Ilin_Poznyak_-_Matanaliz
.pdf
§ 1 |
ПОНЯТИЕПОВЕРХНОСТИ |
131 |
указанную окрестность Ф точки МО множества Ф. Очевидно,
что окрестность G точки (ио, vo) гомеоморфно отображается на
окрестность Ф точки МО на множестве Ф 1). Иными словами,
Ф представляет собой образ G при локально-гомеоморфном ото
бражении в пространство и является поэтому общей поверхно стью. Теорема доказана.
3 а м е ч а н и е 2. В процессе доказательства теоремы мы установили, что у паждои то'Чnu МО nоверх'Ности Ф без особых
то'Чеn uмеетс-я оnрест'Ностъ Ф, од'Ноз'На'Ч'Но nрое'Цuрующа-яс-я 'На од'Ну uз nоорди'Нат'Ных nлосnостеu u -явл-яюща-яс-я поэтому гра
фunом k раз дuффере'Н'Цuруемоu фу'Нn'Цuu (в доказательстве те
оремы этой функцией была функция z(x, у)).
На рис. 5.2 указаны точки МО и N o, окрестности которых од
нозначно проецируются на плоскости Оху и Oxz соответственно.
3. Задание поверхности с помощью векторных функ
ций. Рассмотрим регулярную поверхность Ф. Эта поверхность
представляет собой некоторое множество точек М пространства
Ли
х
Рис. 5.3
с координатами (х, у, z) (рис. 5.3). Обозначим через т(М) век
тор, идущий из начала координат в точку М поверхности. Оче
видно, т(М) представляет в е к т о р н у ю Ф у н к Ц и ю пере-
менной точки М поверхности 2). Эта функция обычно называ
ется р а Д и у с о м-в е к т о р о м поверхности Ф.
Обратимся к той окрестности точки М, которая представля
ет собой гомеоморфное отображение некоторой элементарной
1) Мы воспользовались здесь очевидным утверждением о том, что после
довательное проведение гомеоморфных отображений дает в результате так же гомеоморфное отображение.
2) Векторную функцию можно рассматривать как совокупность трех ска
лярных функций. Подробные сведения о векторных функциях даются в § 1 гл. 12. По мере надобности мы будем использовать эти сведения.
5*
132 |
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ |
ГЛ.5 |
области G 1) |
при помощи соотношений (5.1) |
(на рис. 5.3 эта |
окрестность обведена штриховой линией). Тогда, очевидно, ко ординаты х(и, v), у(и, v), z(u, v) точки М являются координа тами вектора т(М). Ясно, что в этой окрестности функция т(М) будет функцией переменных и и v: т(М) = т(и, v). При фикси рованном значении переменной v конец радиуса-вектора т(и, v)
описывает в рассматриваемой окрестности кривую, называемую
ли'Нией и (или ли'Нией v = const). При фиксированном значении переменной и конец радиуса-вектора т(и, v) описывает ли'Ншо v (ли'Ншо и = const). Эти линии и и v называются коорди'Нат'Ны.м.и
ли'Ни.я..м.и на поверхности Ф в рассматриваемой окрестности. Таким образом, в некоторой окрестности каждой точки по
верхности Ф может быть введена система координатных ли
ний и и v. Эта система координатных линий называется также
Особая mоч,1Са |
Лu'Ноu,я особых mоч,е1С |
|
Рис. 5.4
системой криволинейных координат на поверх
н о с т и (точнее - в рассматриваемой окрестности).
в § 1 гл. 12 указан геометрический смысл производных Ти И
T v векторной функции т(и, v). Эти векторы представляют собой векторы касательных к координатным линиям (см. рис. 5.3).
С помощью векторов Ти И T v можно уяснить геометрический смысл обыкновенной и особой точек регулярной поверхности.
Напомним, что точка М поверхности называется обыкновен
ной, если в окрестности этой точки можно ввести такую пара
метризацию с помощью уравнений (5.1), что ранг матрицы А (см. соотношение (5.2)) в этой точке равен 2. Так как строки ма
трицы А состоят из координат векторов Ти И T v И ранг А равен
двум, указанные векторы линейно независимы. Итак, обыкно
венная точка характеризуется тем, что в окрестности этой точ
ки можно ввести такую параметризацию, что векторы Ти И T v В
точке М линейно независимы.
