Ilin_Poznyak_-_Matanaliz

Стало быть, элемент объема равен r dr dep dz.

В частности, для полярных координат на плоскости элемент

площади равен r dr dep.

3О. В n-мерном пространстве сферические координаты опре-

деляются равенствами 1)

k=m

Хn = rcosOn-1,

вкоторых сферический радиус r и сферические углы 01, 02,

... , Оn-1 изменяются в пределах r ~ о, О :::;; 01 < 2п, О :::;; От :::;; П

при m = 2,3, ... , n - 1.

Можно убедиться, что в этом случае якобиан имеет вид

D(r, /11, ... , /1n -1)

k=l

Таким образом, элемент объема в n-мерных сферических коор­

n-1

динатах равен r n - 1dr П sink- 1 0k dOk ·

k=l

При м еры. 1. Вычислить объем тела, ограниченного по­

верхностью

(2.61)

где а > о.

Тело симметрично относительно координатных плоскостей

Oyz и Oxz и расположено вверх от плоскости Оху. Стало быть, достаточно вычислить объем четверти тела, лежащей в первом

октанте.

Переходя к сферическим координатам, приведем уравнение

(2.61) к виду

r = af!cosO.

1) Обратные формулы, выражающие n-мерные сферические координаты

через декартовы, имеют вид

где Тт = Jxi + ... + х;;' (т = 1, 2, ... , n - 1).

Учитывая, что якобиан Г(х, у) равен abr, мы получим для

-ера

Заметим в заключение, что для вычисления ряда площадей

удобен несколько более общий вид обобщенных полярных коор­

динат

х = ar cosa <р,

у = br sina <р.

Легко убедиться, что для этих координат

Г(х, у) = aabr cosa-1<p sina - 1 <р.

Г(Т, ср)

ДОПОЛНЕНИЕ

О ПРИБЛИЖЕННОМ ВЫЧИСЛЕНИИ n-КРАТНbIХ

ИНТЕГРАЛОВ

Займемся вопросом о приближенном вычислении n-кратного интеграла

по некоторой области Gn в пространстве Еn , причем сначала будем считать,

что эта область представляет собой n-мерный к:уб.

Предполагая существование интеграла (2.64), будем рассматривать во­

прос об оптимальных способах численного интегрирования.

Этот вопрос имеет два аспекта: 1) построение формул численного ин­

тегрирования, оптимальных нд зада'Н'Ных 'К:лассах фу'Н'К:u,ий; 2) построение

формул численного интегрирования, оптимальных для 'К:а;ж;дой 'К:о'Н'К:реm'Ной

фу'Н'К:u,ии из зада'Н'Ного 'К:ласса.

Рассмотрим каждый из этих аспектов в отдельности.

1. Формулы численного интегрирования, оптимальные для классов функций. Пусть G n - единичный n-мерный куб О ::;; Xk ::;; 1,

k = 1,2, ... , n.

Будем говорить, что функция f(Xl, ... , Хn ) принадлежит в кубе Gn к л а с с у D~ (М) (соответственно классу н;: (М)), если при условии суще­

ствования всех фигурирующих ниже производных справедливы неравен­

ства

Начнем с уточнения постановки изучаемого вопроса. Предположим,

что данная функция f(Xl, Х2, ... , Хn ) принадлежит некоторому классу Аn и что задано множество способов численного интегрирования {РN} этой функции f.

Будем искать в этом множестве такой способ численного интегрирова­

ния PN, погрешность RN(f, p'!v) которого представляет собой точную ниж­

RN(f, PN) на множестве {pN} всех способов чис­

ленного интегрирования данной функции f.

Иными словами, мы ищем наилучшую кубатурную формулу для дан­

ной конкретной функции f, а не для всего класса Аn , которому принадле­

жит эта функция 1).

