоун - американский математик.
3)Напомним, что компактным называется замкнутое ограниченное мно
жество.
ГЛАВА 2
ДВОЙНЫЕ И n-КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
В выпуске 1 были рассмотрены физические и геометрические
задачи, приводящие к понятию однократного определенного ин
теграла.
Типичными задачами такого рода являются задача о вы
числении массы неоднородного стержня по известной линейной
плотности этого стержня и задача о вычислении площади кри
волинейной трапеции (т. е. площади, лежащей под графиком неотрицательной функции у = f(x) на сегменте [а, Ь]).
Легко указать аналогичные «многомерные» задачи, приво
дящие к понятию двойного или тройного интеграла.
Так, задача о вычислении массы неоднородного тела Т по
известной объемной плотности р(М) этого тела естественным
образом приводит нас к понятию тройного интеграла.
Для вычисления массы указанного тела Т разобьем его на достаточно малые участки T1 , Т2, ... , ТN • Приближенно можно
считать объемную плотность р(М) каждого участка Tk посто янной и равной p(Mk ), где M k -некоторая точка участка T k .
В таком случае масса каждого участка T k будет приближенно
равна p(Mk ) . Vk, где Vk - объем участка T k .
Приближенное значение массы всего тела Т будет равно сумме n
LP(Mk )· Vk·
k=l
Точное значение массы естественно определить как предел указан
ной суммы при неограниченном уменьшении 1) каждого участ
ка Tk . Этот предел и может быть взят за определение тройного
интеграла от функции p(Mk ) по трехмерной области Т.
Совершенно аналогично может быть рассмотрена геометри ческая задача о вычислении объема так называемого криводон-
1) Конечно, следует уточнить термин «неограниченное уменьшение».
58 ДВОЙНЫЕ И n-КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ГЛ.2
ного цилиндра (т. е. объема изображенного на рис. 2.1 тела, ле
жащего под графиком неотрицательной функции z = f(x, У) |
||
z |
в некоторой двумерной области D). Эта зада |
|
.тт=лх,у) ча приводит к понятию двойного интеграла |
||
|
||
|
от функции f (х, У) по двумерной области D. |
|
|
В настоящей главе излагается теория |
|
|
двойных, тройных и вообще n-кратных инте |
|
|
гралов. |
|
|
Для более эффективного использования |
|
|
аналогии с однократным интегралом мы сна |
|
|
чала введем понятие двойного интеграла для |
|
хпрямоугольника, а лишь затем введем двой
Рис. 2.1 |
ной интеграл по произвольной области как с |
|
помощью прямолинейного, так и с помощью |
||
|
совершенно произвольного разбиения этой области.
§1. Определение и существование двойного интеграла
1.Определение двойного интеграла для прямоуголь
ника. Пусть произвольная функция f(x, У) определена всюду
на прямоугольнике R = [а ~ х ~ Ь] х [с ~ У ~ d] |
(рис. 2.2). |
|
|
|||||||||
|
Разобьем сегмент а ~ х ~ Ь на n частичных сегментов при |
|||||||||||
помощи точек а = Ха < Х1 < Х2 |
< ... < хn |
= Ь, |
а сегмент |
|||||||||
с ~ У ~ d на р частичных сегментов при помощи точек с = |
Уа < |
|||||||||||
< У1 < У2 < ... < Ур = |
d. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Этому разбиению при помощи прямых, параллельных осям |
|||||||||||