1) Область G на плоскости называется элементарной, если, она представ
ляет собой гомеоморфный образ открытого круга.
§ 1 |
ПОНЯТИЕПОВЕРХНОСТИ |
133 |
На рис. 5.3 точка М является обыкновенной точкой поверх ности Ф. На рис. 5.4 изображены поверхности с особыми точками.
4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
Односторонние и двусторонние поверхности. Мы уже вве
ли понятие касательной плоскости к поверхности, представляю
щей собой график дифференцируемой функции z = z(x, у) (см. п. 2 § 4 гл. 14 вып. 1). Напомним, что касательная плоскость
в точке Ма определялась как плоскость, обладающая тем свой
ством, что угол между этой плоскостью и секущей МаМ(М произвольная точка поверхности) стремится к нулю при стрем лении М к Ма. Мы доказали, что если z(x, у) -дифференциру
емая в точке (ха, Уа) функция, то в точке Ма(ха, Уа, z(xa, Уа))
поверхности существует касательная плоскость.
Убедимся, что в любой обыкновенной точке гладкой поверх
ности существует касательная плоскость. Для этого, очевидно,
достаточно установить, что некоторая окрестность обыкновен ной точки поверхности представляет собой график дифферен
цируемой функции. Но в п. 2 этого параграфа (см. замечание указанного пункта) было доказано это свойство для любой обык
новенной точки гладкой поверхности. Следовательно, в ЛlОбоu оБыlх:'J-ювен'l-юuu mO"l'X:e глад'Х:оu поверхности существует 'Х:асателъ
на.я nлос'Х:остъ.
3 а м е ч а н и е 1. Из определения касательной плоскости к
поверхности Ф следует, что касательная прямая в точке Ма к
любой гладкой линии 1), расположенной на поверхности и про
ходящей через Ма , лежит в касательной плоскости к Ф в точке Ма . Так как векторы Ти И T v являются касательными к лини ям и и v, проходящим через Ма , то эти векторы располагаются к касательной плоскости в точке Ма .
Введем понятие |
н о р м а л и к поверхности Ф в точке Ма . |
Н о р м а лью |
к поверхности Ф в точке Ма называется пря |
мая, проходящая через Ма и перпендикулярная к касательной плоскости в Ма . В е к т о р о м н о р м а л и к поверхности в точ ке Ма будем называть любой ненулевой вектор, коллинеарный нормали в Ма .
Пусть Ма - обыкновенная точка гладкой поверхности Ф и
некоторая окрестность Ф этой точки определена с помощью та
кой векторной функции т(и, v), что векторы Ти И T v В точке Ма
не коллинеарны. Тогда, очевидно, вектор
(5.4)
1) Линия L называется г л а Д к ой, если она может быть задана с по мощью векторной функции r(t) класса С1 , дЛЯ которой т' (t) # о (более
подробно см. § 2 гл. 12).
134 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ГЛ.5
является вектором нормали к поверхности, а вектор
n = [rurv] |
(5.5) |
|
l[rurv]1 |
||
|
-единичным вектором нормали к поверхности.
3 а м е ч а н и е 2. Так как по условию поверхность является
гладкой, то векторная функция N(u, v) и векторная функция n(и, v), определенные соответственно с помощью соотношений (5.4) и (5.5), будут непрерывными. Таким образом, в не'Которой
о'Крестности naJlCaou то'Ч'Ки глад'Кой поверхности существует
непрерывное ве'Кторное поле нормалей.
