Ilin_Poznyak_-_Matanaliz

§ 4 ПРИЛОЖЕНИЯ ФОРМУЛ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО 203

сочно-гладкая кривая, соединяющая точки МО и М и располо­ женная в D.

МоМ

не зависит от кривой МоМ и поэтому представляет собой функ­ цию, заданную в D. Докажем, что в каждой точке М облас­

Доказательство существования частных производных функ­

ции u(х, у) и равенств (7.39) проводится одновременно. Дока-

жем, например, существование дu и первое из равенств (7.39).

дх

Фиксируем точку М(х, у). Придадим аргументу х настолько ма-

лое приращение ,6,х, чтобы отрезок МN, соединяющий точки

Применяя к последнему интегралу теорему о среднем, получим

,6,u = Р(х + В,6,х, у),6,х, О < В < 1,

1) Так как D - область, т. е. множество, состоящее лишь из внутренних

точек, то такой выбор llx возможен.

в силу непрерывности Р(х, у), правая часть последнего ра­

венства имеет предел при flx ---7 о, равный значению этой функ­

ции в точке М(х, у). Следовательно, и левая часть имеет тот же

дu Т

предел, равныиu по определению частноиu производноиu - . аким

дх

образом, существование частной производной и справедливость

первого равенства (7.39) доказана. Существование частной про-

изводной дu и справедливость второго равенства (7.39) доказы-

ду

вается аналогично.

Докажем теперь соотношение (7.37). Пусть А и В-любые

точки из D, АВ - произвольная кусочно-гладкая кривая, со­ единяющая эти точки и расположенная в D. Эта кривая опре­

деляется параметрическими уравнениями х = x(t), у = y(t),

а ~ t ~ ь. Используя правило вычисления криволинейных инте­

гралов, получим

ь

J Pdx + Qdy = J{P(x(t), y(t))x'(t) + Q(x(t), y(t))y'(t)}dt =

а

АВ

ь

= Ju~dt = и(х(Ь), у(Ь)) - и(х(а), у(а)) = и(В) - и(А).

а

Таким образом, формула (7.37) доказана.

Т р е т и й ш а г: 3 ---7 1. Это утверждение следует из фор­

мулы (7.37). В самом деле, для замкнутой кривой L начальная точка совпадает с конечной, и поэтому по формуле (7.37) имеем

§ Pdx + Qdy = и(А) - и(А) = о.

L

Теорема доказана.

3 а м е ч а н и е. Мы отмечали, что условия 1, 2, 3 теоре­

мы 7.7 равносильны, и поэтому, в частности, условие 3 предста­ вляет собой необходимое и достаточное условие, при котором

криволинейный интеграл JР dx + Q dy не зависит от выбора

L

кривой L, соединяющей любые данные точки А и В области D.

ДЛЯ односвязных областей 1) мы укажем удобное для при­

ложений необходимое и достаточное условие того, чтобы диффе-

1) Напомним, что область D называется ОДНОСВЯЗНОЙ, если любая кусоч­

но-гладкая, несамопересекающаяся замкнутая кривая, расположенная в D, ограничивает область, все точки КОТОРОЙ принадлежат D.

каждой петли L кривой L справедливо равенство § Рdx+Q dy =

L

= о, и поэтому для L справедливо равенство

§ Р dx + Q dy = о.

L

Пусть L - произвольная замкнутая кусочно-гладкая кривая.

нормаль к L в точке Nk, целиком расположен в D и представляет

собой замкнутую кусочно-гладкую кривую без самопересечений.

Поэтому

§Р dx + Q dy = о.

MkNkCk

Отсюда следует, что криволинейный интеграл по дуге MkNk равен криволинейному интегралу по ломаной MkCkNk:

J Pdx + Qdy = J Pdx + Qdy.

MkNk

Проводя аналогичные рассуждения для любой части Lk, мы

полу';..им в результате расположенную в D замкнутую лома-

в D ломаной L, интеграл § Р dx + Q dy = о. Отсюда и из (7.41)

получаем

§ Р dx + Q dy = о.

L

Теорема доказана.

4. Потенциальные и соленоидальные векторные по­

ля. Нами были ранее (см. п. 3 § 1, п. 3 § 2 и п. 3 § 3) введены

§ 4 ПРИЛОЖЕНИЯ ФОРМУЛ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО 207

понятия циркуляции и потока векторного поля. Напомним эти

понятия.

Пусть в некоторой области D задано непрерывное векторное

поле р(М) = р(х, у, z).

