§ 5 |
БОЛЕЕ ТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ 351 |
Очевидно, что построенная нами функция g(x) удовлетво |
ряет |
условию g( -К) = g(K) И принадлежит классу Гёльдера |
Сй (с тем же положительным показателем й, что и f(x)) на
всей бесконечной прямой 1). в силу теоремы 10.15 и замеча
ния 1 тригонометрический ряд Фурье функции g (х) сходится
равномерно на всей бесконечной прямой, а поэтому в силу тео
|
|
|
|
|
ремы 10.13 тригонометрический ряд Фурье функции f(x) |
при |
Ь а |
( |
к этой функции |
) |
любом д из интервала О < д < -- сходится |
|
|
2
равномерно на сегменте [а + д, Ь - д]. Теорема доказана.
3 а м е ч а н и е 4. Утверждение теоремы 10.16 остается спра
ведливым и для сегмента [а, Ь], имеющего длину, р а в н у ю 2к (т. е. для случая Ь = а + 2к), но в этом случае при доказатель
стве теоремы следует, фиксировав произвольное д из интервала
О < д < К, взять функцию g(x) совпадающей с f(x) на сегмен-
те [a+~, a+2K-~], линейной на сегменте [a+2K-~, a+2K+~]
и периодически (с периодом 2к) продолженной с сегмента
[а+ ~, а+2к+ ~] на всю бесконечную прямую. Если же сегмент
[а, Ь] имеет длину, пр е в о с х о Д я Щ у ю 2к, то из принадлеж
ности f (х) классу Гёльдера Сй на таком сегменте и из условия
периодичности f (х) (с периодом 2к) вытекает, что f (х) принад
лежит классу Сй на всей бесконечной прямой, т. е. в этом случае
мы приходим к теореме 10.15.
6. О сходимости тригонометрического ряда Фурье ку сочно-гёльдеровой функции.
Оnределенuе 1. Будем называть Фунn'Ци1О f(x) n у с о 'Ч, н 0-
г ё л ь д е р о в о 'Й на сегменте [а, Ь], если эта фунn'Ция nусо'Ч,но
непрерывна на сегменте [а, Ь] и если сегмент [а, Ь] при помо
щи nоне'Ч,ного 'Ч,исла то'Ч,еn а = Ха < xl < Х2 < ... < хn = Ь
разбивается на 'Ч,асти'Ч,нъtе сегментъ! [Xk-l, Xk] (k = 1, 2, ...
. .. , n), на паждом из nomopblx эта фунn'Ция принадлежит nлас
су Гёльдера CCtk с HenomopblM положительным nоnазателем ak
(О < ak ~ 1), nри'Ч,ем при определении nласса Гёльдера на 'Ч,ас
ти'Ч,ном сегменте [Xk-l, Xk] в nа'Ч,естве зна'Ч,ени'Й фунn'Ции на nон'Цах сегмента следует брать предельные зна'Ч,ения f(Xk-l + О)
и f(Xk - О) 2).
1) Достаточно учесть, что g(x) всюду непрерывна и что линейная функция
имеет ограниченную производную и потому принадлежит классу Гёльдера са при любом СУ ~ 1.
2) Как у всякой кусочно-непрерывной функции, у кусочно-гёльдеровой
функции значения в каждой точке Xk обязаны быть равны полусумме пра вого и левого предельных значений в этой точке, т. е. должно быть спра
ведливо равенство f(Xk) = (1/2)[f(xk - О) + f(Xk + О)].
352 |
РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ |
ГЛ. 10 |
Иными словами, область задания всякой кусочно-гёльдеро вой функции распадается на конечное число не имеющих общих внутренних точек сегментов, на каждом из которых эта функ ция принадлежит классу Гёльдера с некоторым положительным показателем. Каждый из этих сегментов мы будем называть у ч а с т к о м г л а Д к о с т и функции.