Естественно возникает вопрос - на всякой ли гладкой по
верхности в целом существует непрерывное векторное поле нор-
В I |
I |
малей? Оказывается, есть по- |
верхности, на которых не су |
||
А'---------------' А' |
ществует в целом непрерывного |
|
|
|
векторного поля нормалей. При- |
|
~ |
мером такой поверхности мо |
|
жет служить так называемый |
|
|
лист Мёбиуса 1), изображенный |
|
|
~ |
на рис. 5.5. (Эта поверхность |
|
|
|
|
|
получается из прямоугольника |
|
Рис. 5.5 |
АВв'А' путем склеивания сто |
|
рон АВ и А'в' таким образом, |
|
|
|
|
что при этом совпадают точки А и В', и точки А' и В, см.
рис. 5.5).
Поверхности, на которых в целом существует непрерывное
векторное поле нормалей, будем называть д в у с т о р о н н и м и.
Поверхности, на которых в целом такого поля не существует,
будем называть о Д н о с т о р о н н и м и.
Плоскость, сфера, эллипсоид, однополостный гиперболоид -
двусторонние поверхности, лист Мёбиуса - односторонняя по
верхность.
В дальнейшем мы будем рассматривать лишь двусторонние
поверхности.
5. Вспомогательные леммы. В этом пункте мы докажем
некоторые нужные для дальнейшего утверждения.
Ле,м,,м,а 1. Пусть МО - обы'Кновенна-я то'Ч'Ка глад'Кой поверх
ности Ф. Тогда не'Котора-я о'Крестность то'Ч'Ки МО однозна'Чно nрое'И,ируетс-я на 'Касательную nлос'Кость, nроведенную в любой
то'Ч'Ке этой о'Крестности.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Убедимся, что указанным в лемме
свойством обладает, например, та окрестность Ф точки Мо , в пределах которой нормаль в любой точке составляет с нормалью
1) А. Мёбиус - немецкий математик (1790-1868).
§ 1 |
ПОНЯТИЕПОВЕРХНОСТИ |
135 |
в МО угол, меньший 7г/ 4, и которая однозначно проецируется на некоторый круг в одной из координатных плоскостей (напри
мер, Оху) 1). Отметим, во-первых, что нормали в любых двух
точках Ф образуют угол, меньший 7г/2. Далее, пусть Ф не обла
дает указанным свойством. Тогда для некоторой точки М из Ф
можно найти такие точки Р и Q из Ф, что хорда PQ параллельна
нормали nм в М (рис. 5.6). Рассмо-
трим линию пересечения Ф с плос
костью, параллельной Oz и проходя щей через PQ. в силу выбора окрест-
ности Ф часть РN Q этой линии
лежит в Ф и представляет собой график дифференцируемой функции,
заданной на отрезке, являющемся
проекцией PQ на плоскость Оху.
По теореме Лагранжа касательная в |
у |
|
|
некоторой точке N этой части парал |
|
лельна хорде PQ и, следовательно, |
|
параллельна нормали nм в М. Но |
Рис. 5.6 |
тогда нормаль в N, перпендикулярная упомянутой касательной,
образует угол 7г/2 с нормалью в М. Но этого не может быть, так как нормали в любых двух точках Ф (в том числе и в точках М и N) образуют угол, меньший 7г/2. Полученное противоречие
убеждает нас в справедливости леммы. Лемма доказана. Введем понятие п о л н о й поверхности. Поверхность Ф на
зывается полной, если любая фундаментальная последователь ность то'Ч,еn этой поверхности сходится n неnоторой то'Ч,nе
поверхности Ф.
Плоскость, сфера, эллипсоид, однополостный гиперболоид примеры полных поверхностей. Круг без границы, любое откры тое связное множество на сфере - неполные поверхности. Огра
ниченные полные поверхности и ограниченные замкнутые части
полных поверхностей мы будем в дальнейшем называть ограни
ченными полными поверхностями.
Будем говорить, что часть Ф имеет размеры меньше 6, если эта часть помещается внутри некоторой сферы, диаметр кото рой меньше 6.
1) Возможность выбора такой окрестности Ф вытекает из следующих со
ображений. В предыдущем пункте мы отметили (см. замечание 2), что
в некоторой окрестности обыкновенной точки на поверхности существует непрерывное векторное поле нормалей. Поэтому в достаточно малой окрест
ности МО нормали составляют с нормалью в МО угол, меньший 7Г/4. Мы
также установили, что некоторая окрестность МО однозначно проецирует
ся на координатную плоскость. Очевидно, в этой окрестности есть часть,
проецирующаяся на некоторый круг в координатной плоскости.
