Ilin_Poznyak_-_Matanaliz
.pdf§ 4 |
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ |
41 |
что для всех номеров n справедливо неравенство |
|
|
|
If~(~n)1 :::; А. |
(1.39) |
|
Вставляя (1.39) в (1.38), получим |
|
|
Ifn(x') - fn(x") I :::; Alx' - x"l· |
(1.40) |
Фиксируем любое [ > о. Тогда, если взять 6 = [/А и привлечь (1.40), то мы получим, что для всех номеров n и для всех х' и
х" из [а, Ь], связанных условием Ix'- x"l < 6, будет справедливо
неравенство
Ifn(x') - fn(x") I < [.
Равностепенная непрерывность последовательности {!n (х)} до
казана.
sin nх} |
. Эта по- |
В качестве примера рассмотрим последовательность { - n - |
следовательность равностепенно непрерывна на любом сегменте [а, Ь], ибо на любом сегменте [а, Ь] последовательность из производных {cos nх} рав
номерно ограничена.
З а м е ч а н и е 4. Понятие равностепенной непрерывности
можно формулировать не только по отношению к сегменту [а, Ь],
но и по отношению к интервалу, полусегменту, полупрямой, бес конечной прямой и вообще по отношению к любому плотному в
себе множеству 1). Кроме того, это понятие можно вводить не
но отношению к последовательности функций, а по отношению
клюбому бесконечному множеству функций.
§4. Степенные ряды
1.Степенной ряд и область его сходимости. С т е п е н н ы М р Я Д О М называется функциональный ряд вида
(х) |
= ао + аlХ + а2Х |
|
+ ... + аnх |
|
+ ... , (1.41) |
ао + ~ akx |
2 |
n |
|||
'" k |
|
|
|
k=l
где ао, аl, а2, ... , аn , ... - постоянные вещественные числа, на
зываемые коэффициентами ряда (1.41). Постараемся
выяснить, как устроена областъ сходимости любого степенного
ряда.
Заметим, что всяк;иu cmene1-t'l-tQu ряд сходится в то'Ч,к;е х =
= о, причем существуют степенные ряды, сходящиеся только в
этой точке (например, ряд ~ k! . x k ) .
k=l
1) При этом теорема Арцела остается справедливой, если в ее формулиров
ке заменить сегмент [а, Ь] любым ограниченным замкнутым множеством.
42 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ |
ГЛ. 1 |
|
Составим с помощью коэффициентов аn ряда (1.41) следую |
||
щую числовую последовательность: |
|
|
{ \!Ianl} |
(n = 1, 2, ... ). |
(1.42) |
Могут представиться два случая: 1) последовательность (1.42) является н.еограН,u'ч.ен.н.оU; 2) последовательность (1.42) яв
ляется огран.И"l.ен.н.оU.
В случае 2) у последовательности (1.42) существует KOHe"l.- н.Ъtй. верхн.иU предел (см. вып. 1, гл. 3, § 4, п. 3), который мы обо
значим через L. Подчеркнем, что указанный верхний предел L
заведомо н.еотри'И,ателен. (ибо все элементы последовательно сти (1.42) неотрицательны, а стало быть, и любая предельная точка этой последовательности неотрицательна).
Подводя итог, мы приходим К выводу, что могут предста
виться следующие три случая: 1) последовательность (1.42) яв ляется неограниченной; П) последовательность (1.42) является ограниченной и имеет конечный верхний предел L > О; III) по следовательность (1.42) является ограниченной и имеет верхний
предел L = о.
Докажем теперь следующее замечательное утверждение.
Теоре,м,а 1.13 (Кошu-Ада,м,ара).
1. Если nоследовательн.ость (1.42) н.е огран.И"l.ен.а, то сте nен.н.ой. ряд (1.41) сходится лишь при х = о.
п. Если nоследовательн.ость (1.42) огран.И"l.ен.а и и.м.еет верхн.иU предел L > О, то ряд (1.41) абсолютн.о сходится для
зн.а"l.ен.иU х, удовлетворяющих н.еравен.ству Ixl < 1/L, и расхо
дится для зн.а"l.ен.иU х, удовлетворяющих н.еравен.ству х > 1/L. III. Если nоследовательн.ость (1.42) огран.И"l.ен.а и ее верх н.иu предел L = О, то ряд (1.41) абсолютн.о сходится для всех
зн.а"l.ен.иU х.
До к аз ател ь с тв о.
1.Пусть последовательность (1.42) не ограничена. Тогда при
х# О последовательность
также не ограничена, т. е. у этой последовательности имеются
члены со сколь угодн.о больши.м.и н.о.м.ера.м.и n, удовлетворяющие
неравенству
\!Ianxnl > 1 или lanxnl > 1.
Но это означает, что для ряда (1.41) (при х # О ) |
нарушено |
необходимое условие сходимости (см. вып. 1, гл. 13, |
§ 1, п. 2), |
т. е ряд (1.41) расходится при х # О . |
|
§ 4 |
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ |
43 |
|
п. Пусть последовательность (1.42) ограничена и ее верхний |
|
предел L > о. Докажем, что ряд (1.41) абсолютно сходится при |
||
Ixl |
< 1/L и расходится при Ixl > 1/L. |
|
|
а) Фиксируем сначала любое х, удовлетворяющее неравен |
|
ству Ixl < 1/L. Тогда найдется Е > О такое, |
что Ixl < l/(L + Е). |
|
В силу свойств верхнего предела все элементы \IГaJ, начиная
с некоторого номера n, удовлетворяют неравенству
\!Ianl < L + ~.
2
Таким образом, начиная с указанного номера n, справедливо
неравенство
L+~
\!Ianxnl = Ixl \IГaJ < - L2 < 1,
+Е
т. е. ряд (1.41) абсолютно сходится по признаку Коши (см. вып. 1,
гл. 13, § 2, п. 3).
б) Фиксируем теперь любое х, удовлетворяющее неравенству
Ixl > l/L.
Тогда найдется Е > О такое, что Ixl > l/(L - Е). ПО опре делению верхнего предела из последовательности (1.42) можно
выделить подпоследовательность {nVlankl} (k = 1, 2, ... ), схо
дящуюся к L.
Но это означает, что, начиная с некоторого номера k, спра
ведливо неравенство
L - Е < nyliank I < L + Е.
Таким образом, начиная с указанного номера k, справедливо
неравенство
или
lankxnk I > 1,
т. е. нарушено необходимое условие сходимости ряда (1.41), и
этот ряд расходится.
ПI. Пусть последовательность (1.42) предел L = о. Докажем, что ряд (1.41)
любом х.
ограничена и ее верхний абсолютно сходится при
Фиксируем произвольное х # о (при х = О ряд (1.41) заве домо абсолютно сходится). Поскольку верхний предел L = О и последовательность (1.42) не может иметь отрицательных пре
дельных точек, число L = О является едШ-lсmве1-t1-tоu предельной
44 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ |
ГЛ. 1 |
точкой, а стало быть, является пределом этой последовательно
сти, т. е. последовательность (1.42) является бесконечно малой. Но тогда для положительного числа 1j(2Ixl) найдется номер,
начиная с которого
\!Ianl < _1 .
21xl
Стало быть, начиная с указанного номера,
\!Ianxnl = Ixl \IIaJ < ~ < 1,
2
т. е. ряд (1.41) абсолютно сходится по признаку Коши (см. вып. 1, гл. 13, § 2, п. 3). Теорема полностью доказана.
Доказанная теорема непосредственно приводит к следующе
му фундаментальному утверждению.
Теоре,м,а 1.14. Для к;аждого степенного ряда (1.41), если
он не является рядом, сходящимся лиш'Ь в то'Чк;е х = О, суще
ствует nоложител'Ьное 'Число R (возможно, равное беск;оне'Ч ности) так;ое, 'Что этот ряд абсолютно сходится при Ixl < R
и расходится при Ixl > R.
Это число R называется радиусом сходимости |
рас |
||
сматриваемого степенного ряда, а интервал (- R, R) называется |
|||
промежутком сходимости |
этого ряда. Для вычисления |
||
радиуса сходимости справедлива формула |
|
||
|
R = |
1 |
(1.43) |
|
lim |
Y/lanl |
|
|
n-+оо |
|
|
(В случае, когда lim |
\!Ianl = О, |
R = (0). |
|
n-+оо |
|
|
|
3 а м е ч а н и е 1. |
На концах промежутка сходимости, т. е. |
||
в точках х = - R и х = |
R, степенной ряд может быть как сходя |
||
щимся, так и расходящимся 1).
