Ilin_Poznyak_-_Matanaliz

§ 1. О структуре открытых и замкнутых множеств

Будем рассматривать произвольное множество Е точек бес­

конечной прямой (-00, (0).

Назовем Д о п о л н е н и е м м н о ж е с т в а Е множество,

обозначаемое символом СЕ и равное совокупности тех точек бесконечной прямой (-00, (0), которые не принадлежат множе­

ству Е.

Если назвать раз н о с т ь ю множеств А и В совокупность тех точек множества А, которые не принадлежат множеству В,

и обозначить разность множеств А и В символом А \ В, то до­

полнение СЕ множества Е можно представить в виде

ства Е, если найдется некоторая окрестность точки х (т. е. ин­ тервал, содержащий эту точку), целиком принадлежащая мно­

жеству Е.

В дальнейшем произвольную окрестность точки х мы будем

обозначать символом v (х).

20. Точка х называется п р е Д е л ь н о й т о ч к о й множе­

ства Е, если в любой окрестности v(x) точки х найдется хотя

этого множества являются внутренними.

4О. Множество F называется з а м к н у т ы м, если оно со­

держит все свои предельные точки 1).

Совокупность всех предельных точек произвольного множе­

ства Е договоримся обозначать символом Е', а с у м м у, или

о б ъ е Д и н е н и е двух множеств А и В будем обозначать сим­

волом А + В или А UВ 2). Договоримся далее называть з а­

м ы к а н и е м произвольного множества Е множество, обозна-

чаемое символом Е и равное сумме Е + Е'.

Очевидно, что для любого замкнутого множества F справед-

ливо равенство F = Р.

Совокупность всех внутренних точек произвольного множе­

ства Е будем обозначать символом int Е 3).

1) в частности, множество, не имеющее предельных точек, замкнуто (ибо

пустое множество содержится в любом множестве).

2) С У м м о й или о б ъ е Д и н е н и е м множеств А и В называется мно­

жество С, состоящее из точек, принадлежащих хотя бы одному из множеств

Аили В

3)Символ int образован от французского слова interieur (внутренняя

часть).

232 МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА ГЛ.8

Очевидно, что для любого открытого множества G справед­ ливо равенство int G = С,

ДЛЯ совершенно произвольного множества Е множество int Е

является открытым, а множество Е - замкнутым.

3 а м е ч а н и е. Можно показать, что int Е является суммой

всех содержащихся в Е открытых множеств, а Е является пе­ ресечением 1) всех содержащих Е замкнутых множеств. Таким

жащим Е замкнутым множеством.

Остановимся на простейших свойствах открытых и замкну­

тых множеств.

1О. Если MHOJICeCmBO F зам'Кнуто, то его дополнение СF

oт'Кpъtтo.

До к аз ат ел ь с тв о. Любая точка х множества CF не при­

надлежит F и (в силу замкнутости F) не принадлежит множе­

ству F' предельных точек F. Но это означает, что некоторая

окрестность v(x) точки х не принадлежит F и поэтому принад­

лежит CF.

20. Если MHOJICeCmBO G oт'Кpъtтo, то его дополнение СС

зам'Кнуто.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Любая предельная точка х множест­ ва СС заведомо принадлежит этому множеству, ибо в против­

ном случае х принадлежала бы С, а поскольку G - открытое

множество, то и некоторая окрестность v(x) точки х принадле­

жала бы G и не принадлежала бы СС, т. е. точка хне являлась бы предельной точкой Сс.

30. Сумма любого 'Числа oт'КpъtтъtX MHOJICeCmB л,влл,етсл,

от'кръtтыlM MHOJICeCmBOM.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть множество Е представляет со­

бой сумму какого угодно числа открытых множеств Сй (ин­ декс а, вообще говоря, не является номером), и пусть х - произ­ вольная точка Е. Тогда (по определению суммы множеств) х

принадлежит хотя бы одному из множеств Сй, и поскольку каж­ дое множество Сй является открытым, то найдется некоторая окрестность v (х) точки х, также принадлежащая указанному множеству Сй, а стало быть, и множеству Е.