136 |
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ |
ГЛ.5 |
Справедлива следующая лемма.
Ле,м,,м,а 2. Пусть Ф - глад'Кая, ограни'Ченная полная поверх
ность без особых то'Че'К. Существует та'Кое 6 > О, 'Что любая 'Часть Ф, размеры 'Которой меньше 6, однозна'Чно nрое'И,ирует ся на 'Касательную nлос'Кость, проходящую 'Через любую то'Ч'Ку
этой 'Части.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Допустим, что утверждение леммы
неверно. Тогда для любого 6n = 1/n, n = 1, 2, ... можно указать
часть Фn поверхности Ф, размеры которой меньше 6n и которая
не проецируется однозначно на касательную плоскость в неко
торой своей точке. Выберем в каждой части Фn точку МN и вы
делим из последовательности {Мn} подпоследовательность, схо-
дящуюся к некоторой точке Мо поверхности Ф 1). Рассмотрим
окрестность точки Мо , удовлетворяющую условиям леммы 1.
При достаточно большом n эта окрестность будет содержать
каждую часть Фn . Но тогда эта часть должна проецироваться
на касательную плоскость (в любой своей точке), а это проти
воречит выбору частей Фn . Лемма доказана. Справедлива следующая лемма.
Ле,м,,м,а 3. Пусть Ф - глад'Кая, ограни'Ченная полная поверх ность без особых то'Че'К. Существует та'Кое 6 > О, 'Что любая 'Часть Ф, размеры 'Которой меньше 6, однозна'Чно nрое'И,ируется на одну из 'Координатных nлос'КостеЙ.
Доказательство этой леммы проводится в полной аналогии с доказательством леммы 2.
Ле,м,,м,а 4. Пусть Ф - глад'Кая, ограни'Ченная, полная дву сторонняя поверхность без особых то'Чеn. Тогда для любого Е > О можно у'Казать та'Кое 6 > О, 'Что для 'Косинуса угла I между едини'чныlии ве'Кторами нормалей в любых двух то'Ч'Ках произ-
вольной 'Части Ф поверхности, размеры 'Которой меньше 6, |
спра |
ведливо представление |
|
COS 1 = 1 - ООф, |
(5.6) |
где lоофl < Е.
Д О к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим непрерывное на Ф век
торное поле единичных нормалей n(М) (такое поле существу ет, так как Ф двусторонняя поверхность). Векторная функция n является равномерно непрерывной, поскольку Ф - ограничен
ная полная поверхность и поэтому представляет собой ограни ченное замкнутое множество. Поэтому для любого Е > О мож но указать такое 6 > О, что для произвольных двух точек М1
иМ2 поверхности Ф, расстояние между которыми меньше 6,
1)Так как Ф - ограниченная полная поверхность, то такую подпоследова
тельность выбрать можно.
§ 2 |
ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ |
137 |
выполняется неравенство
(5.7)
Так как
то, полагая
йф = ~(n(M2) - n(м1))2
2
и используя неравенство (5.7), мы убедимся в справедливости
соотношения (5.6). Лемма доказана.
§2. Площадь поверхности
1.Понятие площади поверхности. Пусть Ф - ограничен
ная полная двусторонняя поверхность. Разобьем Ф кусочно-глад
кими кривыми на конечное число частей Фi, каждая из кото
рых однозначно проецируется на касательную плоскость, про
ходящую через любую точку этой части 2). Обозначим через д.
максимальный из размеров частей Фi, а через Ji - площадь про екции Фi на касательную плоскость в некоторой точке Mi части
Фi. Составим далее сумму L Ji всех указанных площадей.
z
Сформулируем следующие определения.
