Ilin_Poznyak_-_Matanaliz
.pdf
372 РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ГЛ. 10
вида
ml
Smlm2 ... mN (х, 1) = L
nl=-ml nN=-mN
Говорят, 'Что 'крат'ныlu триго'Нометри'Чес'Киu ряд Фурье
(10.118) суммируем в да'Н'Ной то'Ч'Ке х nрямоуголь'ныlM мето дом (или методом При'Нсгеuма), если в этоu то'Ч'Ке существу
ет предел
mli~oo Smlm2 ...m N (х, 1)
т2---+ 00
mN---+оо
(при стремле'Нии 'к бес'Ко'Не'Ч'Ности 'Каждого и'Нде'Кса т1, т2,
... , mN).
Оба метода суммирования имеют свои преимущества и свои
недостатки. При рассмотрении кратного тригонометрического ряда Фурье как ряда Фурье по ортонормированной системе естест
венно располагать его члены в порядке возрастания Inl и иметь
дело со сферическими частичными суммами.
Прямоугольные частичные суммы применяются при иссле
довании поведения кратных степенных рядов около границы
области сходимости. Следует отметить, что определение суммы
ряда как предела прямоугольных сумм (в противоположность определению, опирающемуся на предел сферических сумм) не
накладывает никаких ограничений на бесконечное множество
частичных сумм этого ряда.
Прежде чем формулировать условия сходимости кратного
тригонометрического ряда Фурье, определим некоторые харак
теристики гладкости функции N переменных.
2.Модуль непрерывности и классы Гёльдера для
функции N переменных. Пусть функция N переменных
f (х) = f( Х1, Х2, ... , хN) определена и непрерывна в N -мерной |
||
области D. |
> О 'Назовем |
|
Оnределе'Н,uе 1. Для 'Каждого <5 |
м О д у л е м |
|
'н е пр еры в 'н О С т и фу'Н'К'Ции f(x) |
в области D |
то'Ч'Ную верх |
'НЮЮ гра'Нь модуля раз'Ности If (х') - |
f( х") I 'На м'Ножестве всех |
|
то'Че'К х' и х", 'Которые nри'Надлежат области D и расстоя'Ние
р(х', х") между 'Которыми ме'Ньше <5.
Будем обозначать модуль непрерывности функции f(x) в области D символом w(<5, 1).
Оnределе'Н,uе 2. Для любого и из nолусегме'Нта О < и :::;; 1
будем говорить, 'Что фу'Н'К'Ция f(x) nри'Надлежит в области D
'Классу |
Гёльдера СИ с nо'Казателем и, и писать f(x) Е |
Е СИ(D), |
если модуль 'Неnрерыв'Ности фу'Н'К'Ции f(x) в области D |
имеет nорядо'К w(<5, 1) = о(<5И ) при О < и < 1 и w(<5, 1) = О(<5И ) nрии=1.
§ 7КРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ 373
Пусть теперь о: - |
л ю б о е (не обязательно целое) |
п о л 0- |
||
ж и т е л ь н о е число: о: = |
r+и, где r - целое, а и принадлежит |
|||
полусегменту О < и ~ 1. |
|
|
|
|
Оnределе'Н,ие 3. Будем |
говорить, 'Что фун'Кци-я лх) nри |
|||
надле;)fCит в области |
D |
'к |
л а с с у Г ё л ь д е р а СО! с |
nо'Каза |
телем о: > О, и писать J(x) Е CO!(D), если все 'Частные nро изводные фун'Кции J(x) nop-яд'Ка r непрерывны в области D и
'Ка;)fCда-я 'Частна-я nроизводна-я nop-яд'Ка r nринадле;)fCит 'Классу
CX(D), введенному в определении 2.
3. Условия сходимости кратного тригонометрическо го ряда Фурье. Начнем с установления простейших условий абсолютной и равномерной сходимости кратного тригонометри ческого ряда Фурье.
