Ilin_Poznyak_-_Matanaliz

Докажем следующую ос'Нов'Ную теорему.

Теорема 10.19 (ус.ловuе раз.лО;JICuмосmu фуюi',ЦUU в

данной mо'чж,е в uнmегра.л Фурье). Если f(x) Е L 1(-00, (0) и если фу'Н'Кция f (х) удовлетворяет в да'Н'Ной то'Ч'Ке х справа условию Гёлъдера 'Ка'Кого-либо nоло;жителъ'Ного nоряд'Ка 0:1 (о < < 0:1 ~ 1), а слева - условию Гёлъдера 'Ка'Кого-либо nоло;жителъ­ 'Нога nоряд'Ка 0:2 (О < 0:2 ~ 1), то в этой то'Ч'Ке х справедливо

раве'Нство

рой равно полусумме правого и левого предельных значений (в частности, в каждой точке непрерывности f (х)) в правой части (10.96) можно писать f(x).

В интеграле, стоящем в правой части (10.97), можно пере­ менить порядок интегрирования относительно у и и (так как

внутренний интеграл сходится равномерно относительно у на

любом сегменте [-л, л].

Теперь учтем, что при любом положительном л справедливо ра­

венство 1)

- 00

Из последних двух равенств вытекает, что при любом положи­

1) См. гл. 9, § 3.

§ 6 ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ 363

Вычитая из (10.98) равенства (10.99) и (10.100), получим, что

при любом положительном л

Так как функция ЛХ) удовлетворяет в точке х справа усло­

вию Гёльдера порядка 0:1 и слева условию Гёльдера порядка 0:2,

то существуют постоянные М1 и М2 такие, что для всех до­ статочно малых положительных t будет справедливо неравенст­

во (10.75), а для всех достаточно малых отрицательных t будет справедливо неравенство (10.76). Если мы обозначим через М

наибольшее из чисел М1 и М2 , а через о: наименьшее из чи­

сел 0:1 и 0:2, то в правых частях (10.75) и (10.76) можно писать MI t 10<, причем эти неравенства будут справедливы для всех по­ ложительных (соответственно отрицательных) значений t, удов­ летворяющих условию 1 t 1 ~ 8, где 8 - произвольное достаточно

малое положительное число.

но это означает, что для фиксированного нами произвольного [ > о найдется А1 такое, что

Обозначим через А наибольшее из чисел А1 и А2 . Из соотноше­

ний (10.102), (10.104)-(10.106) заключаем, что

Теорема доказана.

С.ледсmвuе. Равенство (10.96) будет тем более справедли­

во, если ЛХ) Е L 1 (-00, (0) и если фун'К'Ци,я ЛХ) имеет в даннои

- 00

но следует помнить, что этот несобственный интеграл сходится

всмЪtсле глав1-tого 3Ншч,е1-tия, т. е. является пределом соответ­

ствующего собственного интеграла лишь при условии, что пре­ делы интегрирования в этом собственном интеграле являют­ ся симметри'Ч1-tЪtми от1-tосителъ1-tо 1-tуля 'Числами. Нельзя по­

нимать несобственный интеграл (10.107) как предел

при независимом стремлении )..' к - 00 и ).." к +00. В следующем пункте мы будем писать вместо предела (10.96) несобственный интеграл (10.107), всякий раз понимая его в указанном нами

смысле.

3. Понятие о прямом и обратном преобразованиях

Фурье. Записывая левую часть (10.96) в виде несобственно­ го интеграла (10.107) и считая, что значение функции f(x) в

данной точке х равно полусумме правого и левого предельных значений, мы получим равенство

позволяющее найти функцию f (х) по ее образу Фурье лу) и час­

то называемое о б р а т н ы м п р е о б раз о в а н и е м Фур ь е.

По отношению к этому равенству формулу (10.90), с помощью

которой образ Фурье лу) выражается через саму функцию f (х),

часто называют п р я м ы м п р е о б раз о в а н и е м Фур ь е. Проводя аналогию с тригонометрическим рядом Фурье, мы придем к выводу, что образ Фурье является аналогом коэффи­

циента Фурье, а обратное преобразование Фурье (10.108) явля­

ется аналогом разложения функции в тригонометрический ряд Фурье.

Рассмотрим прямое и обратное преобразования Фурье для

двух важных частных случаев: 1) для случая, когда функция

Всилу отмеченной выше равномерной по х сходимости интеграла (10.115),

вправой части (10.116) можно изменить порядок интегрирования относи­

(звездочка означает комплексное сопряжение).

В силу неравенства

I[] eixy g(x) dx] * 1'If(y)1~-I Ig(x)1 dx· С(1+ lyl)-2

и признака Вейерштрасса интеграл, стоящий в правой части (10.117), схо­

дится равномерно относительно л на бесконечной прямой - 00 < л < 00.

Стало быть в (10.117) можно перейти к пределу при л --+ 00, осуществляя в правой части (10.117) переход к пределу под знаком интеграла. Теорема

доказана.

§7. Кратные тригонометрические ряды

иинтегралы Фурье

1.Понятие кратного тригонометрического ряда Фурье и его прямоугольных и сферических частичных

сумм. Пусть функция N переменных f(X1, Х2, ... , XN) опре­

делена и интегрируема в N-мерном кубе -1Г :::;; Xk :::;; 1г (k = = 1,2, ... , N). Этот куб мы обозначим символом П. Кратный

тригонометрический ряд такой функции удобно записывать сра­ зу в комплексной форме, используя для сокращения записи по­ нятие скалярного произведения двух N-мерНbIх векторов.

Пусть х = (Х1, Х2, ... , ХN) - вектор с произвольными вещест­ венными координатами Х1, Х2, ... , XN, а n = (n1, n2, ... , nN)-

вектор с целочисленными координатами n1, n2, ... , nN.

fn = fnln2 .. 'nN =

= (2Jr)-N J... Jf(Y1,

П

(10.119)