Оnределе'Н,uе 2. Будем называть фУН'Х:'ЦИЮ f(x) 'Х: У с О "l Н 0- г л а д'Х: О U на сегменте [а, Ь], если эта фун'Х:'Ция 'X:YCO"lHO-неnре рывна на сегменте [а, Ь] и имеет на этом сегменте 'X:YCO"lHO-
непрерывную nроизводную 1) , т. е. если фун'Х:'Ция f (х) 'X:YCO"lHO-
непрерывна на сегменте [а, Ь] и ее nроизводная f'(x) существует
и непрерывна всюду на этом сегменте, за ИС'Х:ЛЮ"lением, быть
MOJlCem, 'Х:оне"lного "lисла mO"le'X:, в 'X:aJlCaou из 'X:OmOPblX ФУН'Х:'ЦИЯ l'(х) имеет 'X:OHe"lHble nравое и левое предельные зна"lения.
Ясно, что всякая кусочно-гладкая на сегменте [а, Ь] функция
является кусочно-гёльдеровой на этом сегменте.
Имеет место следующая основная теорема.
Теоре,м,а 10.17. Пусть 'X:YCO"lho-гёльдеровая на сегменте
[-7Г, 7Г] фун'Х:'Ция f (х) nериодИ"lес'Х:и (С периодом 27Г) nродОЛJlCе
на на всю бес'Х:оне"lНУЮ прямую. Тогда тригонометРИ"lес'Х:иu ряд
Фурье фУН'Х:'ЦИИ f (х) сходится в 'X:aJlCaou mO"l'X:e х бес'Х:оне"lНОU nрямоu 'Х: зна"lению f(x) = (1/2)[f(x - О) + f(x + О)], nРИ"lем
сходимость этого ряда является равномернои на 'X:aJlCaOM фИ'Х: сированном сегменте, леJlCащем внутри Y"lacm'X:a глад'Х:ости
фУН'Х:'ЦИИ f( х) .
д о к а з а т е л ь с т в о. Утверждение теоремы в равномер-
ной сходимости на каждом фиксированном сегменте, лежащем
внутри участка гладкости, сразу вытекает из теоремы 10.16.
Отсюда же вытекает и сходимость тригонометрического ряда
Фурье функции f (х) в каждой в н у т р е н н е й точке участ-
ка гладкости функции f(x) 2). Остается доказать сходимость
тригонометрического ряда Фурье функции f (х) в каждой точке
соединения двух участков гладкости.
Фиксируем одну из таких точек и обозначим ее через х. Тогда найдутся постоянные М1 и М2 такие, что при любом достаточно
малом положительном t справедливо неравенство
If(x + t) - f(x + 0)1 ~ M 1{ Jo l |
(О < а1 ~ 1), |
(10.75) |
а при любом достаточно малом отрицательном t справедливо
неравенство
1)См. определение 1 из п. 2 § 4 этой главы.
2)Ибо каждую внутреннюю точку участка гладкости можно охватить сег
ментом, лежащим внутри этого участка.
§ 5 БОЛЕЕ ТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ |
353 |
|
1 |
2 |
|
Обозначим через М наибольшее из чисел М |
|
и М , а через СУ |
наименьшее из чисел СУ1 и СУ2. Тогда при 1 t 1 ~ 1 в правой части |
каждого из неравенств (10.75) и (10.76) можно писать М· 1 |
t 100. |
Фиксируем теперь произвольное Е > О и по нему <5 > О, |
удо |
влетворяющее неравенству (10.70) и настолько малое, что при 1 t 1 ~ <5 справедливы оба неравенства (10.75) и (10.76) и в правой части этих неравенств можно брать число M·It 1 а . Повторяя рас
суждения, проведенные при доказательстве теоремы 10.15, мы
придем к равенству (10.71) и для доказательства теоремы нам
остается убедиться, что в фиксированной нами точке х справед
ливы оценки (10.72), (10.73) и (10.74). В замечании 2 п. 5 мы
отметили, что оценки (10.73) и (10.74) справедливы для любой толь'Ко 'Kyco"lho-неnрерыlно'й и nериодИ"lес'Ко'Й (с периодом 21Г)
фУН'КЦИИ. Остается доказать справедливость для всех номеров n
оценки (10.72).
Имея в виду, что лх) = (1/2)[f(x - О) + ЛХ + О)] и что 1)
|
д . |
(1) |
t |
д . |
(1) |
t |
о . |
( |
n |
1) |
t |
! |
sш |
n |
+ - |
Jsш |
n |
+ - |
Jsш |
|
+ - |
J |
. |
2 |
&= |
|
. |
2 |
&= |
|
|
. |
2 |
& |
2 |
t |
|
|
t |
|
|
|
t |
' |
|
|
2 sш - |
|
|
2 sш - |
|
|
2 sш - |
|
|
-д |
|
2 |
|
О |
|
2 |
|
-д |
|
|
2 |
|
мы можем следующим образом переписать интеграл, стоящий в
левой части (10.72):
:; J[ЛХ + t) - |
|
s.ш (n+ -1) t |
|
|
|
лх)] |
2sin !2 |
dt = |
|
|
It I~J |
|
д |
|
2 |
|
s.ш ( n + -1) t |
|
=:; J[J(x+t)-J(х+О)] |
2sin!2 dt+ |
|
|
о |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
+:; |
о |
+ |
|
s.ш ( n+ -1) t |
|
|
J[J(x |
ЛХ - |
О)] |
2sin !2 dt. |
(10.77) |
|
|
|
t) - |
|
|
|
-д |
|
|
|
2 |
|
1 ) В силу того, |
что функция <p(t) |
sin(n+1/2)t является |
ч е т н ой, |
т. е. для любого t |
|
|
|
2 sin(t/2) |
|
|
удовлетворяет условию <р(-t) = |
<p(t). Легко убедиться, |
|
|
|
6 |
|
о |
|
|
|
что для такой функции J<p(t) dt = |
J <p(t) dt (достаточно в одном ИЗ этих |
о-6
интегралов сделать замену t = -Т), и поэтому
1 6 |
6 |
О |
- J <p(t) dt = |
J<p(t) dt = |
J <p(t) dt. |
2 -6 |
О |
-6 |
12 В. А. Ильин и э. г. Позняк, часть II
354 |
РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ |
ГЛ. 10 |
Для оценки интегралов, стоящих в правой части (10.77), вос пользуемся неравенствами (10.75) и (10.76), беря в правой части этих неравенств число МI t Iй. Учитывая уже применявшуюся
при доказательстве теоремы |
10.15 |
оценку |
1 t |
~ - 7r ( при |
|
|
|
|
|
21 sin 2"1 |
21 t 1 |
I t I |
~ п) инеравенство (10.70), будем иметь |
|
|
|
! [f( х + t) - f (х)] |
. ( |
1) |
|
|
|
|
sшn+-t |
dt ~ |
|
|
;: |
2 sin !2 |
|
|
It I~o |
|
2 |
|
|
|
оО
~~[!tn - 1 dt + ! It In-1 dt]
О-о
Оценка (10.72), а с ней и теорема доказаны.
Следствие 1. Утвержде1-tие теоремы 10.17 будет тем бо лее справедливо, если в ее формулировк;е вместо к;усо'Ч1-tо-гёлъде
ровои взятъ к;усо'Ч1-tо-гладк;ую (на [-п, п]) фу1-tк;'Цию, nериоди'Че
ск;и (с периодом 2п) nродолже1-t1-tую на всю беск;о1-tе'Ч1-tую прямую.
Для формулировки еще одного следствия введем новое по
нятие. Пусть О < СУ ~ 1.
Определение 3. Будем говоритъ, 'Что фу1-tк;'Ция f (х) у д о в летворяет в даннои то'Чк;е х справа (слева) условию Гёлъдера nорядк;а СУ, если фу1-tк;'Ция f(x) име
ет в то'Чк;е х nравое (левое) nределъ1-tое 31-tа'Че1-tие и если суще
ствует так;ая nостоя1-t1-tая М, 'Что для всех достато'Ч1-tо малых nоложителъ1-tыlx (отри'цателъ1-tыl)) t справедливо неравенство
|
If(x + t) - f(x + 0)1 |
<: М |
(lf(X + t) - f(x - 0)1 |
<: М). |
|
t"''' |
1t 1'" |
|
" |
|
Очевидно, что если функция f(x) имеет в данной точке х |
правую (левую) производную, понимаемую |
как |
предел |
11т |
f(x+t)-f(х+О) |
(1'1т |
|
,то |
Ф |
ункция х |
· |
|
f(x+t)-f(x-O)) |
|
|
f() |
t~O+O |
t |
t~О-О |
t |
|
|
|
|
заведомо удовлетворяет в этой точке х справа (слева) |
условию |
Гёльдера любого порядка СУ ~ 1.
Следствие 2 (условие сходимости тригонометри 'Чес-к;ого р,яда Фурье в данной то'Ч-к;е). Для того 'Чтобы три
го1-tометри'Ческ;ии ряд Фуръе к;усо'Ч1-tо-1-tеnрерыв1-tои и nериоди'Чес
к;ои (с периодом 2п) фу1-tк;'Ции f (х) сходился в даннои то'Чк;е х беск;о1-tе'Ч1-tои nрямои, достато'Ч1-tо, 'чтоБыl фу1-tк;'Ция f (х) удовле
творяла в то'Чк;е х справа условию Гёлъдера к;ак;ого-либо nоло жителъ1-tого nорядк;а СУ1 и в то'Чк;е х слева условию Гёлъдера
§ 5 БОЛЕЕ ТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ 355
к;шх;ого-либо nоложител'Ь'Ного nорлдк;а СУ2 (и тем более доста то'Ч'Но, 'чтоБыl фу'Нк;'Цил f (х) имела в то'Чк;е х правую и левую nроизвод'Ные) .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно заметить, что из того, что
функция f(x) удовлетворяет в точке х справа (слева) условию
Гёльдера порядка СУ1 (порядка СУ2), вытекает существование по
стоянной М1 , (постоянной М2) такой, что для всех достаточ но малых положительных (отрицательных) t справедливо нера венство (10.75) (неравенство (10.76)). Но изложенное нами дока зательство теоремы 10.17 использует лишь неравенства (10.75) и (10.76) и кусочную непрерывность и периодичность f(x).
При м е р. Не вычисляя коэффициентов Фурье функции
|
при |
-К :::;; х < О, |
f(x) |
при |
х = О, |
|
при |
о < х :::;; К, |
мы можем утверждать, что тригонометрический ряд Фурье этой
функции сходится в точке х = О к значению 1/2, ибо функция f(x) имеет в этой точке левую производную и удовлетворяет в этой точке справа условию Гёльдера порядка СУ2 = 1/2.
7. Суммируемость тригонометрического ряда Фурье непрерыв ной функции методом средних арифметических. Мы уже отмечали,
что тригонометрический ряд Фурье всюду непрерывной и периодической (с периодом 27Г) функции может быть расходящимся (см. п. 1). Докажем, что этот ряд тем не менее всегда суммируем (равномерно на всей бесконечной
прямой) методом Чезаро (или методом средних арифметических) 1).
Теорема 10.18 (теорема Феuера 2)). Если фУН'J{;'Ция f(x) непрерыв
на на сегменте [-7Г, 7Г] и удовлетворяет условию f(-7Г) = f(7Г), то средние
арифметичеС'J{;ие частичных сумм ее тригонометричеС'J{;ого ряда Фурье
- |
So(x, f) + Sl(X, f) + ... |
+ Sn-l(Х, f) |
~n (Х, f) - |
--~~~---- |
~~------------ |
~~ |
n
сходится ('J{; этой фУН'J{;'Ции) равномерно на сегменте [-7Г, 7Г] (а в случае, если фУН'J{;'Ция с периодом 27Г nродол;нсена на всю беС'J{;онечную ПрЯМУЮ, рав номерно на всей беС'J{;онечной прямой).
Доказательство. Из равенства (10.55) для Sn(X, f) получим, что
~n(X, f) = ~ J" |
f(x. +:) [~Sin(k + !) t] dt. |
(10.78) |
n7Г |
2 sш _ k=O |
2 |
|
-7Г |
2 |
|
|
1)См. дополнение 3 к гл. 13 вып. 1.
2)л. Фейер доказал свою теорему в 1904 г. л. Фейер - венгерский мате
матик (1880-1959).
356 РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ГЛ. 10
Для вычисления суммы, стоящей в (10.78) в квадратных скобках, просум
мируем тождество
2 sin ~sin (k + ~) t = cos kt - cos (k + 1) t
по всем k = О, 1, ... , n - 1. В результате получим |
|
|
2 sin ! ~sin (k + ~) t |
= 1 - cos nt = |
2 sin2 nt. |
|
2 k=O |
2 |
|
|
2 |
|
С помощью последнего равенства (10.78) приводится к виду |
|
|
|
К |
• 2 |
nt |
|
|
|
|
|
Sln |
- |
|
|
стn(х, 1) = |
~ Jf(x + t) |
2t |
dt. |
(10.79) |
|
n7Г |
|
2 sin 2 _ |
|
|
|
|
-К |
|
2 |
|
|
Из (10.79) в свою очередь немедленно следует, что |
|
|
|
К • 2 |
nt |
|
|
|
~ J |
sш |
- |
|
|
|
|
2t dt = 1, |
|
|
(10.80) |
n7Г |
2 sin 2 _ |
|
|
|
|
-К |
|
2 |
|
|
|
ибо левая часть (10.80) равна среднему арифметическому частичных сумм тригонометрического ряда Фурье функции f(x) == 1, а все указанные час тичные суммы тождественно равны единице (см. п. 2).
Фиксируем произвольное Е > О. Согласно теореме Вейерштрасса 10.9
найдется тригонометрический многочлен Т(х) такой, что |
|
If(x) - T(x)1 :'( Е/2 |
(10.81) |
для всех х из бесконечной прямой. В силу линейности средних арифмети
ческих стn(х, 1) = стn(х, f - |
Т+)стn(х, Т), так что |
|
Icтn(x, 1) - T(x)1 :'( |
Icтn(x, f - TI + Icтn(x, Т) - T(x)l· |
(10.82) |
Записав равенство (10.79) для функции [f(x)-T(x)], мы получим, учитывая
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
2 |
nt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sln |
- |
|
неотрицательность называемой |
я Д р о м |
Фей е р а |
функции ___2- |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 sin2 - |
|
используя оценку (10.81) и равенство (10.80), |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Icтn(x, f - |
TI :'( |
2 nt |
|
|
|
|
nt |
|
|
|
|
К |
• |
|
К |
|
• 2 |
|
|
|
|
|
Sln |
- |
|
~. ~ J |
Sln |
- |
|
|
|
|
|
|
2 |
dt:'( |
|
2t dt =~. |
(10.83) |
:'(~ JIf(x +t) - T(x+t)I --t |
|
7Гn |
2 sin 2 _ |
|
2 7Гn |
2 sin 2 _ |
2 |
|
|
|
-К |
|
2 |
|
-К |
|
|
2 |
|
|
|
|
Неравенство (10.83) справедливо для любого номера n. Заметим теперь, что тригонометричский ряд Фурье многочлена Т(х) совпадает с этим мн,ого 'Ч,лен,ом. Отсюда следует, что все частичные суммы Sn (х, Т), начиная с неко торого номера По, равны Т(х). Но это позволяет нам для фиксированного
выше произвольного Е > О отыскать номер N такой, что
Icтn(x, Т) - T(x)1 < Е/2 |
(10.84) |
при всех n ? N и всех х.
Из неравенств (10.82), (10.83) и (10.84) заключаем, что Icтn(x, 1)- f(X)1 < < Е при всех n ? N и всех х. Теорема доказана.
§ 5 БОЛЕЕ ТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ 357
8. Заключительные замечания. 10. При решении ряда конкретных задач приходится раскладывать функцию в триго
нометрический ряд Фурье не на сегменте [-п, п], а на сегменте
[-l, [], где l-произвольное положительное число. Для перехо
да к такому случаю достаточно во всех проведенных выше рас-
к |
К |
u |
суждениях заменить переменную х на -х. |
|
онечно, при такои |
l |
|
|
линейной замене переменной останутся справедливыми все уста-
новленные нами результаты. Эти результаты будут относиться
к тригонометрическому ряду Фурье
|
а20 |
00 |
|
|
|
|
|
+ L |
( ak cos !fkx + bk sin !fkX) |
(10.85) |
|
|
k=l |
|
|
|
|
со следующими выражениями для коэффициентов Фурье |
|
|
ао |
1 |
1 |
|
|
|
|
= - |
J f(t) dt, |
|
|
|
|
|
l |
-1 |
|
(10.86) |
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
ak = - |
J f(t) cos 2ktdt, |
bk = ~ J f(t)sin 2 ktdt |
|
l |
-1 |
1 |
|
l -1 |
1 |
|
|
|
|
|
(k = |
1, 2, ... ). |
|
Мы не будем заново формулировать все установленные теоре
мы, а лишь отметим, что во всех формулировках сегмент [-п, п] следует заменить сегментом [-l, [], а период 2п периодом 2l.
20. Напомним, что функция f(x) называется ч е т н о Й, если
она удовлетворяет условию f( -х) = ЛХ), и н е ч е т н о Й, если она удовлетворяет условию f( -х) = - f(x).
Из вида (10.86) тригонометрических коэффициентов Фурье вытекает, что для четной функции ЛХ) равны нулю все коэффи
циенты bk (k = 1, |
2, ... ), а для нечетной функции f(x) равны |
нулю все коэффициенты ak (k = |
О, 1, |
2, ... ). Таким образом, |
'Чет'На-я фу'Н'К'Цu-я |
J(х) рас'Кладываетс-я |
в трuго'Нометрu'Чес'Кuu |
р-яд Фуры толъ'Ко по 'Коси'Нусам |
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
аО |
+ |
L |
|
K k |
х, |
|
- |
|
ak cos - |
|
2 |
|
k=l |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
а 'Не'Чет'На-я фу'Н'К'Цu-я f (х) рас'Кладываетс-я в трuго'Нометрu'Че
с'Киu р-яд Фуръе толъ'Ко по си'Нусам
00
Lbksin!fkx.
k=l
30. Приведем весьма часто употребляемую к о м п л е к с н у ю
фор м у за п и с и тригонометрического ряда Фурье (10.85).
358 |
|
|
РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ |
ГЛ. 10 |
Используя соотношения |
1) |
|
|
|
7г |
|
|
7г |
|
|
|
-i-kx |
7г |
. • 7г |
i-kx |
7г |
7г |
е |
1 = |
cos - |
kx - ~ sш - |
kx, е 1 = |
cos -kx + i sin -kx, |
|
|
1 |
1 |
|
1 |
1 |
легко убедиться в том, что тригонометрический ряд Фурье (10.85) с коэффициентами Фурье (10.86) приводится к виду
00 |
7г |
|
|
|
L |
Ck e -iтkх, |
|
(10.87) |
k=-oo |
|
|
|
в котором комплексные коэффициенты Ck имеют вид |
|
|
1 |
7г |
|
|
ck = -1 Jf(t)e i |
-kt |
dt |
(10.88) |
1 |
21 |
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
и выражаются через коэффициенты (10.86) по формулам |
ао |
|
|
(k = 1, 2, |
... ). |
Со = 2' |
|
|
4О. Чрезвычайно важной для приложений является задача о вычислении значений функции по приближенно заданным коэф фициентам Фурье этой функции. Решение этой задачи при по
мощи так называемого м е т о Д а р е г у л я риз а Ц и и приво
дится В приложении в конце настоящего выпуска.
§6. Интеграл Фурье
вслучае, когда функция f(x) задана на всей бесконечной
прямой и не является периодической ни с каким конечным пе
риодом, эту функцию естественно раскладывать не в тригоно
метрический ряд, а в так называемый и н т е г р а л Фур ь е. Изучению такого разложения и посвящен настоящий пара
граф. Всюду в этом параграфе мы подчиним функцию лх)
требованию абсолютной интегрируемости на бесконечной пря
мой (-00, 00), т. е. потребуем, чтобы существовал несобствен
ный интеграл
00 |
|
J lf(x)1 dx. |
(10.89) |
- 00 |
|
Договоримся о следующей терминологии. |
|
Оnреде.ле1-tuе. Будем говорить, 'Ч,то фу'Н'Х:'Цил f (х) |
при 'н а д |
л е ;)fC и т 'н а б е С 'Х: О 'н е 'Ч, 'н О i1 пр л м о i1 (-00, 00) |
'Х: Л а С С У |
1) Эти соотношения являются непосредственными следствиями формулы
Эйлера, установленной в п. 3 § 5 гл. 1.
(10.89).
§ 6 |
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ |
359 |
L 1 и писать f(x) |
Е L 1(-00, (0), если фун'Х:'Ция f(x) |
интегриру |
ема (в собственном смысле Римана) на любом сегменте и если сходится несобственныu интеграл
1. Образ Фурье и его простейшие свойства.