Оnределенuе 1. Число J 'Называется пр е д е л о м с у м м
L Ji при Д. ---+ О, если для любого G > О мож'Но ук;азать так;ое
i
6 > О, 'Что для всех разбие'Ниu Ф к;усо'Ч'Но-гладк;ими к;ривыми 'На к;о'Не'Ч'Ное 'Число 'Частеu Фi, для к;оторыlx Д. < 6, 'Независимо от выбора то'Чек; Mi 'На 'Частях Фi выnол'Няется 'Нераве'Нство:
(5.8)
Оnределенuе 2. Если для nоверх'Ности Ф существует пре
дел J сумм L Ji при Д. ---+ О, то nоверх'Ность 'Называется к; в а д
i
Р и Р у е м о 'й, а 'Число J 'Называется площадью nоверх'Ности.
1) |
Мы использовали следующие соотношения: |
|
|
||||||
|
n 2 (M1 ) = 1, |
|
п2 (м2) = 1, |
n(M2 )n(M1 ) = cosi, |
|||||
|
1 |
2 |
= |
1 |
2 |
(М2) - |
2n(M2 )n(M1 ) + п |
2 |
(M1 )). |
|
-(п(М2 ) - n(M1 )) |
|
-(п |
|
|
||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2) |
Возможность такого разбиения гарантируется леммой 2 предыдущего |
||||||||
пункта.
138 |
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ |
ГЛ.5 |
Наша ближайшая задача состоит в выяснении достаточных условий квадрируемости поверхности. Мы докажем, что гладкие
ограниченные полные двусторонние поверхности квадрируемы.
Попутно мы укажем вычислительный аппарат, с помощью ко
торого можно вычислять площади поверхностей.
На первый взгляд было бы естественно подойти к вопросу о площа
ди поверхности, используя аппроксимацию поверхности многогранниками.
Однако этот путь не приводит к цели. Мы укажем пример, принадлежа-
щий Шварцу 1) И показывающий, что площади вписанных в гладкую по
верхность многогранников могут неограниченно возрастать при увеличении
числа граней и уменьшении их размеров.
Пусть Ф -цилиндрический пояс (рис. 5.7). Разобьем Ф окружностя
ми, параллельными основаниям Ф, на n равных частей. Каждую из таких окружностей разделим на m равных частей так, как это указано на рис. 5.7. На этом же рисунке изображен многогранник Фnm , вписанный в Ф. При лю бом фиксированном m площадь указанного многогранника Фnm , очевидно,
превышает увеличенную в n раз площадь проекции этого многогранника
на плоскость основания цилиндра. Так как эта проекция не зависит от n, то за счет увеличения n при любом фиксированном m площадь многогранника Фnm может быть с д е л а н а как угодно большой.
2. Квадрируемость гладких поверх ностей. Докажем следующую теорему.
Теорема 5.2. Глад'Х:ая ограН,u'ч.енная пол
ная двусторонняя поверхность без особых то'Ч.е'Х: 'Х:вадрируема.
Д ок аз ател ь с тв о. Пусть на поверх ности Ф может быть введена единая регуляр ная параметризация. В этом случае радиус
Рис. 5.7 |
вектор т(А!) переменной точки Ф поверхно- |
|
сти представляет собой функцию т(и, v) класса с1 2), задан
ную в некоторой замкнутой ограниченной области s1 плоскости
переменных u и v. Частные производные тu И T v функции т(и, v)
представляют собой непрерывные векторные функции, не зави сящие от выбора декартовой прямоугольной системы координат
в пространстве. Поэтому значение J интеграла JJ I[TuTv]1 dudv
!1
не зависит от выбора декартовой системы координат в простран
стве. Мы докажем, что поверхность Ф квадрируема и ее площадь
равна а.
Пусть [ - произвольное положительное число, фиксирован
ное в дальнейших рассуждениях. Определим по этому [ > о чис
ло д > О, исходя из следующих требований: 1) любая часть Фi
1)г. А. Шварц-немецкий математик (1843-1921).
2) Под этим следует понимать, что каждая компонента функции т(u, v)
принадлежит классу с1 .