00
Так для ряда 1 + L x k радиус сходимости R равен единице,
k=l
промежуток сходимости имеет вид (-1, 1) и этот ряд расходится
на концах указанного промежутка.
00 k
Для ряда L х2 промежуток сходимости тот же (-1, 1), но
k=l k
этот последний ряд сходится на обоих концах указанного про
межутка.
1) Отметим следующую т е о р е м у А б е л я: если степенной ряд (1.41)
сходится при х = R, то сумма его S(x) является непрерывной в тО'Ч,1{;е R
слева. Без ограничения общности можно считать, что R = 1, но в таком
виде теорема Абеля (фактически утверждающая регулярность метода сум мирования Пуассона-Абеля) доказана в дополнении 3 к гл. 13 ВЫП. 1.
§ 4 |
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ |
45 |
3 а м е ч а н и е |
2. Все результаты настоящего пункта |
спра |
ведливы для ряда (1.41), в котором вещественная переменная х
заменена комплексной переменной z.
Для такого ряда устанавливается существование положитель
ного числа R такого, что ряд абсолютно сходится при Izl < R и
расходится при Izl > R.
ДЛЯ вычисления R справедлива формула (1.43). Число R
называется |
радиусом |
сходимости, а область Izl < R- |
к р у г о м |
с х о Д и м о с т и |
указанного степенного ряда. |
2. Непрерывность суммы степенного ряда. Пусть сте
пенной ряд (1.41) имеет радиус сходимости R> о.
Лемма 2. Кшх;ово бы 'Ни было nоложителъ'Ное 'Число r, удо
влетворяющее условию r < R, ряд (1.41) рав'Номер'Но сходится
'На сегме'Нте [-r, r], т. е. при Ixl :::;; r.
Доказательство. В силу теоремы 1.14 ряд (1.41) абсо
лютно сходится при х = r, т. е. сходится ряд
00
laol + L lakl rk .
k=l
Но последний числовой ряд служит мажорантным для ряда (1.41) при всех х из сегмента [-r, r]. На основании признака Вей ерштрасса ряд (1.41) сходится равномерно на сегменте [-r, r].
Лемма доказана.
С.ледсmвuе. В условиях леммы 2 сумма ряда (1.41) явля ется фу'Нк'Циеi1, 'Неnрерыв'Нои 'На сегме'Нте [-r, r] (в силу теоре мы
Теорема 1.15. Сумма стеnе'Н'Ного ряда в'Нутри его проме жутка сходимости является 'Неnрерыв'Нои фу'Нк'Циеi1.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть В(х) - сумма степенного ряда (1.41), а R - его радиус сходимости. Фиксируем любое х внутри
промежутка сходимости, т. е. такое, что Ixl < R. Всегда найдется число r такое, что Ixl < r < R. В силу следствия из леммы 2
функция В(х) непрерывна на сегменте [-r, r]. Стало быть, В(х)
непрерывна и в точке х. Теорема доказана.
3. Почленное интегрирование и почленное дифферен
цирование степенного ряда.
Теорема 1.16. Если R > О - радиус сходимости стеnе'Н'Но
го ряда (1.41), а х удовлетворяет условию Ixl < R, то ряд (1.41) МОЖ'НО nо'Чле'Н'Но и'Нтегрироватъ 'На сегме'Нте [о, х]. Полу'Че'Н
'Ныи в резулътате nо'Чле'Н'Ного и'Нтегрирова'Ния ряд имеет тот же радиус сходимости R, 'Что и исход'Ныи ряд.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для любого х, удовлетворяющего ус
ловию Ixl < R, найдется r такое, что Ixl < r < R. Согласно
46 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ |
ГЛ. 1 |
лемме 2 ряд (1.41) сходится равномерно на сегменте [-r, r], а стало быть, и на сегменте [О, х]. Но тогда в силу теоремы 1.8 этот ряд можно почленно интегрировать на сегменте [О, х].
В результате почленного интегрирования получится степен
ной ряд
al 2 |
an - l |
n |
+ ... , |
аох + -х |
+ ... + --х |
|
|
2 |
n |
|
|
радиус сходимости которого, согласно теореме 1.14, является ве личиной, обратной верхнему пределу последовательности,
vlan-ll = |
~ |
(1.44) |
n |
'\Гn. |
|
Так как верхний предел последовательности (1.44) тот же, что
и у (1.42) 1), то теорема доказана.