Лемма 4. Если f(x) Е L 1(-00, (0), то для любоu то'Ч,'Х:и у
бес'Х:оне'Ч,ноu nрямоu - 00 < у < 00 существует несобственныu
интеграл 1)
|
~ |
|
00 |
|
|
|
f(y) |
= |
J eixy f(x) dx, |
(10.90) |
|
|
- 00 |
|
|
называемыu о браз о м |
(или пр е о бра з о в а н и е м) |
Фур ь е |
фун'Х:'Ции f (х). |
Более того, фун'Х:'Ция ЛУ) непрерывна по у в |
'X:a;JfCaou то'Ч,'Х:е |
бес'Х:оне'Ч,ноu |
nрямоu |
и стремится 'Х: |
нулю при |
у ---+ 00, т. е. |
|
lim |
lj(y)1 = |
о. |
(10.91) |
|
|
|
lyl---+oo |
|
|
до к аз ат е л ь с т в о. |
Из равенства Ie ixy f (х) I = |
If (х) 1, из |
сходимости интеграла (10.89) и из признака Вейерштрасса (см. теорему 9.7) вытекает равномерная по у сходимость интеграла (10.90) на каждом сегменте бесконечной прямой, а отсюда, в
силу непрерывности функции e ixy по у, из теоремы 9.9 следует
непрерывность интеграла (10.90) по у (на каждом сегменте, т. е. в каждой точке бесконечной прямой).
Остается доказать соотношение (1 0.91). Фиксируем произ вольное Е > о. В силу сходимости интеграла (10.89) можно фик
сировать А > О такое, что
-А |
00 |
|
J If(x)1 dx + J If(x)1 dx < Е/3. |
(10.92) |
- 00 |
А |
|
При так фиксированном А (в силу (10.92)) будет справедливо
неравенство
00 А
ixy |
ixy |
+~ |
(10.93) |
Je |
f(x) dx ~ Je f(x) dx |
3' |
|
- 00 |
-А |
|
|
и для доказательства соотношения (10.91) нам остается дока
зать, что интеграл, стоящий в правой части (10.93), меньше ~E
3
для всех достаточно больших lyl.
1) Комплексную функцию лу) = u(у) + iv(y) вещественного аргумента у
мы рассматриваем как пару вещественных функций u(у) и и(у). Непрерыв
ность [(у) в данной точке у понимается как непрерывность в этой точке
каждой из функций u(у) и и(у).
360 РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ ГЛ. 10
Так как функция f(x) интегрируема на сегменте [-А, А], то можно фиксировать такое разбиение Т сегмента [-А, А], что
для верхней суммы ST этого разбиения будет справедливо нера
венство 1)
А |
|
О < ST - J f(x) dx < Е/3. |
(10.94) |
-А
Предположим, что это разбиение Т производится при помощи
точек -А = хо < Х1 < Х2 < ... < хn = А и что Mk - точная
верхняя грань функции f(x) на частичном сегменте [Xk-1, Xk] (k = 1, 2, ... , n). Введем функцию
_ |
{Mk |
при |
xk-1 < х < xk |
(k = |
О, 1, 2, ... , n), |
fT(X) |
= |
|
х = xk |
(k = |
О, 1, 2, |
... , n). |
|
О |
при |
Поскольку интеграл не зависит от значения подынтегральной
функции в конечном числе точек, то очевидно, что
А |
n |
J lт(Х) dx = |
L Mk(Xk - Xk-1) = ST, |
-А |
k=l |
|
так что в силу (10.94)
АА
J 11т(Х) - f(x)1 dx = |
J [lт(Х) - f(x)] dx < Е/3. |
(10.95) |
-А |
-А |
|
Опираясь на неравенство |
(10.95) и учитывая, что leixYI |
= 1 и |
что IXXl eixy dxl ::;; 2/lyl, будем иметь
11 eixy f(x) dxl = 11eiXY[j(x) -lт(Х) + lт(Х)]dxl ::;;
::;; 11 eiXY1T(x) dxl + 11eiXY [lT(x) - f(x)] dxl ::;;
::;; t,IMkl'lxk~l eiXYdxl +1[lт(Х) -f(x)]dx::;;
n
::;; ~ L IMkl + ~ ::;; ~E,
сс"итолько lyl > ~[t, IMkl]. Леммадокаэана.
l)CM. § 2 и 3 гл. 10 вып. 1.