4 О. Пересе'Чение любого 'Коне'Чного 'Числа от'кръtтыlx MHOJICeCmB

л,влл,етсл, от'кръtтыlM MHOJICeCmBOM.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть множество Е является пересе­

чением открытых множеств С1 , С2 , ... , Сn, и пусть Х - любая

точка Е. Тогда для любого k (k = 1, 2, ... , n) точка х принад-

1) Пер е с е ч е н и е м множеств А и В называется множество точек, при­

надлежащих и А, и В.

лежит Gk , и потому найдется некоторая окрестность Vk(X) = = (Х - [k, Х + [k), [k > О, точки Х, также принадлежащая Gk·

Если [= min{[l' [2, ... , [n}, то окрестность v(x) = (х-[, Х+[)

точки Х принадлежит всем Gk и вследствие этого принадлежит Е.

50. Пересе'Чение любого 'Числа замкнутыlx MHO;JfCeCmB явля­

ется замкнутыlM MHO;JfCeCmBOM.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть множество Е представляет со­ бой пересечение какого угодно числа замкнутых множеств Ра

(индекс СУ, вообще говоря, не является номером). Заметим, что

дополнение СЕ представляет собой сумму всех дополнений СРа, каждое из которых, согласно 1О, представляет собой открытое

60. Сумма коне'Чного 'Числа замкнутых MHO;JfCeCmB являет­

ся замкнутыlM MHO;JfCeCmBOM.

бой пересечение множеств CFl , СР2 , ... , СРn , каждое из кото­

рых в силу 10 является открытым. Согласно 40 множество СЕ является открытым, а поэтому на основании 20 множество Е

является замкнутым.

70. Если MHO;JfCeCmBO F замкнуто, а MHO;JfCeCmBO G откры­ то, то MHO;JfCeCmBO F \ G замкнуто, а MHO;JfCeCmBO G \ F от­

крыто.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно заметить, что множест­

во F \ G является пересечением замкнутых множеств F и СG, а множество G \ F является пересечением открытых множеств

GиСF.

С помощью установленных свойств докажем теорему о струк­

туре произвольного открытого множества точек бесконечной пря­

мой.

Договоримся всюду НИ;JfCе в этой главе называтъ и н т е р­

в а л О м любое связное открытое MHO;JfCeCmBO то'Чек бесконе'Ч­

ной прямой (не обязателъно ограни'Ченное). Иными словами, ин­

тервал - это либо открытый отрезок а < Х < Ь, либо одна из

открытых полупрямых а < Х < 00 или - 00 < Х < Ь, либо вся бесконечная прямая - 00 < Х < 00.

Теорема 8.1. Любое открытое MHO;JfCeCmBO то'Чек беско­

не'Чной прямой представляет собой сумму коне'Чного или с'Чет­

ногО l) 'Числа попарно неnересекаю'Ш,ихся интервалов.

1) Напомним, что с ч е т н ы м называется бесконечное множество, эле­

менты которого можно перенумеровать, т. е. поставить во взаимно одно­

значное соответствие с натуральным рядом чисел 1, 2, 3, ... (см. вып. 1,

гл. 3, § 4, п. 6).

234 МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА ГЛ.8

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть G - любое открытое множест­ во, а х - произвольная фиксированная точка G. Так как G яв­ ляется открытым, то найдется некоторая содержащаяся в G окрестность v (х) точки х. Сумму всех содержащихся в G окрест­

ностей v(x) данной фиксированной точки х обозначим через I(x). Докажем, что I(x) представляет собой и н т е р в ал.