§ 2 |
ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ |
139 |
поверхности Ф, размеры которой меньше д, проецируется од
нозначно на касательную плоскость в любой точке части Фi ;
2) косинус угла г между единичными векторами нормалей в
любых двух точках части Фi может быть представлен в виде
COSr = 1 - О:Фi' |
(5.9) |
где IО:Фi I < Е/а и IО:Фi I < 1. Возможность такого выбора д > О
гарантируется леммами 2 и 4 п. 3 предыдущего параграфа. Рассмотрим произвольное разбиение Ф кусочно-гладкими
кривыми на конечное число частей Фi, максимальный размер .6.. которых не превышает д. Так как на Ф существует единая пара
метризация, то указанному разбиению Ф на части Фi отвечает
разбиение области Q на части Qi,. На каждой части Фi выберем произвольную точку Mi и обозначим через ai площадь проек
ции части Фi на касательную плоскость в Mi. Для вычисления ai
поступим следующим образом. Выберем декартову систему ко ординат так, что ее начало совпадает с Mi, ось Oz направлена по вектору нормали к поверхности в Mi, а оси ОХ и Оу расположе
ны в упомянутой касательной плоскости. В указанной системе
координат поверхность определяется параметрическими урав
нениями Х = х(и, |
v), У = у(и, v), z = z(u, v), а вектор [TuT v ] |
имеет координаты |
{А, В, С}, где |
А= IYu |
Zul |
в = Izu |
Xul |
С= Ixu |
Yul· |
(5.10) |
Yv |
Zv ' |
Zv |
X v ' |
X v |
Yv |
|
Отметим, что для точек части Фi, ввиду выбора д и ориентации оси Oz, величина С положительна, С> о. Отметим также, что
косинус угла гМ между нормалью в точке М части Фi и осью
Oz равен
с
COSrM = --- (5.11) l[rurvJI
Ясно, что угол гМ является углом между нормалями в точках М и
Mi части Фi, и поэтому для него справедливо представление (5.9).
Обратимся к интегралу JJI[Титv] I du dv, который, очевидно
!1i
не зависит от выбора декартовых координат в пространстве. Ис
пользуя положительность С и третью из формул (5.10), получим
(5.12)
Применяя к интегралу в правой части (5.12) первую формулу
140 |
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ |
ГЛ.5 |
||
среднего значения в обобщенной форме, получим |
|
|||
!! |
Ixu |
Yul |
Г(и, v) |
|
|
I[TuTvJI dudv = ( l[rurvJ1 ) |
. !!ID(X, У)I dudv, |
(5.13) |
|
!1; |
Xv |
Yv |
М !1; |
|
где М - некоторая точка части Фi.
Так как
|
( l[rurvJI |
) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xu |
yul |
|
COSiM |
|
|
IXv |
Yv |
М |
|
|
(см. 5.10) |
и (5.11)), а !!ID(X, У) I dudv = O"i 1), то из формулы |
||||
|
|
Г(u, v) |
|
|
|
|
!1; |
|
|
|
|
(5.13) и представления (5.9) для COs,M, найдем |
|
||||
O"i |
= JJI [TuTvJ I du dv - |
JJ афJ [TuTvJ I du dv. |
(5.14) |
||
Складывая равенства (5.14) для всех частей Фi и учитывая, что
2: JJ I[TuTvJ Idu dv = |
JJ I[TuTvJ Idu dv = 0", получим |
i !1; |
!1 |
(5.15)
Оценим последнее слагаемое в правой части (5.15). Имеем
l2:lJафJ[ТuТvJldUdvl ~ 2:lJlаФil·I[ТuТvJldudv <
'l ~ |
'l |
~ |
|
< ~2: JJI[TuTvJ I du dv = ~ . о" = с. |
|
|
|
L !1i |
Отсюда и из равенства (5.15) |
получим |
|
Таким образом, поверхность Ф квадрируема и ее площадь равна о: Мы рассмотрели случай, когда на поверхности Ф может быть введена единая параметризация. В общем случае поверхность Ф
1) Мы использовали формулу для площади плоской области при перехо
де от координат (Х, У) к координатам (и, v) с помощью соотношений Х = = х(u, v), У = у(u, v).