Оnределе'Н,ие 1. Цир'Х:уляцией ве'Х:торного поля р по зам'Х:­ нутой 'Х:усо'Чно-глад'Х:ой 'Х:ривой L, раСnОЛО;JfCенной в области D,

назыается.я интеграл

§ pt dl,

L

в 'Х:отором t - едини'чныi1 ве'Х:тор 'Х:асательной 'Х: L, а dl - диф­

ференциал длины дуги 'Х:ривой L.

Оnределе'Н,ие 2. Пото'Х:ом ве'Х:торного поля р 'Через ориен­ тированную 'Х:усо'Чно-глад'Х:ую поверхность S, раСnОЛО;JfCенную в

области D, назыается.я интеграл

JJpnda, s

в 'Х:отором n - едини'чныlй ве'Х:тор нормали 'Х: поверхности S, у'х:азыающийi1 ее ориентацию, а da - элемент площади поверх­

ности S.

Введем понятия потенциального и соленоидального вектор­

ного поля.

Оnределе'Н,ие 3. Ве'Х:торное поле р назыается.я n о т е н­

Ц И а л ь н ъl М в области D, если цир'Х:уляция этого поля по лю­

бой зам'Х:нутой 'Х:усо'Чно-глад'Х:ой 'Х:ривой, раСnОЛО;JfCенной в обла­ сти D, равна нулю.

Оnределе'Н,ие 4. Ве'Х:торное поле р назыается.я с о л е н 0- и д а л ь н И М в области D, если nото'Х: этого поля 'Через лю­ бую 'Х:усо'Чно-глад'Х:ую несамоnересе'Х:ающуюся поверхность, рас­ nОЛО;JfCенную в D и nредставляющую собой границу не'Х:оторой ограни'Ченной подобласти области D, равен нулю.

Для непрерывно дифференцируемых векторных полей и спе­ циального класса областей мы докажем теорему, содержащую необходимые и достаточные условия потенциальности поля.

Предварительно мы введем понятие трехмерной nоверхност­

но-односвязной области.

Трехмерная область D называется nоверхностно-односвяз­

ной, если для любой кусочно-гладкой замкнутой кривой L, рас­ положенной в D, можно указать такую ориентируемую кусочно­

гладкую поверхность S, расположенную в D, границей которой является L. Отметим, что для упомянутой поверхности S спра­ ведлива формула Стокса.

Имеет место следующая теорема.

Теорема 1.9. Пусть в nоверхностно-односвязной области D задано неnрерыlноo дифференцируемое ве'Х:торное поле р

= {Р, Q, R}. Тогда э'х:вивалентныl следующие три условия:

1.Веnтор'Ное поле р = р(М) является nоте'Н'Циал'Ь'Ным.

2.В области D существует nоте'Н'Циал'Ь'Ная фу'Нn'Ция и(М),

т. е. таnая фу'Нn'Ция, 'Ч.то р = grad и, или, 'Ч.то то JlCe,

du = Pdx + Qdy + Rdz.

В этом слу'Ч.ае для любых то'Ч.еn А и В из области D и для nроизвол'Ь'Ной nусо'Ч.'Но-гладnоЙ привой АВ, соеди'Няющей эти

то'Ч.nи и раСnОЛОJICе'Н'Ной в D,

J pt dl = и(В) - и(А)

Таnим образом, naJlCaoe из условий 2 и 3 представляет собой 'Необходимое и достато'Ч.'Ное условие nоте'Н'Циал'Ь'Ности диффе­

ре'Н'Цируемого веnтор'Ного поля р.

Д о к а з а т е л ь с т во. Применим схему:

Утверждения 1 -+ 2 и 2 -+ 3 справедливы без предположения поверхностной односвязности области D и доказываются в пол­

ной аналогии с соответствующими утверждениями теорем 7.7

и 7.8.

Докажем утверждение 3 -+ 1.

Пусть L - замкнутая кусочно-гладкая кривая, расположен­ ная в D. По предположению, D - поверхностно-односвязная об­ ласть. Поэтому в D существует такая кусочно-гладкая поверх­

ность S, границей которой является L. По формуле Стокса (7.26)

имеем

§ ptdl = JJ nrotpda.

L D

Отсюда и из условия rot р = о получаем

§ ptdl = О,

L

т. е. поле р является потенциальным. Теорема доказана.