Обозначим через а точную нижнюю грань множества всех

точек I(x) (в случае, если множество всех точек I(x) не огра­

ничено снизу, мы положим а = -(0), а через Ь точную верх­

нюю грань множества всех точек I(x) (в случае, если множество всех точек 1(х) не ограничено сверху, мы положим Ь = (0). До­

статочно доказать, что произвольная точка у интервала (а, Ь)

принадлежит 1 (х). Пусть у - произвольная точка (а, Ь). Ради определенности будем считать, что а < у < х (случай х < у < ь рассматривается совершенно аналогично). По определению точ­ ной нижней грани найдется принадлежащая I(x) точка у' такая,

что а ~ у' < у. Но это означает, что найдется некоторая окрест­ ность v(x) фиксированной нами точки х, содержащая точку у'. В силу неравенства у' < у < х эта же окрестность v(x) содер­

жит и точку у. Отсюда следует, что и 1 (х) содержит у, и доказа­

тельство того, что I(x) -интервал, завершено. Можно сказать, что I(x) представляет собой н а и б о л ь ш и й интервал, содер­ жащий точку х и содержащийся в G.

Убедимся теперь в том, что если интервалы I(Xl) и I(X2)

построены для двух различных фиксированных точек хl и Х2

множества G, то эти интервалы либо не имеют общих то'Ч.ек;, либо совпадают между собой. В самом деле, если бы интер­

Построив для каждой точки х свой интервал I(x), мы отбе­ рем теперь интервалы, не содержащие общих точек (т. е. попар­ но непересекающиеся). Каждый такой интервал содержит хотя бы одну рациональную точку (это известно из гл. 2 вып. 1). По­ скольку множество всех рациональных точек счетно (см. вып. 1, гл. 3, § 4, п. 6), то число всех попарно непересекающихся ин­ тервалов I(x) не более чем счетно. Так как сумма всех таких

интервалов составляет множество G, то теорема доказана.

Следствие. Всяк;ое замк;нутое множество то'Ч.ек; беск;оне'Ч.­ ной прямой nолу'Ч.ается удалением из беск;оне'Ч.ноЙ прямой к;оне'Ч.­

Н020 или с'Ч.етН020 'Ч.исла попарно неnересек;ающихся интервалов.

§2. Измеримые множества

1.Внешняя мера множества и ее свойства. Вся изла­

гаемая в этом параграфе теория принадлежит А. Лебегу. Отправ­

ным пунктом этой теории является привлечение в качестве основ­

ного (исходного) множества интервала ~ = (а, Ь), длина или ме­ ра которого считается известной и равной числу I~I = ь - а > о.

Пусть Е - произвольное множество на числовой прямой.

П о к рыт и е м S = S (Е) множества Е назовем всякую ко­ нечную или счетную систему интервалов {~n}, сумма которых

содержит множество Е. Сумму длин всех интервалов {~n}, со­

ставляющих покрытие S = S(Е), обозначим символом а(В) .

Итак,

а(В) = L I~nl :::;; 00.

n

Оnределенuе. В 'н е ш 'н е u м е р о u м'Ножества Е 'Назы­

вается то'Ч'Ная 'Ниж'Няя гра'Н'Ь а(В) 'На м'Ножестве всех nor;;pы­ тии S = В(Е) м'Ножества Е.

Внешнюю меру множества Е будем обозначать симво­

лом IEI*. Итак, по определению

IEI* = inf а(В).

S(E)

Очевидно, внешняя мера любого интервала совпадает с длиной

этого интервала.

Выясним основные свойства внешней меры.

1О. Если м'Ножество Е1 содержится в Е2 1), то I Е1 1*:::;; I Е21*.

Для доказательства достаточно заметить, что любое покрытие Е2 является одновременно покрытием и Е1 .

20. Если м'Ножество Е представляет собоu сумму r;;о'Не'Ч­

определению меры IEkl* как точной нижней грани, для каждо­ го номера k найдется покрытие Sk(Ek) множества Ek системой

интервалов {~~} (n = 1,2, ... ) такое, что

ется так: E 1 С Е2 .

236 МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА ГЛ.8

Обозначим через 5 покрытие всего Е, объединяющее все по­

Договоримся называть расстоянием между множествами Е1 и Е2 точную нижнюю грань расстояний между двумя точками множеств Е1 и Е2 соответственно.