Теорема 10.21. Если фун'Кци-я J(х) nериоди'Чес'Ки (с пери
одом 21Г по Ka;)fCaou из nepeMeHHblX) nродОЛ;)fCена на все прост
ранство E N и обладает в E N |
непрерывными nроизводными nо |
p-яд'Ка 3 = [N/2]+ 1, где [N/2] - |
цела-я 'Часть 'Числа N /2, то 'Крат |
НЫй тригонометри'Чес'Киu р-яд Фурье фун'Кции J(х) сходитс-я ('К этоu фун'Кции) абсолютно и равномерно во всем пространст
ве E N .
|
Д о к а з а т е л ь с т в о. Договоримся |
обозначать |
символом |
|||||||
( |
дтj) |
коэффициент Фурье производной дт j с номером n = |
||||||||
|
дх!: |
п |
|
|
|
|
|
|
дх!: |
|
= |
(n 1, |
n2, . .. |
|
, n N ). |
Производя интегрирование по частям, по- |
|||||
лучим, что (aj |
) |
= |
inkfn (для любого k |
= 1, 2, ... , N), так |
||||||
что If (aj |
aXk |
п |
|
|
|
|
|
|||
) |
п |
1= Ifnl(ln 11 + ... + InNI) |
и, |
стало быть, |
||||||
|
k=l aXk |
|
|
|
+ I"NI)-l t,1и!.)J |
|
||||
|
|
11nl ~(1"11 + |
(10.121) |
|||||||
Формула (10.121) справедлива не только для функции J, но и для каждой частной производной функции J до порядка (3 - 1)
включительно. Отсюда сразу же вытекает соотношение
сумма в правой части которого берется по всем целым неотрица
тельным 31, ... , 3 N, удовлетворяющим условию 31 +... +3 N = 3
(так что число слагаемых в этой сумме равно N S ) . Из (10.122) в
374 РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ГЛ. 10
свою очередь следует |
1) |
|
|
|
|
|
I(дхf' |
|
дх";') |
|
|
|||
~ |
1 |
|
2 |
N 5 |
|
|
" |
д8 j |
12 |
, |
||||
Ifnl |
~ "2(ln1 1+ ... + InNI)- s+ 2 |
|
|
L |
- |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sl+ ... + S N=S |
|
|
|
п |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10.123) |
||||
Учитывая, что 8 = |
N |
+ [, где [ = |
1 для четного |
N И [ |
= |
1 |
||||||||
- |
- |
|||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
для нечетного N, и что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(In11 + ... + InNI)-2S = |
(In11 + ... + InNI)-N-2t: ~ |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2Е |
|
|
|
|
2Е |
|
|
|
|
|
|
|
|
~ In11 |
- 1 -- |
|
|
- 1 -- |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
N ... lnNI |
|
|
N, |
||||
мы получим из (10.123) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2Е |
|
2Е |
+ |
N |
5 |
L |
1 |
- |
j 8 |
|
|
12 |
|
Ifnl ~ ~ln11-1-N .. . lnNI-1- N |
|
(5' д8 |
N ) |
|
|
• |
||||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
дХ1 |
... дХN |
|
п |
|
|||
|
|
|
|
|
|
81 + ...+8N=8 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10.124) |
||||
Для абсолютной и равномерной сходимости кратного триго
нометрического ряда Фурье (10.118) достаточно (в силу приз нака Вейерштрасса) доказать сходимость мажорирующего его
числового ряда |
|
00 |
00 |
но (в силу неравенства (10.124)) сходимость последнего ряда яв
ляется прямым следствием сходимости для любого k числового
|
|
2Е |
00 |
Inkl |
- 1 -- |
ряда L |
N и сходимости для любых 81,82, ... ,8N |
ряда
00
вытекающей из неравенства Бесселя (10.120), записанного для
непрерывной функции 8, д8 ! |
5N • |
|
|
|
дХ1 ... дХN |
|
|
Тот |
факт, что кратный тригонометрический ряд Фурье |
||
(10.118) |
сходится именно к функции f(x), вытекает из полноты |
||
1) Мы пользуемся неравенствами lal . Ibl ::;; а22 |
+ Ь22 и (la11 + ... + lap l)2 ::;; |
||
::;; p(ai + ... + a~).
§ 7КРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ 375
кратной тригонометрической системы 1). В самом деле, если бы
ряд (10.118) равномерно сходился к некоторой функции g(x), то
из возможности почленного интегрирования такого ряда выте
кало бы, что все коэффициенты Фурье функции g(x) совпадают с соответствующими коэффициентами Фурье функции f (х). Но тогда разность [J (х) - g( х)] была бы ортогональна всем элемен там кратной тригонометрической системы и (в силу полноты этой системы) равнялась бы нулю. Теорема доказана.