Теоре,м,а 1.17. Степенной ряд (1.41) внутри его nро.м.е
JlCymKa сходи.м.ости MOJICHO дифференцировать nо'Ч.ленно. Ряд, nолу'Ч.енныЙ nо'Ч.ленны.м. дифференцирование.м., и.м.еет тот JlCe радиус сходи.м.ости R, 'Ч.то и исходный ряд.
Доказательство. Достаточно (в силу теоремы 1.9илем мы 2) доказать лишь второе утверждение теоремы.
В результате почленного дифференцирования (1.41) полу
чим ряд
al + 2 . а2 . х + ... + n· аn . x n- 1 + (n + 1) . an+l . хn + ... ,
радиус сходимости R которого (согласно теореме 1.14) обратен
верхнему пределу последовательности
(1.45)
Так как последовательность (1.45) имеет тот же верхний предел,
что и (1.42) 2), то теорема доказана.
Следствие. Степенной ряд внутри его npoMeJlCymKa сходи
.м.ости MOJICHO дифференцировать nо'Ч.ленно СКОЛЬКО угодно раз. Ряд, nолу'Ч.енныЙ n-кратны.м. nо'Ч.ленны.м. дифференцировани е.м. исходного степенного ряда, и.м.еет тот JlCe радиус сходи.м.ос
ти, 'Ч.то и исходный ряд.
1) Ибо |
lim |
'\гn = 1, |
lim |
Vlan-ll = lim |
n+{..IjaJ = |
|
|
|
n-+ 00 |
n-+ 00 |
n-+ 00 |
|
|
||
|
|
|
|
|
= llШ[Vlanl] n~l = llШ[Vlanl]. |
||
|
|
ТУП + 1 = |
|
|
n |
--+ 00 |
n --+ 00 |
2) Ибо |
lim |
1, |
lim |
Vlan+ll = |
|
|
|
|
n --+ 00 |
|
|
n --+ 00 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
n-{..IjaJ = lim [Vlanl] n-l |
= lim [Vlanl]. |
||
n-+ 00 |
n-+ 00 |
n-+ 00 |
§ 5 |
РАЗЛОЖЕНИЕ Функций В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ |
47 |
§5. Разложение функций в степенные ряды
1.Разложение функции в степенной ряд.
Оnределе'Н,ие 1. Будем говорить, 'Что фу'Н'Х:'Ция Нх) 'На И'Н
тервале (-R, R) ('На м'Ножестве {х}) может быть разложе'На
в стеnе'Н'Ной ряд, если существует стеnе'Н'Ной ряд, сходящийся
'Х: j(x) 'На у'Х:аза'Н'Ном и'Нтервале (у'Х:аза'Н'Ном м'Ножестве).
Справедливы следующие утверждения.
1 О. ДЛЯ того 'чтоБыl фу'Н'Х:'Ция j (х) могла быть разложе'На в
стеnе'Н'Ной ряд 'На и'Нтервале (- R, R), 'Необходимо, 'Чтобы эта
фу'Н'Х:'Ция имела 'На у'Х:аза'Н'Ном и'Нтервале 'неnрерыв'ныle nроизвод
'Ные любого nоряд'Х:а 1).
в самом деле, степенной ряд внутри его промежутка сходи
мости, который во всяком случае содержит интервал (- R, R),
можно почленно дифференцировать сколько угодно раз, причем
все полученные при этом ряды сходятся внутри того же проме
жутка сходимости (теорема 1.17).
Но тогда суммы рядов, полученных сколь угодно кратным
дифференцированием (в силу теоремы 1.15), представляют со
бой функции, непрерывные внутри указанного промежутка схо
димости, а стало быть, непрерывные на интервале (- R, R). 20. Если фу'Н'Х:'Ция j (х) может быть 'На и'Нтервале (- R, R)
разложе'На в стеnе'Н'Ной ряд, то лишь еди'Нстве'Н'Ным образом.
В самом деле, пусть функция j(x) может быть разложена на интервале (- R, R) в степенной ряд (1.41).
Дифференцируя указанный ряд почленно n раз (что заведо мо можно делать внутри интервала (- R, R)), получим
j(n)(x) = аn · n! + аn+l . (n + l)!х + ...
Отсюда при х = О найдем
j(n) (О) = аn . n!
