Ilin_Poznyak_-_Matanaliz

§ 2 ПОЧЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 31

граничной точкой сегмента [а, Ь] под д-окрестностью точки Ха мы будем подразумевать правую полуокрестность [а, а +д) точ­ ки а или соответственно левую полуокрестность (Ь - д, Ь] точки Ь).

Обозначим символом {,6,Х} множество всех чисел ,6,х, удов­ летворяющих условию О < l,6,xl < д при а < Ха < Ь, условию О < ,6,х < д при Ха = а и условию -д < ,6,х < О при Ха = Ь, и

докажем, что последовательность функций аргумента ,6,х

( Л ) _ fn(xo+~x)-fn(xo)

'Рn tiX - "'--"'----~----'"x--'---'--..:..

сходится равномерно на указанном множестве {,6,Х}.

ДЛЯ произвольного Е > О В силу равномерной сходимости

и~(X)} найдется номер N(E) такой, что

(1.31)

для всех Х из [а, Ь], всех n ~ N(E) и всех натуральных р. Заметив это, фиксируем произвольное ,6,х из множества {,6,Х}

и применим к функции [jn+p(t)- fn(t)] (при любых фиксирован­

ных пир) на сегменте [ха, Ха + ,6,Х] теорему Лагранжа. По этой

теореме найдется число () из интервала О < () < 1 такое, что

'Рn+р(,6,Х) - 'Рn(,6,Х) =

[fn+p(xo + ~x) - fn(xo + ~x)] - [fn+p(XO) - fn(xo)]

~x

= f~+p(xa + (),6,Х) - f~(xa + (),6,х).

Из последнего равенства и из неравенства (1.31), справедли­ вого для в с е х точек х сегмента [а, Ь], получим, что

I'Рn+р(,6,х) - 'Рn (,6,х)I < Е

для любого ,6,х из {,6,х}, любого n ~ N (Е) И любого натураль­ ного р. Таким образом, последовательность {'Рn (,6,х)} сходится равномерно на множестве {,6,х} (в силу критерия Коши). Но это

позволяет применить к указанной последовательности в точке

,6,х = О теорему 1.6 о почленном предельном переходе. Соглас-

но теореме 1.6 1) функция

f(xo + ~x) - f(xo)

~x

являющаяся предельной функцией последовательности {'Рn (,6,х)},

1) Используется формулировка теоремы 1.6 в терминах функциональных

последовательностей.

=lim [lim <pn(~x)] = lim [ lim <pn(~x)]

Это и доказывает, что производная функции f (х) в точке хо

существует и равна lim f~(х). Теорема доказана.

n-+оо

Приведем формулировку теоремы 1.9 в терминах функцио­

нальных рядов.

Еслu nажда.я. фу'Нn'Цu.я. Uk (х) имеет nроuзвод'Ную 'На сегме'Н-

00

те [а, Ь] U еслu р.я.д uз nроuзвод'Ных 2: и~(x) сходuтс.я. рав'Но­ k=l

рав'Номер'Но 'На всем сегме'Нте [а, Ь] n 'Неnоторой сумме S(x), nрu'Ч.ем этот р.я.д мож'Но дuффере'Н'Цuроватъ 'На сегме'Нте [а, Ь]

по 'Ч. Л е 'Н 'Н о, т. е. его сумма S(x) имеет 'На сегме'Нте [а, Ь]

00

nроuзвод'Ную, .я.вл.я.ющуюс.я. суммой р.я.да uз nроuзвод'Ных 2: и~ (х) . k=l

3 а м е ч а н и е 1. Подчеркнем, что в теореме 1.9 предпола­

гается лишь существование на сегменте [а, Ь] производной у каж­ дой функции fn(x). Ни ограниченность, ни тем более интегри­

руемость или непрерывность этой производной не требуется. Обычно в курсах математического анализа теорема 1.9 дока­

зывается при дополнительном предположении о непрерывности

каждой производной f~(x) на сегменте [а, Ь].

3 а м е ч а н и е 2. Если в теореме 1.9 дополнительно потребо­

вать непрерывности на сегменте [а, Ь] каждой производной f~(x), то в силу теоремы 1.7 производная предельной функции f(x) бу­ дет также непрерывна на сегменте [а, Ь].