3 а м е ч а н и е 1. Теорема 10.21 может быть уточнена. Спра
ведливо следующее у т в е р ж Д е н и е 2): если фун'К'Ция f (х) nериоди'Чна по 'Ка;JfCдоu из nеременных (с периодом 27Г) и nри
надле;JfCит в E N 'Классу Гёлъдера ей при о: > N/2, то 'Крат
НЫй три20нометри'Чес'Киu ряд Фуръе f (х) сходится ('К этоu
фун'К'Ции) абсолютно и равномерно во всем пространстве E N .
Выяснение условий н е а б с о л ю т н о й сходимости кратно го тригонометрического ряда требует привлечения более тонкой
техники.
Сформулируем без доказательства условия суммируемости кратного тригонометрического ряда Фурье сферическим и прямоугольным методом.
Теоре,м,а 10.22. Еслu фУН1;;'И,UЯ N ~ 2 nеременных f(Xl, Х2, ... ,XN) nepUOaU'l,Ha по 1;;аж;дой переменной (с nериодом 27Г) U nрuнадлеж;uт в про-
странстве E N 1;;лассу Гёл'Ьдера С'" |
nри а ~ N - 1, |
то сфеРU'I,еС1;;uе ФУН1;;- |
|
2 |
|
'И,UU f(Xl, Х2, ... , XN) сходятся 1;; |
этой фУН1;;'И,UU равномерно во всем про- |
|
странстве E N 3). |
|
|
|
|
N-1 |
Теоре,м,а 10.23. Для любого nолож;uтел'Ьного а, мен'Ьшего --- , U |
||
любой mO'l,1;;U Ха N -мерного 1;;уба |
|
2 |
П существует |
фУН1;;'И,UЯ N ~ 2 nере |
|
менных f(Xl, Х2, ... ,XN), nерuодU'I,еС1;;ая по 1;;аж;дой переменной (с nерио-
дом 27Г), nрuнадлеж;ащая в E N 1;;лассу СЙ, обращающаяся в нул'Ь в не1;;ото
рой б-О1;;рестностu mO'l,1;;U Ха u та1;;ая, 'l,mO сфеРU'l,еС1;;uе 'l,aCmU'l,Hble суммы
1;;ратного mpuzoHOMempU'I,eC1;;OZO ряда Фур'Ье этой фУН1;;'И,UU не uмеют пре
дела в mO'l,1;;e Ха 4).
1) Полнота кратной тригонометрической системы сразу вытекает из пол
ноты составляющих ее одномерных тригонометрических систем, произве
дением которых она является.
2) Это утверждение весьма просто получается из леммы 3.1, доказанной в
работе В. А. Ильина и ш. А. Алимова «Условия сходимости спектральных
разложений, отвечающих самосопряженным расширениям эллиптических опе
раторов, 1» и/Дифференциальные уравнения. 1971. Т. 7, N4. с. 670-710).
3) Эта теорема вытекает из более общих утверждений, доказанных в ра
боте В. А. Ильина «Проблемы локализации и сходимости рядов Фурье по фундаментальным системам функций оператора Лапласа» и/Успехи ма
тематических наук. 1968. Т. 23. Вып. 2. с. 61-120) и в работе В. А. Ильина и ш. А. Алимова, упомянутой в предыдущей сноске.
4) Эта теорема является частным случаем более общего утверждения, до
казанного в гл. 3 работы В. А. Ильина, указанной в предыдущей сноске.
376 |
РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ |
ГЛ. 10 |
|
Теоремы 10.22 и 10.23 устанавливают о к о н ч а т е л ь н ы е |
(в классах |
Гёльдера са) условия сходимости сферических частичных сумм периоди
N-1
ческой функции f(Xl, ... , XN). Согласно этим теоремам при СУ ? ---
2
имеет место равномерная сходимость сферических частичных сумм, а при
N -1 |
|
|
|
СУ < --- для сферических частичных сумм несправедлив даже прин- |
|||
2 |
|
|
|
цип локализации (сколь бы гладкой ни являлась функция f |
в окрестности |
||
точки Ха, принадлежность этой функции классу са (Е |
N |
|
N-1 |
|
) при СУ < --- |
||
|
|
|
2 |
не обеспечивает сходимости сферических частичных сумм этой функции в
точке Ха).
