Ilin_Poznyak_-_Matanaliz

По предположению индукции, справедливому для р - 1,

В результате получим

dep*(w) = ер* (df /\ dX i1 /\ ... /\ dx ip - 1 ) /\ ер* (dx ip ),

а по свойству 1

Следующее важное свойство называют mранзumuвносmъю.

= (ш\ ш2 , ... , шn ). Пусть ер отображает И -+ V, а Ф отображает V -+ w.

Через Ф о ер обозначим отображение, называемое композицией, которое дей­

ствует по правилу

(ф о ер)(и) = ф[ер(u)].

Аналогично введем композицию ер* о ф*, которая для любого р переводит пр(w) в Пр(U), т. е.

(ер*оф*)(w) = ер*[ф*(w)].

Справедливо следующее равенство:

(фоер)* = ер*оф*.

Д О К а з а т е л ь с т в о. Обозначим (3 = Ф о ер. Это означает, что (3

= ((31, (32, ... , (3n), где

(3k = фk(ер1, ер2, ... , ерт).

Проведем сначала доказательство для линейной формы dw k С п1 (w).

Получим

(3* (dw k ) = d(3*(w k ) = d(3k(u) = t a(3k du i = tf дфk дер)du i .

i=l ди' i=l j=l avJ ди'

Далее

и тогда

и равенство доказано. Отсюда следует справедливость свойства 3 для любой линейной формы. Далее доказательство проведем по индукции. Пусть

§4. Интегрирование дифференциальных форм

1.Определения. Обозначим через 1т единичный куб в евклидовом

пространстве Ет :

понимать отображение в G некоторой области D с Ет , содержащей вну­ три себя 1т. Аналогично дифференциальной р-формой ш, определенной в 1т, будем называть р-форму, определенную в некоторой области D с Ет ,

содержащей 1т.

Определение 1. И н т е г р а л о м о т р-ф о р м ы

w = f(t) dt 1 /\ de /\ ... /\ dtv,

определенной в 1{;убе 1Р , по 1{;убу 1Р будем называтъ велu'Чuну

Нашей ближайшей целью является определение интеграла от диффе­ ренциальной формы по любой поверхности. Естественно, что при этом сте­ пень формы будет совпадать с размерностью поверхности. Под поверхно­ стью мы будем при этом понимать отображение единичного куба той же

размерности (напомним, что понятие отображения включает в себя как область значений, так и закон соответствия). Впрочем, иногда мы будем

называть поверхностью только лишь образ куба.

Определение 2. Назовем т-м е р н ы м с U н г у л я р н ы м 1{; у б о м

в пространстве Еn (т :'( n) дuфферен'Цuруемое отобра;женuе 1{;уба 1т в Еn .

Та1{;им образом, обозна'Чая сuнгулярный 1{;уб 'Через С, мы мо;жем заnuсатъ

С = 'р: 1т -+ Еn .

Мы будем говорить, что сингулярный куб С содержится в G с Еn , если

'Рит ) С G.

Теперь мы можем определить интеграл от любой р-формы w Е Пр(G) ПО любому р-мерному сингулярному кубу С с G.

Определение 3. Интегралом от формы w С Пр(G) по син­ гулярному 1{;убу С = 'Р: 1Р -+ Еn , содер;жащемуся в G, назовем велu'Чuну

Jw= Jr.p*(w).

с!Р

Убедимся в том, что интеграл от р-формы w по р-мерному сингулярно­

му кубу С зависит лишь от образа 'РllР) , а не от закона соответствия 'Р.

Прежде всего рассмотрим подробнее определение интеграла от w ПО сингулярному кубу С.

с!р

Определение 4. Пустъ С1 = 'Р1: 1Р -+ Еn U С2 = 'Р2: 1Р -+ Еn -

два сuнгулярных 1{;уба. Будем говоритъ, 'Что С1 = С2 , еслu существует

ние т-1 будет удовлетворять необходимым требованиям.

Мы будем говорить, что С1 = -С2 , если в условии 2 функциональный определитель всюду меньше нуля (очевидно, при этом С2 = -С1 ). Иногда в этом случае говорят, что С1 И С2 отличаются ориентацией.

Справедливо следующее утверждение: еслu С1 = С2 , то

J w = J w.

С, С2

Д О К а з а т е л ь с т в о . Мы проведем доказательство для случая, когда

w = f(x)dx 1 /\ dx 2 /\ ... /\ dx p.

По определению

Аналогично можно показать, что если С1 = -С2 , ТО

J w = - J w.

С, С2

2. Дифференцируемые цепи. Нам понадобятся поверхности, кото­ рые распадаются на несколько кусков, каждый из которых является обра­ зом некоторого т-мерного куба. Примером такой поверхности может слу­

жить состоящая из двух окружностей граница кольца, лежащего на дву­

мерной плоскости. При этом мы будем различать ориентации этих окруж­ ностей. В связи с этим весьма полезным оказывается введение линейных комбинаций сингулярных кубов с вещественными коэффициентами.

Определение 1. Будем 11,азыват'Ь Р-М ер 11, о и и, е n 'ь ю С nроuзвол'Ь-

11,blU 11,абор

{Л1, Л2, ... , Лk, С1 , С2 , ... , Ck},

где Лi - веществе11,11,ые 'Ч,uсла, а Ci - p-Mep11,ble СU11,гУЛЯР11,ые nубы. Прu этом будем UСnОЛ'Ь30ват'Ь оБО311,а'Ч,е11,uе

С=Л1 С1 + ... +ЛkСk.

Будем говорить, что С принадлежит G, если все C i принадлежат G.

Множество р-мерных цепей образует линейное пространство, если вве­ сти естественным образом операции сложения и умножения на веществен­

ные числа.

8 В. А. Ильин и э. г. Позняк, часть II

При м е р 2. Рассмотрим сингулярный куб С

имеет вид

<.pl = (а + Rt1)cos27re,

<.р2 = (а + Rt 1 ) sin27re.

Легко видеть, что <.p(I2) есть кольцо, граница которого образована ок­

ружностями радиусов а и а + R. Выясним, что является границей сингу­

лярного куба С. Очевидно, <.р(Iб(l)) есть окружность

<.р1 = а cos 27rt 2 ,

<.р2 = а sin 27rt 2 .

Далее, <.р(Й(l)) -это окружность радиуса а + R. Наконец, <.р(Iб(2)) и

<.p(If(2)) - это отрезок х2 = О, а ::;; x 1 ::;; а + R.

На рис. 7.12 стрелками указано направление обхода границы дС, если

обход границы aI2 совершается против часовой стрелки. Поскольку <.р(Iб(2)) - <.р(Й(2)) = о, мы можем считать, что

дС = <.рЩ(l)) - <.рЩ(l)),

что совпадает с обычным пониманием границы кольца.

Выясним, каким образом связаны интегралы от формы w по границе

куба С и формы <.р*(ш) по границе Р.

Докажем формулу Стокса сначала в следующем частном случае.

8*

D(Sl, S2, ... , sp-l)

если i = 1. Итак, отличными от нуля могут быть только интегралы по I~(l):

По определению интеграла по кубу IP-l

Jdw= Jtp*(dw).

с1P

Всилу свойства 2 дифференцируемых отображений (см. п. 2 § 3)

J tp*(dw) = J dtp*(w).