3 а м е ч а н и е 3. Для случая функций m переменных тео­ рема 1.9 принимает следующий вид: если каждая функция fn(x) = fn(Xl, ... , хт) имеет на ограниченном множестве {х}

точек Ет частную производную afn и если последовательность

aXk

{ дf n } сходится равномерно на {х}, а сама последовательность

aXk

§ 2 ПОЧЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 33

{!n (х)} сходится в каждой точке множества {х}, то последова­

тельность {fn(x)} можно дифференцировать по переменной Xk на множестве {х} почленно.

Из теоремы 1.9 вытекает следующее утверждение.

Теорема 1.10. Если 'Кажда-я фу'Н'К'Ци-я f n (х) имеет nерво­ образ'Ную 'На сегме'Нте [а, Ь] и если nоследователь'Ность {fn(x)} сходитс-я рав'Номер'Но 'На сегме'Нте [а, Ь] 'к nредель'Ной фу'Н'К'Ции f( х), то и nредель'На-я фу'Н'К'Ци-я f (х) имеет nервообраз'Ную 'На сегме'Нте [а, Ь]. Более того, если хо -люба-я то'Ч'Ка [а, Ь] , то nоследователь'Ность nервообраз'Ных фn(х) фу'Н'К'Ций fn(x), удо­ влетвор-яющих условию Фn(хо) = о, сходитс-я рав'Номер'Но 'На сегме'Нте [а, Ь] 'к nервообраз'Ной Ф(х) nредель'Ной фу'Н'К'Ции f(x),

удовлетвор-яющей условию Ф(хо) = о.

Доказательство. Достаточно заметить, что для по-

следовательности первообразных фn(х), удовлетворяющих усло­ вию Фn(хо) = О выполнены все условия теоремы 1.9. Это обес­ печивает равномерную на [а, Ь] сходимость последовательности {Фn(Х)} К предельной функции Ф(х), у которой в каждой точке [а, Ь] существует производная, равная предельной функции f(x)

последовательности {fn(x)}.

3 а м е ч а н и е 4. Подчеркнем, что в теореме 1.10 не тре­ буется ни ограниченности, ни тем более интегрируемости функ­

ций fn(x) на сегменте [а, Ь].

Материал последних трех пунктов позволяет сделать следую­

щий в а ж н ы й в ы в о д: рав'Номер'На-я сходимость 'Не выводит

из 'Класса фу'Н'К'Ций, имеющих nредель'Ное з'На'Че'Ние (теорема 1.6)

из 'Класса HenpepblBHblX фу'Н'К'Ций (теорема 1.7), из 'Класса и'Нтег­

рируемых фу'Н'К'Ций (теорема 1.8), из 'Класса фу'Н'К'Ций, имеющих nервообраз'Ную (теорема 1.10) и (в слу'Чае рав'Номер'Ной сходимо­ сти nроизвод'Ных) из 'Класса диффере'Н'Цируемых фу'Н'К'Ций (тео­

рема 1.9).

в заключение этого пункта приведем основанный на теореме 1.9 пример

функции / (х), производная /' (х) которой существует всюду на сегменте

[О, 1], но является разрывной в каждой рациональной точке этого сегмента.

Пусть

так что функция

является разрывной при х = О и непрерывной во всех остальных точках.

Занумеруем все рациональные точки сегмента [О, 1] в последовательность Хl, Х2, ... , Xk, ... (возможность этого доказана в п. 3 § 4 гл. 3 вып. 1) и

2 В. А. Ильин и э. г. Позняк, часть II

§ 2 ПОЧЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 35

т. е. последовательность {!n (х)} сходится к f (х) на сегменте

[а, Ь] в среднем.

Убедимся теперь в том, что сходимость последовательно­ сти на не'Х:отором сегменте в среднем не вле'Чет за собой не толь'Х:о равномерной на этом сегменте сходимости, но и схо­

димости хот,я бы в одной то'Ч'Х:е у'Х:азанного сегмента. Рассмотрим последовательность сегментов 11, 12, ... , при­

надлежащих [О, 1] и имеющих следующий вид:

Определим n-й член последовательности следующим обра­

зом:

1 на сегменте 1n ,

fn(x) = { О в остальных точках [О, 1].