или
_ |
f(n)(o) |
(1.46) |
аn - |
---о |
n!
Таким образом, коэффициенты степенного ряда (1.41), в ко торый может быть разложена функция j (х), од'Ноз'На'Ч'Но опре деляется формулой
1) Отметим, что существуют функции, имеющие на интервале (- R, R)
непрерывные производные любого порядка, но не разложимые на этом ин тервале в степенной ряд. Примером такой функции может служить
_1/x2 |
при |
х =F О, |
f(x) = { е О |
||
|
при |
х = о. |
48 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ |
ГЛ. 1 |
Предположим теперь, что функция f(x) имеет на интервале (- R, R) непрерывные производные любого порядка.
Оnределе'Н,uе 2. Степенной р-яд (1.41), 'коэффициентыl 'КО торого оnредел-яютс-я формулой (1.46), называетс-я р-ядом Тей
лора фун'Кции
Утверждение 20 приводит нас к следующему утверждению.
30.Если фун'Кци-я f (х) мо;жет быть разло;жена на интер
вале (- R, R) в степенной р-яд, то этот р-яд -явл-яетс-я р-ядом Тейлора фун'Кции f(x).
Взаключение сформулируем следующее утверждение, непо средственно вытекающее из § 14 гл. 8 вып. 1.
4о. Дл-я того "lтобы фун'Кци-я f (х) могла быть разло;жена в
р-яд Тейлора на интервале (- R, R) (на мно;жестве {х}), необ
ходимо и aoCmamO"lHO, "lтоБыl остато"lНЫЙ "lлен в формуле Ма 'Клорена дл-я этой фун'Кции стремилс-я 'К нулю на у'Казанном ин
тервале (у'Казанном мно;жестве).
2. Разложение некоторых элементарных функций в
ряд Тейлора. В вып. 1 (см. п. 2 § 15 гл.8) доказано, что оста
точные члены в формуле Маклорена для функций еХ , cos х и sin х стремятся к нулю на всей бесконечной прямой, а остаточ
ный член в формуле Маклорена для функции ln( 1+х) стремится
кнулю на полусегменте -1 < х :::;; +1.
Всилу утверждения 40 из предыдущего пункта это приводит
нас к следующим разложениям:
|
00 |
|
|
еХ = |
|
N |
|
1 + '""'Х , |
|
||
|
~n! |
|
|
|
n=1 |
|
|
|
00 |
( 1)n х2n |
|
cos х = 1 + L |
-"------'--- |
||
|
n=1 |
(2n)! |
' |
. |
|
|
|
00 |
|
|
|
L (_1)nх2n+l |
|
||
юпх = |
(2n+l)! |
' |
|
|
|||
|
n=О |
|
|
ln( 1 + х) |
00 |
( 1)n+l |
хn |
'""' |
|||
= ~ |
-'------'--- |
||
n
n=1
Первые три из этих разложений сходятся для всех значе ний х, а последнее - для значений х из полусегмента -1 < х :::;; 1.
Остановимся теперь на разложении в степенной ряд функ ции (l+х)ОО или на так называемом биномиальном ряде.
Если f (х) = (1 + х)00, то
f(nJ(x) = а(а - l)(а - 2) ... (а - n + 1) . (1 + х)оо-n.
§ 5 РАЗЛОЖЕНИЕ Функций В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 49
Поэтому формула Маклорена с остаточным членом в форме Ко
ши имеет вид (см. вып. 1, гл. 8, § 14)
n
(1 +х)ОО = 1 +" 00(00-1)(00-2) ... (oo-k+1)x k + R n+1(x), |
|||
|
|
~ |
k! |
|
|
k=l |
(1.47) |
|
|
|
|
где |
|
|
|
Rn+1(x) = |
(1- 8)n xn+1 . j(n+1) (ех) = |
||
|
n! |
|
|
= (1 |
- 8)n |
. x n+1 . а(а _ 1) ... (а _ n)(1 + ex)OO-n-l = |
|
|
n! |
(а - 1)(а - |
2) ... (а - n) . а(l + ex)OO-l . x + (1.48) |
(~)n . |
|||
1 + 8х |
|
|
n 1 |
|
|
n! |
|
(е - некоторое число из интервала О < е < 1).
Сначала убедимся в том, что при а > О всюду на интервале
-1 < х < 1 остаточный член Rn +1 (х) стремится к нулю (при n--+оо).
В самом деле, все члены последовательности {( 11.;:х)n}
всюду на указанном интервале не превосходят единицы; после-
довательность { |
(а-1)(а-2) |
(а-n)} |
при любом фиксирован- |
n! ... |
|
ном а> О ограничена 1); число a(l+ex)OO-l определено при лю
бом фиксированном а > О и при любом х из интервала
-1 < х < +1; наконец, последовательность {хn+l} является
бесконечно малой для любого х из интервала -1 < х < 1.
Таким образом, в силу (1.48) остаточный член Rn+1(x) стре
мится к нулю для любого фиксированного а > О и любого х из
интервала -1 < х < 1. |
|
> О |
|
|
Стало быть, в силу (1.47), |
при а |
всюду 'На и'Нтервале |
||
-1 < х < 1 справедливо разложе'Ние |
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
(1 + х)ОО = 1 + "а(а -1)(а - 2) |
... (а - |
k + 1) xk. |
(1.49) |
|
~ |
k! |
|
|
|
k=l |
|
|
|
|
Докажем теперь, что при а > О ряд, стоящий в правой части (1.49), |
||||
равн,омерн,о сходится 1;; фун,1;;'Ции |
(1 + х)СУ н,а |
заМ1;;н,утом |
сегмен,те |
|
-1:'( х :'( 1.
1) Все элементы этой последовательности по модулю ограничены числом
(а - 1)(а - 2) |
(а - [а]) |
[а]!··· |
, где [а] -целая часть а. |
50 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ |
ГЛ. 1 |
||
Всюду на указанном сегменте этот ряд мажорируется следующим |
|||
числовым рядом: |
f |
lal . 11 - al ... Ik - 1 - al. |
|
|
(1.50) |
||
|
k=l |
k! |
|
В силу признака Вейерштрасса для установления равномерной на сег
менте -1 ::;; х ::;; 1 сходимости ряда, стоящего в правой части (1.49), доста точно доказать сходимость мажорирующего ряда (1.50).
Обозначим k-й член ряда (1.50) символом Pk. Тогда для всех достаточно
больших k получим |
|
|
1 + а |
|
|
РНl _ |
k - а _ 1 |
(1 51) |
|
|
---:р;:- |
k+1 - - |
k+1· |
. |
Из формулы (1.51) вытекает, что |
|
|
||
lim k(1- Pk+l) = |
(1 +а)· lim |
_k_ = 1 +а > 1, |
|
|
k-+oo |
Pk |
k-+oo k + 1 |
|
|
т. е. ряд (1.50) сходится в силу |
признака Раабе (см. вып. 1, |
гл. 13, |
||
§ 2, п. 5). |
|
|
|
|
Тем самым доказано, что при а> О ряд, стоящий в правой части (1.49), сходится равномерно на сегменте -1 ::;; х ::;; 1. Остается доказать, что ука занный ряд сходится на сегменте -1 ::;; х ::;; 1 к функции (1 + х)О.
В силу доказанного выше сумма указанного ряда S(x) и функция (1 + +х)О совпадают всюду на uнтервале -1 < х < 1. Кроме того, обе функции S(x) и (1+х)СУ непрерывны на сегменте -1::;; х ::;; 1 (функция S(x) как сум
ма равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций; непрерывность
функции (1 + Х)СУ при а> О очевидна).
Но тогда значения функций S(x) и (1 + Х)СУ в точках х = -1 их = 1 обязаны совпадать, т. е. ряд, стоящий в правой части (1.49), равномерно сходится к (1 + Х)СУ на замкнутом сегменте -1 ::;; х ::;; 1.
3. Элементарные представления о функциях комп лексной переменной. Выше уже отмечалось, что на случай
степенного ряда относительно комплексной переменной z
ао + alz + a2z2 + ... + anzn + ...
переносятся теоремы 1 и 1.14 (о существовании и величине ра диуса сходимости). Ряды такого типа используются для опреде
ления функций комплексной переменной z.
Функции eZ , cos z и sin z комплексной переменной
ляются как суммы следующих рядов:
00
eZ = 1 + '"""'ZN ,
~n!
n=1
00
cos z = 1 + '"""'(-1) n z2n
~ (2n)! ' n=1
z опреде
(1.52)
(1.53)
(1.54)