Будем обозначать расстояние между множествами Е1 и Е2

5(Е) множества Е = Е1 UЕ2 такое, что а(5) ~ IEI* + Е и длина

каждого интервала покрытия Iд.nl меньше д 1). Очевидно, что

интервалы д.n, покрывающие точки Е1 , не содержат точек Е2

и, наоборот, интервалы, покрывающие точки Е2 , не содержат

точек Е1 . Иными словами, взятое нами покрытие 5(Е) распа­ дается на сумму двух покрытий 5(Е) = 51 (Е1) + 52 (Е2), первое

из которых 51 покрывает Е1 , а второе 52 покрывает Е2 . Итак,

мы получаем, что

51 (Е1) + 52 (Е2) ~ IEI* + Е.

Отсюда следует, что IE11* + IE21* ~ IEI* +Е и, стало быть (в силу

произвольности Е), IE11* + IE21* ~ IEI*. Так как на основании

свойства 20 справедливо и обратное неравенство IEI* ~ IE11* +

+ IE21*, то IEI* = IE11* + IE21*. Свойство 30 доказано.

В частности, свойство 30 справедливо, если Е1 и Е2 ограни­ чены, замкнуты и не содержат общих точек.

1) Это вытекает из того, что для про и з в о л ь н ы х 6 > О И 5 > О суще­

ствует покрытие S (Е) множества Е такое, что о"(S) < IЕI* + 6 И I~n I < 5

(для каждого интервала ~n покрытия S). Чтобы убедиться в этом, доста-

точно, взяв покрытие S', дЛЯ которого O"(S') < IEI* +~, разделить каж-

2

дый интервал покрытия S' на интервалы длины, меньшей 5, и концы этих

последних интервалов покрыть интервалами, общая сумма длин которых

меньше 6/2.

Фиксируем произвольное Е > о. Согласно свойству 40 внешней

меры (см. предыдущий пункт) найдется открытое множество С,

содержащее F и такое, что

Согласно свойству 70 из § 1 множество С\Р является открытым.

Поэтому, согласно теореме 8.1, множество G \ F представимо в

00

виде суммы G \ F = U д.n попарно не пересекающихся интер­

n=l

валов д.n. Теорема будет доказана, если мы установим, что

00

(8.5)

n=l

Для каждого интервала Д. = (а, Ь) и для каждого числа а из

ство E~, согласно свойству 60 из § 1, является замкнутым. Так

как это множество не имеет общих точек с замкнутым множес­ твом Р, то (в силу свойства 30 внешней меры)

бом а > О и для всех номеров n) содержится в С, то (в силу

свойства 10 внешней меры)

(для всех а > О и всех номеров n). Так как множество F огра­ ничено и его внешняя мера IFI* < 00, из (8.8) получим, что

лу сначала при а ---+ О + о, а затем при n ---+ 00, мы получим

§ 2 ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА 239

неравенство (8.5). Тем самым для случая ограниченного множе­

ства F теорема доказана.

20. Если замкнутое множество Р, вообще говоря, не является

00

ограниченным, то мы представим F в виде суммы F = U Рn,

n=1

где Рn -пересечение замкнутых множеств F и [-n, n]. Согласно доказанному в первом шаге каждое Рn измеримо (ибо оно зам­ кнуто и ограничено), а поэтому в силу теоремы 8.3 измеримо и

множество Р. Теорема полностью доказана.

Теорема 8.5. Если MHOJlCeCmBO Е измеримо, то и его до­ полнение СЕ измеримо.

Д о к а з а т е л ь с т в о. По определению измеримости множе­

ства Е для любого номера n найдется содержащее Е открытое множество СП, для которого

жит Е2.)

Из (8.11) и из свойства 10 внешней меры получим, что для любого номера n

а из последнего неравенства и из (8.10) получим, что

n k=l

(для любого номера n). Но это означает, что внешняя мера, а

00

стало быть, и мера множества Ео = СЕ\ U Fk равна нулю, т. е.

k=l

00

множество СЕ равно сумме измеримых множеств Ео и U Fk

k=l

(последнее множество измеримо в силу теорем 8.4 и 8.3). Теоре­

ма доказана.