Ilin_Poznyak_-_Matanaliz

то в силу (8.18) и свойства 10 внешней меры

1

IE2 \ EI < -.

n

в силу произвольности номера n отсюда следует, что IЕ\ Е1 1 = о

и IE2 \ EI = о. Теорема доказана.

3 а м е ч а н и е 3. Отметим, что существуют н е и з м е р и­

м ы е множества. Для их построения достаточно принять во

внимание, что на единичной окружности существует счетное

число попарно непересекающихся и конгруэнтных 1) друг дру­

гу множеств, объединение которых равно множеству всех точек

этой окружности. Таковыми являются множество Ео всех точек

окружности, любые две из которых нельзя совместить друг с

другом поворотом на угол n . а, где n - любое целое, а а - фик­ сированное ир р а Ц и о н а л ь н о е число, и все множества Еn , которые получаются из Ео поворотом на угол n . а. Если бы Ео

было измеримо, то были бы измеримы и все множества Еn , при­

чем IEnl = IEol для всех целых n. Но тогда в силу теоремы 8.8

00

мы получили бы, что 27Г = L IEnl, что невозможно ни при

n=-оо

каком значении Еn .

§3. Измеримые функции

1.Понятие измеримой функции. Договоримся называть

ра с ш и р е н н о й числовой прямой обычную числовую пря­ мую -00 < х < 00 с добавлением двух новых элементов -00 и +00. Для распространения арифметических операций на рас­

ширенную числовую прямую договоримся считать, что а+(+00) =

конечном а i- о, _а_ = О при любом конечном а.

±оо

Неопределенными остаются только следующие операции:

(+00) + (-00), (+00) - (+00), (-00) - (-00), ±оо.

±оо

1) Под термином «конгруэнтные» в данном случае нужно понимать мно­

жества, одно из которых может быть совмещено с другим посредством по­

ворота в плоскости окружности на некоторый угол.

Договоримся всюду в дальнейшем обозначать символом

Е[j удовлетворяет условию А] множество всех принадлежащих

Езначений х, для которых f(x) удовлетворяет условию А.

Например, Е [j ~ а] - множество тех принадлежащих Е зна­ чений х, для которых f(x) ~ а.

Оnределе'Н,uе. Функция f( х), определенная на из.м.ери.м.о.м.

MHO;JfCeCmBe Е, называется и з.м. е р и.м. О i1 на это.м. MHO;JfCe- стве, если для любого вещественного 'Ч.исла а MHO;JfCeCmBO

Е [j ~ а] из.м.ери.м.о.

Теоре,м,а 8.10. Для из.м.ери.м.ости функции f(x) на MHO;JfCe- стве Е необходи.м.о и достато'Ч.но, 'ч.тоБыl одно из следующих

трех MHO;JfCeCmB

было из.м.ери.м.о при любо.м. вещественно.м. а.

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Из определения измеримости функ­ ции 1(х) из элементарных соотношений

00

Е[j > а] = UЕ[1 ~ а +;],

n=1

Е[j ~ а] = n00 Е[1 > а - ;]

n=1

и из теорем 8.3 и 8.6 вытекает, что измеримость (при любом ве­ щественном а) множества Е [j > а] является необходимым и дос­ таточным условием измеримости функции 1(х) на множестве Е.

2) Из соотношения Е [j < а] = Е \ Е [j ~ а] и из теорем 8.3 и 8.7 вытекает, что измеримость (при любом вещественном а) множества Е [j < а] является необходимым и достаточным усло­ вием измеримости функции 1(х) на множестве Е.

3) Наконец, из соотношения Е [j ~ а] = Е \ Е [j > а], из тех же теорем 8.3 и 8.7 и из доказанного в 1) вытекает, что измери­ мость (при любом вещественном а) множества Е [j ~ а] являет­

ся необходимым и достаточным условием измеримости функции

1(х) на множестве Е. Теорема доказана.

З а м е ч а н и е. В силу теоремы 8.10 измеримость (при лю­ бом вещественном а) любого из трех множеств (8.19) можно принять за новое определение измеримости функции f (х) на

множестве Е, эквивалентное определению, сформулированному

выше.

2.Свойства измеримых функций.

10.Если фун'Кци-я лх) измерима на мно;жестве Е, то она

измерима и на любой измеримой 'Части Е1 мно;жества Е. Доказательство непосредственно вытекает из тождества

Е1 [! ~ а] == Е1 nЕ [! ~ а] и из теоремы 8.6.

20. Если мно;жество Е nредставл-яет собой 'Коне'Чную или

с'Четную сумму измеримых мно;жеств Еn и если фун'Кци-я f (х) измерима на 'Ка;ждом мно;жестве Еn, то f (х) измерима и на

мно;жестве Е.

Доказательство непосредственно вытекает из тождества

(х)

Е [! ~ а] = U Еn[! ~ а] и из теоремы 8.3.

n=1

30. Люба-я фун'Кци-я f (х) измерима на мно;жестве Е меры

нуль.

В самом деле, любое подмножество множества меры нуль

измеримо и имеет меру нуль.

Определение 1. Две определенные на измеримом мно;же­

стве Е фун'Кции f(x) и g(x) называютс-я э'Квивалент­ н Ъ! м и на этом мно;жестве, если мно;жество Е [! # g] име­

ет меру нуль.

Для обозначения эквивалентных (на множестве Е) функций лх) и g(x) часто используют символику f ~ g

40.Если фун'Кции f(x) и g(x) э'Квивалентны на мно;жестве Е

ифун'Кци-я лх) измерима на Е, то и фун'Кци-я g(x) измерима

на Е.

ДО к аз атель ст в о. Положим Ео = Е [! # g], Е1 = Е\Ео .

Так как на Е1 функция g(x) совпадает с f(x), то (в силу свой­

ства 10) g(x) измерима на Е1 . Согласно свойству 30 g(x) изме­ рима и на Ео, а поэтому, согласно свойству 20, g(x) измерима и

на Е.

Определение 2. Мы будем говорить, 'Что не'Которое свой­ ствоА справедливо nо'Чти всюду на мно;жестве Е, если мно;жество то'Че'К Е, на 'Котором это свойство несnравед­

ливо, имеет меру нуль.

Следствие из свойства 40. Если фун'Кци-я f(x) непре­

рывна nо'Чти всюду на измеримом мно;жестве Е, то f(x) из­

мерима на Е.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметим сначала, что если функция f (х) непрерывна на замкнутом множестве F, то f (х) измерима

Если же С = О, то С· лх) == О и также измерима.

3) Пусть {rk} - все рациональные точки бесконечной прямой

(-00,00). Достаточно учесть, что

00

Е [1 > g] = U (Е [1 > rk] nE[g < rk]),

k=l

и воспользоваться теоремами 8.3 и 8.6. Лемма доказана.

Опираясь на лемму 1 докажем следующую теорему.

Теорема 8.11. Если фу'Н/х;'Ции ](х) и g(x) nринимают на

множестве Е nоне'Ч,ные зна'Ч,ения и измеримы на этом множес­

разности ](х) - g(x) достаточно заметить, что для любого ве­ щественного а множество Е [1 - g > а] совпадает с измеримым (в силу леммы 1) множеством Е [1 > g

2)Для доказательства измеримости суммы J(x)+g(x) доста­ точно учесть, что] +g = ] - (-g) и что функция g(x) измерима

согласно лемме 1.

3)Чтобы доказать измеримость произведения двух измери­

мых функций, убедимся сначала, что квадрат измеримой функ­ ции является измеримой функцией. В самом деле, если а < О, то

множество Е [12 > а] совпадает с Е и потому измеримо. Если же а? О, то множество Е [12 > а] совпадает с измеримым (соглас­

но лемме 1) множеством Е [111 > уГа]. Из измеримости квадрата

измеримой функции и из измеримости суммы и разности изме-

римых функций, в силу соотношения]·g = !u +g)2 _!u _g)2,

4 4

вытекает измеримость произведения ](x)g(x).

4) В силу измеримости произведения двух измеримых функ­ ций для доказательства измеримости частного ]jg достаточно доказать измеримость 1jg, но она вытекает из теорем 8.3 и 8.6

Теорема 8.13. Если последовательность измеримых на

множестве Е ФУН1\;'Циu иn(х)} сходится nо'Ч,ти всюду на Е 1\; ФУН1\;'Ции 1(х), то ФУН1\;'Ция 1(х) измерима на множестве Е.

