Ilin_Poznyak_-_Matanaliz

так что соотношение (11.4) вытекает из сходимости ряда (11.1).

2. Общий вид линейного функционала в l2. Мы будем

рассматривать функции, аргументами которых служат элемен­

ты l2, а значениями - вещественные числа. Такого рода функ­

ции принято называть Ф у н к Ц и о н а л а м и (определенными

в пространстве l2).

Точнее, нашей целью является детальное изучение простей­

шего функционала, определенного в пространстве l2, так назы­

ваемого л и н е й н о г о функционала.

Определение 1. Фун'К'Ционал l (х), определенный в прост­

ранстве l2, называетс,я л и н е й н ы м, если дл,я любых элемен­ тов х и у пространства l2 и любых вещественных 'Чисел а и (3

справедливо равенство

l(ax + (3у) = al(x) + (3l(y).

Пусть ха - произвольный элемент пространства l2. С целью

геометризации терминологии мы часто будем называть этот эле­

мент ха т о ч к о й пространства l2.

Определение 2. Проuзвольный фун'К'Ционал l (х), определен­

ный в пространстве l2, называетс,я н е пр еры в н ы м в т о 'Ч 'к е ха пространства l2, если дл,я любой последователь­ ности элементов {хn} пространства l2, сход,ящейс,я по норме

пространства l2 'к элементу Ха, 'Числова,я последовательность l(x n ) сходитс,я 'к l(xa).

Определение 3. Фун'К'Ционал l(x) называетс,я н е пр е­

р ы в н ы м, если он непрерывен в 'Каждой то'Ч'Ке х простран­

ства l2.

Сразу же заметим, что в слу'Чае линейного фун'К'Ционала l (х)

непрерывность хот,я бы в одной то'Ч'Ке Ха вле'Чет за собой непре­

рывность в 'Каждой то'Ч'Ке х пространства l2. В самом де­

ле, пусть линейный функционал непрерывен в точке Ха и х­

произвольная точка пространства l2. Обозначим символом {хn} произвольную последовательность элементов l2, сходящуюся по

[2 к Х при n --+ 00. в силу непрерывности функционала отсюда

следует, что

о д н о з н а ч н о определенным элементом а, координаты кото­

рого равны l(ek)'

Остается убедиться в том, что Illll = Ilall. Из справедливого

для любого номера n неравенства (11.11) сразу же следует, что

С другой стороны, из уже доказанного нами равенства (11.8) с

помощью неравенства Коши-Буняковского 1) I(a, x)1 ~ Ilall х

х Ilxll получим, что Il(x)1 ~ Ilall'llxll,откуда в силу определения

нормы (11.7) вытекает, что

Доказанная теорема устанавливает общий вид всякого ли­

нейного непрерывного функционала в пространстве [2.

3. О слабой компактности ограниченного по норме [2

множества.

Оnреде.ле1-tuе 1. Множество Е элементов [2 назЪtвается

о г р а н и 'Ч, е н н ъt м (или о г р а н и 'Ч, е н н ъt м n о н о р м е), если существует постоянная М таnая, 'Ч,то Ilxll ~ м для всех

элементов х множества Е.

1) Согласно теореме 10.1 неравенство Коши-Буняковского справедливо

для любых двух элементов всякого евклидова пространства.

называется n о м пап т н ы м, если из любой принадлежащей

множеству Е последовательности элементов {хn} можно вы­

ний верно и обратное утверждение: всяnое содержащее бесnо­

не'Ч,ное 'Ч,исло элементов ограни'Ч,енное множество Е является nомnаnтныlM (теорема Больцано-ВеЙерштрасса). Но в б е с к о­

н е ч н о м е р н о м пространстве, каковым является [2, из огра­

ниченности бесконечного множества элементов Е уже не выте­

кает компактность этого множества.

Например, множество {ek} всех элементов ортонормирован­ ной системы (11.3) является ограниченным (ибо нормы всех эле­

ментов равны единице), но не является компактным (ибо для

сходимости последовательности элементов по норме [2 необходи­

Естественно попытаться ввести понятие компактности мно­

жества в более слабом (чем в определении 2) смысле, с тем, что­ бы любое (содержащее бесконечное число элементов) ограничен­

ное множество оказалось компактным в таком слабом смысле.

Оnределенuе 3. Последовательность {Хn} элементов

пространства [2 называется с л а б о с х о д я щей с я n эле­

менту ха этого пространства, если для любого элемента а

Заметим, что из сходимости {Хn} К Ха по норме [2 и из нера­

венства Коши-Буняковского вытекает слабая сходимость {Хn}

к Ха, ибо I(xn , а) - (ха, a)1 = I(xn - Ха, a)1 ~ Vllxn - xall '11all

для любого элемента а. Слабая сходимость {хn} К ха, вообще

говоря, не влечет за собой сходимость {хn} к Ха по норме [2. На­

пример, последовательность {ek} всех элементов ортонормиро­ ванной системы (11.3) слабо сходится к нулевому элементу О, ибо

для любого элемента а пространства [2 справедливо неравенство

1) в самом деле, из неограниченности множества Е вытекало бы суще­

ствование последовательности принадлежащих Е элементов, для которых последовательность норм является бесконечно большой. Любая подпосле­

довательность такой последовательности расходится по норме [2, ЧТО про­

тиворечит условию компактности множества Е.

13 В. А. Ильин и Э. Г. Позняк, часть II

леJICащеi1 MHOJICeCmBY Е nоследователъности элементов {хn}

MOJICHO выделитъ слабо сходящуlОСЯ nодnоследователъностъ. Справедлива следующая фундаментальная теорема.

Теорема 11.3. Всяк;ое состоящее из беск;оне'Чного 'Числа эле­

ментов ограни'Ченное MHOJICeCmBO в [2 является слабо К;ОМ­

nак;тным.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Е - произвольное ограничен­

ное подмножество [2, содержащее бесконечное число элементов,

{хn} - произвольная последовательность элементов Е. Условие

ограниченности множества Е позволяет утверждать, что Ilxnll ~

~ М, где М - некоторая постоянная. Но тогда из соотношения

2 00

Ilxnll = L X;k вытекает ограниченность для любого номера k

k=l

числовой последовательности k-x координат Xnk элементов хn .

Стало быть, в силу теоремы Больцано-Вейерштрасса (см. теоре­ му 3.3 из вып. 1) из последовательности {хn} можно выделить

подпоследовательность элементов {x~l)} такую, что первые ко­

ординаты этих элементов образуют сходящуюся числовую по-

следовательность, затем из {x~l)} можно выделить подпоследо­

вательность элементов {x~2)} такую, что как первые, так и вто­

рые координаты этих элементов образуют сходящиеся числовые последовательности и т. д. После k шагов мы выделим подпосле-

довательность элементов {x~k)}, у которой каждая из первых k

координат образует сходящуюся числовую последовательность.

Положим Уn = x~n). Очевидно, что {Уn} является подпосле­

довательностью исходной последовательности элементов {хn} и

что последовательность, образованная л ю б о й координатой

элементов Уn ' является сходящейся числовой последовательно­

стью, т. е. если Уn = (Уnl, Уn2, ... , Ynk, ... ), то для каждого k

последовательность Ynk сходится при n --+ 00. Обозначим

1) Согласно теореме 10.4 неравенство Бесселя справедливо для каждого

элемента и любой ортонормированной системы в произвольном евклидовом

пространстве.

что последовательность (6, 6, ... , ~k, ... ) представляет собой

некоторый элемент пространства [2, т. е. убедимся в сходимости

(для Л Ю б о г о фиксированного номера N и для всех номеров n).

Переходя в (11.15) к пределу при n --+ 00, мы получим, что

N

L ~~ ~ м2 для любого номера N, а, это и означает, что по­

k=l

следовательность (6,6, ... , ~k, ... ) представляет собой неко-

торый элемент [2, который мы обозначим через ~.

Остается доказать, что последовательность {Уn} слабо схо­

дится к этому элементу ~, т. е. доказать, что для любого элемен­

та а = (а1, а2, ... , ak, ... ) пространства [2 справедливо соотно­

шение lim (Уn' а) = (~, а) или, что то же самое, соотношение

В силу того, что lim Ynk = ~k, и в силу теоремы о почленном

n---+оо

переходе к пределу (см. теорему 1.6) достаточно доказать, что ряд

k=l

сходится равномерно относительно всех номеров n. Фиксируем

00

произвольное Е> о. Из сходимости ряда L a~ вытекает сущеет­

k=l

вование такого номера то, что

(11.17)

для всех т ~ то и всех натуральных р (р = 1, 2, ... ).

13*

ров n. Но это и означает, что ряд (11.16) сходится равномерно

относительно всех номеров n. Теорема доказана.

Доказанная теорема находит многочисленные применения. В частности, она широко применяется в теории вариационных

методов решения задач математической физики.

§2. Пространство L 2

1.Простейшие свойства пространства L 2 . С простран­ ством L 2 мы уже знакомы из п. 7 § 4 гл. 8, посвященного изуче­

нию классов LP при любом р ? 1.

Напомним, что пространством L 2 (E) называется множество

всех функций и(х)} таких, что каждая функция f(x) измери­

ма на множестве Е, а каждая функция j2(x) суммируема (т. е.