Окончательные (в классах Гёльдера са) условия сходимости прямо
угольных частичных сумм кратного тригонометрического ряда Фурье уста-
новлены и работе Л. В. Жижиашвили 1).
Теорема 10.24. Если фУН'J{;'Ция N nеременных f(Xl, ... , XN) nерио
ди'Чна по 'J{;а:ждой из nеременных (с периодом 2к) и nринадле:жит в E N
'J{;лассу са при любом СУ > О, то nрямоуголъные 'Части'Чные суммы 'J{;pam-
ного тригонометри'ЧеС'J{;ого ряда Фуры фУН'J{;'Ции f(Xl, ... , XN) |
сходятся |
|
('J{; этой фУН'J{;'Ции) |
равномерно в E N . |
|
3 а м е ч а н и е |
2. Отметим, что еще в 1928 г. Л. Тонелли 2) |
было уста |
новлено, что одна непрерывность функции N ? 2 переменных f(Xl, ...
. .. , XN) не обеспечивает не только равномерной сходимости, но и принци
па локализации прямоугольных частичных сумм ее кратного тригономет
рического ряда Фурье (существует периодическая по каждой переменной (с
периодом 2к) функция, непрерывная в E N , обращающаяся в нуль в некото
рой б-окрестности данной точки Ха и такая, что прямоугольные частичные
суммы этой функции расходятся в Ха).
4. О разложении функции в N-кратный интеграл Фу
рье. Пусть функция N ;;? 2 переменных f(x1, |
... ,XN) = f(x) |
допускает существование несобственного интеграла |
|
J .. ·Jf(X1,"" XN) dX 1 ... dXN. |
(10.125) |
EN |
|
Назовем образом (или преобразованием) Фурье
такой функции величину
ЛУ1' ... , YN) = ЛУ) = J ... J ei(xy) f(X1, ... ,
EN
В полной аналогии с леммой 4 доказывается, что ЛУ) явля
ется непрерывной функцией у всюду в E N и стремится к нулю
при lyl = Jyr + ... + yJv --+ 00.
1) Л. В. Жижиашвили. О сопряженных функциях и тригонометрических
рядах. Докторская диссертация, Москва, МГУ, 1967.
2) Л. Тонелли - итальянский математик (1885-1946).
ГЛАВА 11
ГИЛЬБЕРТаВа ПРОСТРАНСТВО
В этой главе изучается важный подкласс бесконечномерных
евклидовых пространств - так называемые г и л ь б е р т о в ы
про с т р а н с т в а.
Мы устанавливаем важное для приложений специальное пред ставление всякой линейной функции от элементов такого про
странства (такую функцию принято называть |
л и н е й н ы м |
Ф у н к Ц и о н а л о м), а также, что из всякого |
ограниченного |
по норме бесконечного множества элементов гильбертова про
странства можно выделить подпоследовательность, сходящуюся
в некотором слабом смысле (это свойство называют с л а б о й
ко м п а к т н о с т ь ю шара в гильбертовом пространстве).
Особое внимание уделяется изучению ортонормированных
систем элементов гильбертова пространства. Мы устанавливаем эквивалентность для таких систем, введенных в § 2 гл. 10 поня
тий замкнутости и полноты, и доказываем знаменитую теоре
му Рисса-Фишера, согласно которой любая последовательность чисел, ряд из квадратов которых сходится, представляет собой последовательность коэффициентов Фурье некоторого элемента гильбертова пространства в разложении по наперед заданной
ортонормированной системе элементов этого пространства. В
последнем параграфе доказывается существование собственных
значений у так называемых в п о л н е н е п р еры в н ы х с а -
м о с о п р я ж е н н ы хоп е р а т о р о в, действующих в гильбер
товом пространстве.
§1. Пространство [2
1.Понятие пространства [2. Рассмотрим множество, эле
ментами которого являются всевозможные последовательности
вещественных чисел (Xl' Х2, ... , Хn, ... ) такие, что ряд, состав
ленный из квадратов этих чисел
(х) |
|
LX~ |
(11.1) |
k=l
является сходящимся. Элементы такого множества будем обо
значать (как векторы) полужирными латинскими буквами: