Ilin_Poznyak_-_Matanaliz

§ 1 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БАЗИСОВ И КООРДИНАт. ИНВАРИАНТЫ 151

3 а м е ч а н и е 3. Все рассуждения этого пункта относились

к случаю трехмерного пространства. В двумерном случае бук­

венные индексы принимают значения 1 и 2.

Получим явное выражение ковариантных и контравариант­ ных координат вектора. Для этого умножим скалярно первое из

равенств (6.4) на rk, а второе на r k. Учитывая затем соотноше­

ния (6.1), найдем

С помощью соотношений (6.5) запишем формулы (6.4) в сле­

дующем виде:

(6.6)

Соотношения (6.6) называются формулами Гиббса 1) . Обратим­

ся еще раз к вопросу о построении взаимных базисов.

С помощью формул (6.6) получим

С помощью этих обозначений перепишем соотношения (6.7) сле­

дующим образом:

точно знать матрицу (gki). Докажем, что эти матрицы взаимно обратны. Для доказательства умножим первое из равенств (6.9) скалярно на rj. Учитывая соотношения (6.1), получим

Эти соотношения показывают, что матрицы (gki) и (gki) вза­

имно обратны. Так как элементы обратной матрицы могут быть

вычислены через элементы данной матрицы, то ясно, что с помо­

щью соотношений (6.9) решается вопрос о построении взаимных

базисов.

1) Д. У. Гиббс - американский физик-теоретик (1839-1903).

Так как преобразования (6.10) взаимно обратны, то матрицы

(b~,) и (b~') взаимно обратны. По аналогичным соображениям

взаимно обратны и матрицы (ь~') и a;~,).

Докажем, что матрицы (b~,) и a;~,) совпадают. Тем самым бу­

дет доказано совпадение матриц (b~') и (r{). Для доказательства

умножим скалярно первое из равенств (6.10) на r k , а второе из

равенств (6.11) на rk'. Учитывая затем соотношения (6.1), най­

дем

Поскольку правые части соотношений (6.12) и (6.13) равны, то

равны и левые. Иными~словами, b~, = b~" а это и означает сов­ падение матриц (b~,) и (b~,). Отметим, что элементы b~, матрицы (b~,) могут быть вычислены по формулам (6.12).

Мы можем теперь утверждать, что для перехода от базиса ri,

r i к базису ri', r i' достаточно знать лишь матрицу (b~,) перехода от базиса ri к базису ri' (матрица (Ь{) вычисляется по матрице

(b~,)).

Приведем полную сводку формул преобразований базисных

§ 1 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БАЗИСОВ И КООРДИНАт. ИНВАРИАНТЫ 153

Перейдем к выводу формул преобразования координат век­ тора при переходе к новому базису.

Пусть Xi' - ковариантные координаты х в базисе ri', r i'. То­

гда, согласно (6.5), имеем

Подставляя в правую часть этого соотношения выражение для ri' из формул (6.14), найдем

Итак, формулы преобразования ковариантных координат век­ тора при переходе к новому базису имеют вид

(6.14')

Мы видим, что при переходе к новому базису ковариантные ко­

ординаты вектора х преобразуются с помощью матрицы (b~,)

прямого перехода от старого базиса к новому. Это согласование

преобразований и объясняет наименование «ковариантные 1)

координаты вектора». Подставляя в правую часть соотношения

x i' = xri' выражение для r i' из (6.14), получим после преобра­

зований следующие формулы:

(6.15)

Мы видим, что при переходе к новому базису контравариантные

координаты вектора х преобразуются с помощью матрицы (b~')

обратного перехода от нового базиса к старому. Это несогласова­

ние преобразований и объясняет термин «контравариантные 2)

координаты вектора».

3. Инварианты линейного оператора. Дивергенция и ротор линейного оператора. Мы будем называть U1-tварuш/-t­ mами выражения, не зависящие от выбора базиса. Например, значение скалярной функции в данной точке представляет со­ бой инвариант. Инвариантом является вектор-объект, не завися­

щий от выбора базиса. Скалярное произведение векторов также

представляет собой инвариант.

В этом пункте мы познакомимся с некоторыми инвариан­

тами линейного оператора. Пусть А - произвольный линейный

оператор, определенный на векторах трехмерного евклидова про­

странства (т. е. А(ах + (зу) = аАх + (ЗАу для любых векторов

1)Ковариантный - согласованно изменяющиЙся.

2)Контравариантный- ПРОТИВОПОЛОЖНО изменяющиЙся.

х и у и любых вещественных чисел СУ и (3). Докажем, что выра-

жение

(6.16)

представляет собой инвариант.

., Нам нужно доказать, что при переходе к другому базису ri', r Z будет справедливо равенство

Пусть r i', r i' - новый базис и (b~,) - матрица перехода от базиса ri, r i к базису ri', r i'. Имеем

ri = b~'ri', r i = b~,rk'.

Подставляя эти значения для ri и r i в выражение r iAri получим

Итак, равенство (6.17) доказано, а следовательно, доказана и

инвариантность выражения riAri.

Инвариант r iAri линейного оператора А мы будем назы­

вать диверге'Н'Циеu этого оператора и будем обозначать симво­ лом div А. Таким образом,

(6.19)

3 а м е ч а н и е. В данном базисе ri, r i линейный оператор

может быть задан с помощью матрицы, называемой матрицей

линейного оператора. Эта матрица представляет собой матри-

цу коэффициентов af разложения векторов Ari по базису rk

(можно, конечно, рассматривать матрицу коэффициентов раз­

ложения векторов Ari по базису r k):

Дивергенция матрицы А может быть выражена через элементы

матрицы (af). Именно

(6.21 )

1) в справедливости равенства r i Ari = riAri можно убедиться следую­

щим образом. Имеем, согласно (6.9), r i = gik rk , ri = gilrl. Поэтому, учиты­ вая, что матрицы (gik) и (gil) взаимно обратны и симметричны, получим

тор р(М), то говорят, 'Что в области s1 задшно веnтор'Ное поле.

Мы будем использовать терминологию: веnтор'Ное поле задает­

ся с помощью веnтор'Ной фу'Нn'Ции р(М) .

Поле температур внутри нагретого тела, поле плотности мас­ сы - примеры скалярных полей. Поле скоростей установившего­

ся потока жидкости, поле магнитной напряженности - примеры векторных полей.

2. Дифференцируемые скалярные поля. Градиент

скалярного поля. Производная по направлению. Мы уже

отметили, что понятия скалярного поля и(М) в области s1 и

функции, заданной в этой области, совпадают. Поэтому мы мо­ жем определить дифференцируемость скалярного поля как диф­ ференцируемость функции, задающей это поле. Для удобства мы сформулируем понятие дифференцируемости поля, исполь­ зуя терминологию, несколько отличную от обычной.

Будем называть линейной формой Ль"Т) относи­

тельно вектора Ь..Т скалярное произведение этого вектора на некоторый, не зависящий от Ь..Т вектор g. Будем также исполь­ зовать обозначения:

р= р(М, М') -расстояние между точками М и М',

--,

ММсоединяющий точки М и М',Ь..Т = -вектор,

ь..и = и(М') - и(М) - приращение поля в точке М.

Сформулируем следующее оnределе'Ние.

Оnределенuе 1. Сnаляр'Ное поле и(М) 'Называется д и ф­

Ф е р е 'н 'Ц и р у е м ы м в то'Чnе М области S1, если nрираще'Ние поля ь..и в то'Чnе М может быть nредставле'Но в следующей форме:

где Ль"Т) представляет собой ли'Ней'Ную форму от'Носитель'Но

веnтора ь"Т.

Соотношение (6.30) мы будем называть условием диффере'Н­ 'Цируемости поля и(М) в точке М.

3 а м е ч а н и е 1. Так как линейная форма Ль"Т) представ­

ляет собой скалярное произведение g. ь..r , где g - не зависящий

от Ь..Т вектор, то условие (6.30) дифференцируемости скаляр­ ного поля и(М) в точке М может быть записано в следующем

виде:

Докажем, что если скалярное поле и(М) дифференцируемо в точке М, то представление (6.30) (или (6.31)) для приращения

ь..и этого поля в точке М единственно. Пусть

(6.32)

Докажем это утверждение. Пусть е - любое фиксированное

направление и пусть точка М' берется так, что вектор 6.т =

--,

= ММ коллинеарен е. Ясно, что 6.т = ре. Подставляя значение

6.т в соотношение (6.34), найдем

6.и = (grad u . е)р + о(р).

рр

Из соотношений (6.39) и (6.41) вытекает формула (6.40). Ут­

верждение доказано.

Найдем выражение градиента дифференцируемого скалярного поля, считая, что в пространстве выбран ортонормированный базис i, j, k, с которым связана декартова прямоугольная система координат Oxyz.

Так как gradu = i(gradu·i)+j(gradu·j)+

с помощью выражения (6.40) для производной по направ­

лению получаем следующую наглядную картину распределения

значений производных по направлению поля и(М) в плоской области n в данной точке М. Пусть grad u i- о (если grad u = О,

то из (6.40) вытекает, что дu = О для любого е). На векторе

де

grad u как диаметре (рис. 6.1) построим окружность С. Постро­

им также окружность С* , равную С и касающуюся ее в точке М.

Пусть е - произвольное направление. Проведем через М полу­

прямую по направлению вектора е. Если эта полупрямая касает-

ся окружностей С и С*, то дu = О (вектор е ортогонален grad и).

де

Если же эта полупрямая пересекает С или С* в точке N, то -дu

де

равно длине MN, взятой со знаком +, когда N лежит на С, и со знаком -, когда N лежит на С*. ДЛЯ поля в пространстве окружности С и С* должны быть заменены сферами.

3.Дифференцируемые векторные поля. Дивергенция

иротор векторного поля. Производная векторного поля

по направлению. Пусть в области n трехмерного евклидона

пространства задано векторное поле р(М). В дальнейшем будем

--,

использовать обозначения: 6.т = ММ , 6.р = р(М') - р(М).