Д о к а з а т е л ь с т в о. В случае, когда последовательность

иn(х)} сходится К 1(х) не почти всюду, а в с ю Д у на Е, ут­

верждение теоремы об измеримости 1(х) сразу вытекает из тео­ ремы 8.12. Если же иn(х)} сходится К 1(х) всюду на Е, кроме

множества Ео меры нуль, то 1(х) измерима на Е \ Ео в силу

теоремы 8.12 и измерима на Ео как на множестве меры нуль

измеримы на множестве Е и nринимают nо'Ч,ти всюд]J на Е

1\;оне'Ч,ные зна'Ч,ения. Говорят, 'Ч,то последовательность t1n (х)} сходится 1\; 1(х) по мере на множестве Е, если для любого

положительного 'Ч,исла Е

т. е. если для любых положительных Е и д найдется номер N

такой, что при n ~ N справедливо неравенство 1Е [11 - 1n 1~ Е] 1< д.

А. Лебег доказал следующую теорему.

Теорема 8.14. Пусть Е - измеримое множество 1\;оне'Ч,ноu

меры, и пусть ФУН1\;'Ции 1n(х) (n = 1, 2, ... ) и 1(х) измеримы на

множестве Е и nринимают nо'Ч,ти всюду на Е 1\;оне'Ч,ные зна'Ч,е­

ния. Тогда из сходимости последовательности {1n (х)}

1\; 1(х) nо'Ч,ти всюду на Е выте1\;ает сходимость иn(х)} 1\; 1(х)

и по мере на множестве Е.

последовательность {jn (х)} сходится к 1(х) и все функции 1n (х)

и 1(х) имеют конечные значения.

Для произвольного Е > О положим Еn = Е [11 - 1nl ~ Е],

нию R n +1 содержится в R n для каждого номера n и, стало быть,

причем множества, стоящие под знаком суммы, попарно не пере­

секаются. Но тогда, в силу теоремы 8.8, для каждого номера n

остаток этого ряда (8.21) стремится к нулю при n ---7 00. Итак,

IRn \ RI ---7 о при n ---7 00. Но это в силу соотношения IRnl = = IRn \ RI + IRI означает, что IRnl ---7 IRI при n ---7 00.

Теперь для доказательства (8.20) нам остается доказать, что IRI = о. Для этого в свою очередь достато'Ч'Н.о до'Х:азать,

'Что R содеРJICитс.я. в с.

Пусть ха - любая точка, не принадлежащая с. Тогда для фиксированного нами произвольного Е > О найдется номер

N(xa, Е) такой, что Ifn(xa) - f(xa)1 < Е при n ~ N(xa, Е). НО

это означает, что при n ~ N (ха, Е) точка ха не принадлежит Еn

и тем более не принадлежит Rn и множеству R, являющемуся

пересечением всех Rn .

Итак, всякая точка Ха, не принадлежащая С, не принадле­ жит и R. Но это и означает, что R содержится в С. Теорема

доказана.

3 а м е ч а н и е. Подчеркнем, что из сходимости последова­

тельности {jn (х)} к функции f( х) на множестве Е по мере не вытекает не только сходимость {fn(x)} к f(x) почти всюду на Е, но даже сходимость иn(х)} К f(x) х о т я б ы в о Д н о й т о ч­

к е множества Е. Достаточно рассмотреть пример, построенный

в п. 3 § 2 гл. 1. Построенная в этом примере последовательность

{]n (х)} расходится в каждой точке сегмента [о, 1], но поскольку каждая функция fn(x) отлична от нуля только на сегменте I n,

длина которого стремится к нулю при n ---7 00, то последователь­

ность иn(х)} сходится К функции f(x) == О по мере на сегмен­ те [о, 1].

Тем не менее Ф. Рисс 1) доказал следующую теорему.

Теоре,м,а 8.15. Пусть Е - измеримое MHOJlCeCmBo 'Х:о'Н.е'Ч'Н.оU

меры, и пусть фу'Н.'Х:'Ции fn(x) (n = 1, 2, ... ) и f(x) измери-

1) Ф. Рисс - венгерский математик (1880-1956).