Построенная нами последовательность сходитс,я в среднем

'Х: фУН'Х:'ЦИИ ЛХ) == О на сегменте [О, 1].

В самом деле,

Вместе с тем построенная нами последовательность не схо­

дитс,я ни в одной то'Ч'Х:е сегмента [О, 1].

2*

этого д найдется номер по такой, что на любом принадлежа­

щем [а, Ь] сегменте длины д лежит хотя бы один из элементов

Х1, Х2, ... ,хnо 1).

Приступим теперь к выделению из последовательности {!n(х)} равномерно на сегменте [а, Ь] сходящейся подпоследовательности.

Рис. 1.3

Сначала рассмотрим последовательность {!n(х)} в точке Х1. По­ лучим огра'Нu'Ч.е'Н'Ную числовую последовательность {!n (Х1)}, из

которой на основании теоремы Больцано-Вейерштрасса (см. вып. 1, гл. 3, § 4) можно выделить сходящуюся подпоследова­

тельность, которую мы обозначим так:

!11(Х1), !12(Х1), ... , !ln(Х1), ...

Далее рассмотрим функциональную последовательность

в точке Х2. ПО теореме Больцано-Вейерштрасса из нее можно

выделить сходящуюся подпоследовательность, которую мы обо­

значим так:

Таким образом, функциональная последовательность

(1.34)

является сходящейся и в точке Х1, и в точке Х2.

Далее рассматриваем функциональную последовательность

(1.34) в точке Хз и выделяем из нее сходящуюся подпоследова­

тельность

Продолжая аналогичные рассуждения, мы получим беско-

нечное множество подпоследовательностей

1) Про последовательность, обладающую таким свойством, говорят, что

она является в с ю Д у п л о т н о й на сегменте [а, Ь].

причем подпоследовательность, стоящая в n-й строке, является сходящейся в каждой из точек Хl, Х2, ... , Хn .

Рассмотрим теперь так называемую «диагональную» после­

довательность

Докажем, что эта последовательность равномерно сходит­

с.я. на сегменте [а, Ь].

Ради сокращения записи будем в дальнейшем обозначать эту

диагональную последовательность (как и исходную последова­ тельность) символом

Л(Х), f2(X), ... , fn(x), ...

(т. е. вместо сдвоенного индекса будем писать одинарный). Фик­

сируем произвольное Е> о.

Так как диагональная последовательность является равно­

степенно непрерывной на сегменте [а, Ь], то для фиксированного

Е > О найдется д > О такое, что, каковы бы ни были две точки

х и хт из сегмента [а, Ь], связанные неравенством Ix - xml < д,

для всех номеров n справедливо неравенство

(1.35)

Заметив это, разобьем сегмент [а, Ь] на конечное число отрезков длины, меньшей д. Из последовательности {хn} выберем конеч­

ное число по первых членов Хl, Х2, ... , хnо настолько большое, чтобы в паждом из уnом.я.нутых отрезnов содержалась хот.я. бы одна из то'Ч.еn Хl, Х2, ... , хnо .

Очевидно, диагональная последовательность сходится в каж­ дой из точек Хl, Х2, ... , хnо . Поэтому для фиксированного выше

Е > О найдется номер N такой, что

(1.36)

для всех n ? N, всех натуральных р и всех m = 1, 2, ... , по.

Пусть теперь х-произвольная точка сегмента [а, Ь].

Эта точка обязательно лежит в одном из упомянутых выше от­ резков длины, меньшей д. Поэтому для этой точки х найдется

хоть одна точка хт (т - один из номеров, равных 1, 2, ... , по), удовлетворяющая условию Ix - xml < д.

В силу того, что модуль суммы трех величин не превосходит

суммы их модулей, можем записать

Ifn+p(x) - fn(x)1 ~ Ifn+p(x) - fn+p(x m)I +

+ Ifn+p(x m) - fn(xm)1 + Ifn+p(xm) - fn(x)l. (1.37)

Второй член в правой части (1.37) оценим с помощью нера­ венства (1.36), а для оценки первого и третьего членов в правой