Ох и Оу (рис. 2.2), соответствует разбиение прямоугольника R |
||||||||||||
на |
n |
. р частичных прямоугольников |
у |
|
|
|
|
|
||||
R k1 |
= |
[Xk-1 ~ Х ~ Xk] х [Yl-1 ~ У ~ Yl] |
|
|
|
|
|
|||||
d |
|
|
|
|
|
|||||||
(k |
= |
1, 2, ... , n; l = |
1, 2, ... , р). Ука |
|
|
|
|
|
||||
занное разбиение прямоугольника R |
11 |
|
|
|
|
|
||||||
обозначим символом Т. |
|
|
у/-1 |
|
|
|
|
|
||||
|
Всюду в дальнейшем в этой главе |
Уl |
|
|
|
|
|
|||||
под термином «прямоугольниК» мы бу |
С |
|
|
|
|
|
||||||
дем понимать прямоугольник со сторо- |
а |
ХI Х2 |
Xk |
Ь |
Х |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
нами, |
параллельными координатным |
|
|
Xk-l xn-i |
|
|
||||||
осям. |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.2 |
|
|
||
|
На каждом частичном прямоуголь- |
|
|
|
|
|
|
|||||
нике R k1 выберем произвольную точку (~k, тп). Положив flXk |
= |
|||||||||||
= xk |
- xk-1, |
flYl = Yl - |
Yl-1, обозначим через |
flR kl |
площадь |
|||||||
прямоугольника R k1 . Очевидно, flR kl = |
flXkflYl. |
|
|
|
|
|||||||
|
Оnределе'Н,uе 1. |
Число |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
n |
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а = |
L L f(~k, тп) . flR kl |
|
|
|
(2.1) |
||||
|
|
|
|
k=l 1=1 |
|
|
фун'Х:'Ции f(x, |
|
||||
называетс-я |
и н т е г р а л ъ н о i1 |
с У м м о i1 |
у), |
|||||||||
§ 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СУЩЕСТВОВАНИЕ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА 59
соответствующеu дШJ-t'l-tOМУ разбuе'l-tuю Т nрямоугол'Ь'l-tuк:а R u
да'l-t'l-tому выбору nромежуто'Ч'l-tых то'Чек: (~k, Тll) 'l-tа 'Частu'Ч'l-tых nрямоугол'Ь'l-tuк:ах разбuе'l-tuя Т.
Диагональ J(,6,Xk)2 + (,6,YI)2 будем называть диаметром
прямоугольника Rkl. Символом ,6, обозначим наибольший из
диаметров всех частичных прямоугольников Rkl .
Оnределе'Н,ие 2. Чuсло 1 |
'l-tазывается |
пр е д е л о м u 'I-t - |
т е г р а л 'ь 'I-t Ы Х с у м м (2.1) |
nри ,6, ----7 о, |
еслu для любого nо |
ложuтел'Ь'l-tого 'Чuсла с МОЖ'l-tО ук:азат'Ь так:ое nоложuтел'Ь'l-tое
'Чuсло д, 'Что nри ,6, < д 'l-tезавuсuмо от выбора то'Чек: (~k, тп) 'l-tа
'Частu'Ч'l-tых nрямоугол'Ь'l-tuк:ах R выnол'l-tяется 'l-tераве'l-tство
10- - 11 < с.
Оnределе'Н,ие 3. |
ФУ'l-tк:'И,uя f(x, у) |
'l-tазывается |
u 'I-t т е г- |
|
p u р у е м о u |
(n о |
Р u м а 'I-t у) 'l-tа nрямоугол'Ь'l-tuк:е R, еслu су |
||
ществует k:o'l-tе'Ч'l-tыu |
предел 1 u'l-tтеграл'Ь'l-tых сумм этоu ФУ'l-tк: |
|||
'И,uu nри ,6, ----7 о. |
|
|
|
|
ук:аза'l-t'l-tыlu |
предел 1 'l-tазывается |
д в о u 'I-t Ы М |
U 'I-t т е г р а |
|
л о м от фУ'l-tк:'И,uu f(x, у) по nрямоугол'Ь'l-tuк:у R u обоз'l-tа'Чается
од'l-tим uз следующuх сuмволов:
1 = |
JJ f(x, у) dxdy = |
JJ f(M)do- |
|
R |
R |
3 а м е ч а н и е. |
Точно так же, как и для однократного опре |
|
деленного интеграла (см. вып. 1, гл. 10, § 1), устанавливает
ся, что любая u'l-tтегрuруемая 'l-tа nрямоугол'Ь'l-tuк:е R фУ'l-tк:'И,uя f(x, у) является огра'l-tu'Че'l-t'l-tоu 'l-tа этом nрямоугол'Ь'l-tuк:е.
Это дает нам основание рассматривать в дальнейшем лишь
ограниченные функции f (х, у).