§ 4 ПРИЛОЖЕНИЯ ФОРМУЛ ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО 209

взаключение этого пункта докажем теорему о необходимых

идостаточных условиях соленоидальности векторного поля в

так называемых обоем1-tо-од1-tосвЛ31-tых областлх. При этом про­

странственная область D называется объемно-односвязной, если любая замкнутая, кусочно-гладкая, несамопересекающаяся ори­ ентируемая поверхность, расположенная в D, является границей области, также расположенной в D.

Теорема 1.10. Длл того "lтоБыl 1-tеnрерыl1-tоo диффере1-tциру­

емое ве'Х:торное поле р было соле1-tоидалъ1-tыlM в обоем1-tо-од1-tо­

свЛ31-tоu области D, 1-tеобходимо и Jocmamo"l1-to, "lтоБыl во всех mO"l'X:ax D выnл1-tллосъъ равенство

divp = о.

Доказательство. 1) Необходимостъ. Пусть М-про­ извольная точка области D. Рассмотрим любую сферу S с цен­

тром в М, целиком расположенную в D. Применяя к шару Ds

Так как поле р является соленоидальным, то JJ npda = о, и

S

поэтому, согласно (7.42), JJJ divpdv = о. Применяя к последне-

Ds

му интегралу теорему о среднем, мы убедимся, что внекоторой точке шара Ds div р = о. в силу произвольности этого шара и непрерывности поля р отсюда следует обращение в нуль div р в точке М. Таким образом, необходимость условий теоремы дока­

зана.

2) ДостатО"l1-tостъ. Пусть S - любая замкнутая, кусочно­

гладкая, несамопересекающаяся, ориентируемая поверхность,

расположенная в D. Так как D - объемно односвязная область,

то S является границей области D s, также расположенной в D. Применяя к Ds и векторному полю р формулу Остроградско­

го (7.33), получим соотношение (7.42), из которого и из условия div р = О следует соотношение

JJnpda = о.

s

Так как S - произвольная замкнутая, кусочно-гладкая, несамо­

пересекающаяся, ориентируемая поверхность, расположенная

в D, то последнее равенство, согласно определению, означает соленоидальность поля р в D. Теорема доказана.

ДОПОЛНЕНИЕ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В ЕВКЛИДОВ ОМ ПРОСТРАНСТВЕ

§1. Знакопеременные полилинейные формы

1.Линейные формы. Пусть V -произвольное n-мерное векторное пространство, элементы которого будем обозначать символами ~, 'Г/, ...

Предметом нашего изучения будут функции, сопоставляющие каждому эле­

менту ~ Е V некоторое вещественное число.

Определение 1. Фу'Нnu,uя, a(~) 'Называется, л U 'н е U 'н О U фор М О й, еслu для, любых ~ Е V, 'г/ Е V U любого веществе'Н'Ного 'Чuсла л выnол'Ня,ются,

раве'Нства

1)a(~ + 'Г/) = a(~) + а('Г/),

2)а(Ч) = Ла(~).

Определение 2. СУММОй двух лu'Неu'Ных фОРМ а U Ь 'Назовем лu'Неu­ 'Ную форму С, nоторая, nаж;дому веnтору ~ Е V соnоставля,ет 'Чuсло

c(~) = a(~) + b(~).

Проuзведе'Нuем лu'Неu'Ноu фОРМЫ а 'На веществе'Н'Ное 'Чuсло л 'Назовем лu'Неu'Ную форму Ь, nоторая, nаж;дому веnтору ~ Е V соnоставля,ет 'Чuсло

b(~) = ЛаШ.

Таким образом, множество всех линейных форм образует векторное

пространство, которое мы обозначим символом L(V) 1). Найдем представ­

ление линейной формы а в каком-либо базисе {ei}i=l. Пусть

n

i=l

где числа ~i определяются однозначно. Если обозначить ai = a(ei), то ис­

комое представление будет иметь вид

i=l

Докажем, что размерность dim L(V) линейного пространства L(V) рав­ на n. Для этого достаточно указать какой-либо базис в L(V), содержащий

точно n элементов, т. е. n линейных форм. Фиксируем произвольный базис

{ek} пространства V и рассмотрим следующие линейные формы:

еkШ = ~k (k = 1,2, ... , n),

где {е} - коэффициенты разложения вектора ~ по элементам базиса {ek}.

Иначе говоря, линейная форма e k действует на элементы базиса {ei} по

правилу

в таком случае в данном базисе {ei} линейная форма а имеет вид

1) Пространство L(V) обозначают также символом V* и называют соnря,­

ж;е'Н'Ным (или дуал'Ь'Ным) к V.