интегрируема в смысле Лебега) на множестве Е. При этом мы

не различаем эквивалентных на множестве Е функций, рассма­

тривая их как один элемент L 2 (E).

Кратко называют L 2 (E) пространство м функций

с с у м м и р у е м ы м (на множестве Е) к в а Д р а т о м.

Сразу же отметим, что все интегралы в этом параграфе по­

нимаются в смысле Лебега, а под множеством Е понимается измеримое множество положительной конечной меры на беско­ нечной прямой, хотя вся излагаемая нами теория без каких-ли­ бо осложнений переносится на случай произвольного множества положительной меры Е в пространстве любого числа n измере­

ний.

В п. 7 § 4 гл. 8 было установлено, что пространство L 2 (E)

является линейным нормированным пространством с нормой

любого элемента j (х) вида

1) Это неравенство установлено в дополнении 1 к гл. 10 ВЫП. 1.

довым пространством со скалярным произведением любых двух

элементов f(x) и g(x) вида 1)

Справедливость в L 2 (E) всех четырех аксиом скалярного произве­

дения 2) легко следует из независимости произведения f(x)g(x)

от порядка сомножителей, из линейных свойств интеграла и из условия эквивалентности нулю измеримой, суммируемой и

неотрицательной функции р(х).

Заметим еще, что из (11.18) и (11.19) вытекает, что (как и во всяком евклидовом пространстве) норма и скалярное произ­

ведение в L 2 связаны соотношением

Ilfll = vu:7).

Наконец, напомним, что в п. 7 § 4 гл. 8 доказано, что про­

странство L 2 (E) является полным 3).

Перейдем теперь к выяснению более глубоких свойств про­

странства L2 (E).

2. Сепарабельность пространства L 2 . Рассмотрим сна­

чала произвольное линейное нормированное пространство R.

Оnределенuе 1. Множество М элементов линейного норми­ рованного пространства R называется в с 10 д у n л о т н ы м

(или n л о т н ы м в R), если для любого элемента f про­

странства R из множества М можно выlелитьb последова­

тельность элементов {fn}, сходящуюся по норме R 1>: f.

Оnределенuе 2. Линейное нормированное пространство R называется с е пар а б е л ь н ы м, если в нем существует с'Чет­ ное всюду плотное множество элементов М.

Целью настоящего пункта является доказательство сепара­

бельности пространства L 2 .

Теорема 11.4. Множество непрерывных на Е фУН1>:'Ций яв­

ляется всюду плотным в L 2 (E).

1)Определение евклидова пространства и скалярного произведения см. в

§1 гл. 10.

2)Аксиомы скалярного произведения можно найти в § 1 гл. 10.

3)Напомним, что линейное нормированное пространство R называется

по л н ы м, если для любой фундаментальной последовательности {fn} эле­

ментов этого пространства (т. е. для последовательности {fn}, для которой lim sup Ilfm - fnll = О, существует элемент f пространства R, к которому

n----+оо т~n

сходится В R эта последовательность.

f(x) ~ О. Действительно, вводя две неотрицательные функции

f+(x) = ~(lf(x)1 + f(x)), f-(x) = ~(lf(x)1 - f(x)),

легко убедиться в справедливости теоремы для любой функции f Е L 2 при условии, что для неотрицательных функций она

доказана.

Кроме того, мы можем предположить, что f(x) всюду при­ нимает конечные значения. Итак, пусть f(x) Е L2(E) и о ~

~ f(x) < 00.

Рассмотрим для каждого номера n последовательность непе-

(х)

т. е. Е = U E~.

k=O

Построим последовательность {!n (х)} функций, определенных на множестве Е, дЛЯ каждого номера n положив fn(x) = k/2 n

для х, принадлежащего E~. Таким образом, каждая функция fn(x) представляет собой «ступенчатую» на множестве Е функ­ цию (принимающую не более чем счетное число значений).

Далее очевидно, что для всех номеров n и всех точек х мно­ жества Е справедливо неравенство

О ~ f(x) - fn(x) < 1/2n,

к о н е ч н о е число значений, причем последовательность {\lfn(x)} сходится к f(x) в с ю Д у на Е. Так как, кроме того, всюду на множестве Е справедливо неравенство О ~ f (х) - \Ifn (х) ~ f (х),

из которого следует, что [f(x) - \lfn(x)]2 ~ Р(х) всюду на Е,

то в силу следствия из теоремы 8.19 последовательность [J(x)-

- \lfn(x)]2 сходится к нулю в L 1 (E), т. е. последовательность

\lfn(x) сходится к f(x) в L2(E).

1) Напомним, что символ Е [! удовлетворяет условию А] обозначает мно­

жество всех точек Е, для которых функция f(x) удовлетворяет условию А.