2. Существование двойного интеграла для прямо угольника. Теория Дарбу, развитая в гл. 10 вып. 1 для одно
кратного определенного интеграла, полностью переносится на
случай двойного интеграла в прямоугольнике R. Ввиду полной аналогии мы ограничимся указанием общей схемы рассуждений.
Пусть M kl и ты - точная верхняя и точная нижняя грани
функции f(x, у) на частичном прямоугольнике R kl . Составим
для данного разбиения Т прямоугольника R две суммы:
верхнюю
n р
S= LLMkl· ,6,Rkl
k=l 1=1
и нижнюю
n |
р |
S = L |
L ты· ,6,Rkl · |
k=ll=l
60 |
ДВОЙНЫЕ И n-КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ |
ГЛ.2 |
Справедливы следующие утверждения (доказательства их
полностью аналогичны доказательствам, приведенным в п. 2 § 2
гл. 10 вып. 1).
1О. ДЛ-Я любого фиксированного разбиени-я Т и любого [ > о nро.м.е;Jfcуто'чныle то'Чки (~k, Тll) на 'Части'Чных nр-я.м.оугольниках
Rkl MO;JfCHO выбрать так, 'Что интегральна-я су.м..м.а а будет удовлетвор-ять неравенства.м. О ~ 8 - а ~ [.
То'Чки (~k, Тll) MO;JfCHO выбрать и таки.м. образо.м., 'Что ин
тегральна-я су.м..м.а будет удовлетвор-ять неравенства.м. О ~
~а - 8 < [.
20.Если разбиение т' nр-я.м.оугольника R nолу'Чено nуте.м.
добавлени-я новыlx np-я.м.ыlx к nр-я.м.ы.м., nроизвод-ящи.м. разбие
ние т, то верхн-я-я су.м..м.а 8' разбиени-я т' не больше верхней
су.м..м.ы 8 разбиени-я т, а ни;Jfcн-я-я су.м..м.а 8' разбиени-я т' не .м.ень
ше НИ;JfCней су.м..м.ы 8 разбиени-я т, т. е.
8 ~ 8', 8' ~ 8.
30. Пусть т' и т" - любые два разбиени-я nр-я.м.оугольни
ка R. Тогда ни;Jfcн-я-я су.м..м.а одного из этих разбиений не nревос
ходит верхнюю су.м..м.у другого. И.м.енно, если 8', 8' и 8", 8" -
соответственно НИ;JfCние и верхние су.м..м.ы разбиений т' и Т",
то
8' ~ 8", 8" ~ 8'.
4О. MHO;JfCeCmBo {8} верхних су.м..м. данной фУНК'ЦИИ f (х, у)
дл-я всевоз.м.о;JfCНЫХ разбиений nр-я.м.оугольника R ограни'Чено
снизу. MHO;JfCeCmBo {8} НИ;JfCНИХ су.м..м. ограни'Чено сверху.
Таки.м. образо.м., существуют 'Числа
1 = inf {8}, |
I = sup {8 }, |
|
|
называе.м.ые соответственно |
в ер х н и .м. |
и |
н и ;JfC н и.м. и н |
т е г р а л а.м. и Д а р б у (от |
фУНК'ЦИИ f |
(х, у) |
по nр-я.м.оуголь |
нику R).
Легко убедитьс-я, 'Что I ~ 1.
50. Пусть разбиение т' nр-я.м.оугольника R nолу'Чено из раз
биени-я Т добавление.м. к nоследне.м.у р новыlx np-я.м.ыl,' и пусть
8', 8' и 8, 8 - соответственно НИ;JfCние и верхние су.м..м.ы раз
биений т' и Т.
Тогда дл-я разностей 8 - 8' и 8' - 8 MO;JfCem быть nолу'Чена
о'Ценка, завис-яща-я от .м.акси.м.ального диа.м.етра ~ 'Части'Чно го nр-я.м.оугольника разбиени-я т, 'Числа р добавленных nр-я.м.ых,
то'Чных граней М и m фУНК'ЦИИ f(x, у) на nр-я.м.оугольнике R и
от диа.м.етра d nр-я.м.оугольника R.
И.м.енно
8 - 8'~ (М - т) . р. ~. d, 8' - 8 ~ (М - т)· р. ~. d.