Возьмем в качестве класса Аn множество функций, бесконечно диф­ ференцируемых всюду в основном кубе Gn , за исключением, быть может, некоторой поверхности S размерности k < n, на которой эти функции мо­ гут обращаться в бесконечность как 1/rJy , где Тху -расстояние между

турную формулу, получающуюся разбиением основного куба G n на прямо­

угольные параллелепипеды и применением на каждом таком параллелепи­

педе формулы СТт , С условием, чтобы общее число узлов во всем кубе Gn

было равно N.

Естественно ожидать, что узлы полученной таким способом кубатурной формулы будут распределены оптимально при условии, что погрешность на

каждом параллелепипеде постоянна.

Ввычислительном центре МГУ были составлены стандартные програм­

мы вычисления двойных и тройных интегралов, реализующие автоматиче­

ское дробление областей интегрирования. В основу этих программ была положена пара кубатурных формул СТт И СТт, при тl > т.

Вкачестве оценки погрешности формулы СТт бралась величина р =

=ICJm - CJm,l·

Если Е - заданная точность вычислений, то при р ::;; Е (для всего основ­ ного куба Gn ) в качестве приближенного значения интеграла берется то, которое определяется формулой СТт" а при р > Е куб дробится на 2n ча­

стей и для каждой из этих частей процесс повторяется сначала.

Указанный метод дает хорошие результаты для вычисления двойных

и тройных интегралов. Однако при увеличении числа измерений n приме­

нение указанного метода наталкивается на существенные трудности, свя­

занные с тем, что при фиксированных m и тl с увеличением n сильно

возрастает сложность СТт И СТт " а при уменьшении m и тl с ростом n

сильно возрастает число дроблений.

В заключение отметим, что при вычислении n-кратного интеграла не

по n-мерному кубу Gn , а по произвольной области в пространстве Еn сле­

дует сначала сделать преобразование, переводящее эту область в n-мерный куб. Кроме того, существуют кубатурные формулы для некоторых обла-

стей специального вида (шар, сфера и т. д.) 2).

1) Формула, наилучшая для класса функций, грубо говоря, является наи­

лучшей для самой <<Плохой» функции из этого класса.

2) Так кубатурные формулы на сфере изучались в работах советского ма­

тематика с. л. Соболева и его учеников.

3. Пример прибли~енного вычисления кратного интеграла. Рассмотрим вопрос о вычислении четырехкратного интеграла

С некоторой точностью Е для значений параметров

R = 1; 1,25; 1,5; 1,75; 2; 2,25; 2,5; 2,75; 3; L = 0,8; Н = 1.

Сделав замену переменных, отображающую область интегрирования в единичный куб, мы приведем этот интеграл к виду

1111

F(R, L, Н) = (211/· R 2 . L 2 JfJf{Н2 + L 2p2 + R 2r 2 _

0000

- 2LRprcos[2K('P - ф)]}-3/2rрdрdrdфd'Р.

Подынтегральная функция является гладкой. Поэтому естественно при­ менить для вычислений этого интеграла кубатурную формулу, основанную

на (2.66). При этом по каждой из переменных r и р естественно взять фор­ мулу Гаусса (одномерную формулу, точную на алгебраических многочле­ нах), а по переменным 'Р и Ф лучше взять формулу трапеций (см. вып. 1, гл. 12), ибо подынтегральная функция периодична по каждой их этих пере­

менных, а для периодических функций формула трапеций дает наилучшие результаты. Таким образом, мы получим

(здесь (Xk v , Ckv ) - узлы и веса соответствующей одномерной квадратурной

формулы).

Для выбора значений т, т1 и т2, обеспечивающих требуемую точ­

ность, проводят отладочные расчеты, последовательно увеличивая число

узлов и сравнивая полученные результаты.

4 В. А. Ильин и э. г. Позняк, часть II

ГЛАВА 3

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Введенные ранее понятия определенного интеграла (просто­ го и кратного) не пригодны для неограниченной области инте­

грирования и при неограниченности подынтегральной функции. В этой главе будет указано, каким образом можно обобщить

понятие интеграла на эти два случая.

§ 1. Несобственные интегралы первого рода

(одномерный случай)

В этом параграфе будет дано обобщение понятия определен­

ного интеграла для одномерной н е о г р а н и ч е н н о й связной

области интегрирования.

1. Понятие несобственного интеграла первого рода. Одномерными связными неограниченными областями являются полупрямые а ~ х < +00, -00 < х ~ Ь и бесконечная прямая

-00 < х < +00. Ради определенности рассмотрим полупрямую

а ~ х < +00.

Всюду в этой главе, не оговаривая этого в дальнейшем особо,

а

Итак, при наших предположениях на полупрямой а ~ х < +00

задана функция F(R), определенная соотношением (3.1). Ис­ следуем вопрос о предельном значении функции F(R) при R --+ --+ +00, т. е. вопрос о существовании предела

а

§ 1 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА 99

в дальнейшем символ (3.3) мы будем называть 'Несобстве'Н'Ным и'Нтегралом первого рода от функции f (х) по полупрямой

а:::;; х < +00.

Если существует предел (3.2), то несобственный интеграл (3.3) называется сход-я'Щимс-я. Если же этот предел не существу­ ет, то несобственный интеграл (3.3) называется расход-я'Щимс-я.

3 а м е ч а н и е 1. Рассмотрим несобственный интеграл (3.3).

Если Ь > а, то наряду с этим интегралом можно рассматривать

00

интеграл J f(x) dx. Очевидно, из сходимости одного из указан­

Ь

ных интегралов вытекает сходимость другого. При этом имеет

место следующее равенство:

Отметим, что расходимость одного из указанных несобственных

интегралов влечет расходимость другого.

3 а м е ч а н и е 2. Если несобственный интеграл (3.3) схо­ дится, то значение предела (3.2) обозначается тем же символом (3.3). Таким образом, в случае сходимости интеграла (3.3) ис­

пользуется равенство

3 а м е ч а н и е 3. Аналогично несобственному интегралу (3.3)

Первый из них символизирует операцию предельного перехода

аа

4*

ood

ственный интеграл J ~ сходится при р > 1 и расходится при

ахр

р~ 1. Отметим, что при р > 1

а

2. Критерий Коши сходимости несобственного интег­ рала первого рода. Достаточные признаки сходимости. Вопрос о сходимости несобственного интеграла первого рода

эквивалентен вопросу о СУLЦествовании предельного значения

R --+ 00 необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла сле­ ДУЮLЦему условшо Коши: для любого Е> О можно указать такое

А > О, что для любых R' и R", превосходяLЦИХ А, выполняется

неравенство

IF(R") - F(R')I = I1,R/I f(x) dx I < Е.

Таким образом, справедливо слеДУЮLЦее утвержде'Ние.

Теоре,м,а 3.1 ('N-pumepuu Коши сходи,м,ости несобст­ венного интеграла). Для сходимости 'Несобстве'Н'Ного и'Нте­ грала (3.3) 'Необходимо и достато'Ч'Но, 'Чтобы для любого Е > О МОЖ'НО было указать такое А > О, 'Что для любых R' и R", nревосходя1ЦИХ А,

I1,R/I f(x) dx I < Е.

3 а м е ч а н и е. Отметим, что из сходимости несобственного

интеграла не вытекает даже ограниченность подынтегральной

00

функции. Например, интеграл J ЛХ) dx, где функция равна ну­

о

лю для нецелых х и равна n при х = n (целое число), очевидно,

сходится, хотя подынтегральная функция не ограничена. Поскольку критерий Коши мало удобен для практических

применений, целесообразно указать различные достаточные при­

знаки сходимости несобственных интегралов.

В дальнейшем мы будем считать, что функция f(x) задана

на полупрямой а ~ х < 00 и для любого R ? а cYLЦecTByeT

R

обычный интеграл Jf (х) dx.

а

1) СМ. БЫП. 1, гл. 8, § 1.