Ilin_Poznyak_-_Matanaliz

Напомним, что перестановпой чисел {1, 2, ... , т} называют функцию

rY = rY(k), определенную на этих числах, и отображающую их взаимно

однозначно на себя. Множество всех таких перестановок обозначается сим­

волом ~т. Очевидно, существует всего т! различных перестановок из ~т.

Для двух перестановок rY Е ~т и т Е ~т естественным образом определя­

ется суперпозиция (ут Е ~т. Перестановка rY- 1 называется обратной к (У,

если rY-1rY = rYrY- 1 = Е, где Е-тождественная перестановка (т. е. E(k) = k,

k = 1, 2, ... , т).

Перестановка rY называется трансnозицией, если она переставляет два числа, оставляя другие на своем месте. Иначе говоря, существует пара чи­

Известно, что всякая перестановка rY разлагается в суперпозицию транс­

позиций, переставляющих числа с соседними номерами, причем четность

числа транспозиций в таком разложении не зависит от его выбора и назы­

вается четностью перестановки (У.

Введем следующее обозначение:

Рассмотрим снова полилинейную форму (7.43). Для любой перестанов­

ки rY Е ~p+q положим

(7.44)

Нетрудно убедиться в том, что если т Е ~p+q и rY Е ~p+q, то (TrY)a = = T(rYa). Введем следующее определение.

Оnределенuе. В н е ш н и м про и 3 в е д е н и е м формы шр Е Ap(V) и формы wq Е Aq(V) называется, форма w Е Ap+q(V), оnределя,емая, равен­

ством

(7.45)

где сумма берется, по всем nерестановnам rY Е ~p+q, удовлетворя,ющим

w = шр Л wq .

Проиллюстрируем на примере, как действует перестановка (У, удовлет­

воряющая условию (7.46). Предположим, что по некоторой дороге парал­

лельно движутся две колонны автомобилей, в первой из которых р, а во второй q машин. Через некоторое время дорога сужается и обе колонны на ходу перестраиваются в одну. При этом автомобили первой колонны за­ нимают места где-то среди автомобилей второй, однако порядок следования автомобилей внутри каждой колонны сохраняется. В результате мы получаем

перестановку, удовлетворяющую условию (7.46). Легко видеть, что и обрат­

но, всякая такая перестановка может быть реализована на нашей модели. Для того чтобы убедиться, что данное нами определение является кор­

ректным, необходимо доказать, что w = шр Л wq Е Ap+q(V). Очевидно, в

доказательстве нуждается только знакопеременность формы ш.

214 формулы ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО ГЛ.7

Покажем, что при перестановке двух аргументов ~i и ~H1 форма W меняет знак. Отсюда легко будет следовать, что W Е Ap+q(V). Пусть т Е

к первой сумме отнесем те перестановки и, для которых либо u -1 (i) ~ ~ р, и-1 (i + 1) ~ р либо u- 1(i) ? р+ 1, u- 1(i + 1) ? р + 1. Для каждой такой

перестановки

(ти)а = -иа.

Для того чтобы сделать это утверждение более очевидным, обозначим k = u- 1(i), l = u- 1(i + 1), т. е. i = u(k), i + 1 = u(l). Форма иа представляет

собой произведение форм wP и W q , причем аргументами wP являются векто­

ры ~0"(1)' ~0"(2)' ... , ~O"(p), а аргументами wq -векторы ~0"(P+1)' ... , ~O"(p+q).

Если k ~ р и 1 ~ р, то ~i = ~O"(k) И ~i+1 = ~O"(l) являются аргументами

формы wP , которая по условию знакопеременна. Следовательно, при пе­ рестановке ~i и ~i+1' форма w P , а значит и иа, меняет знак. Аналогично

множество перестановок {и}, удовлетворяющих этому условию (а также, разумеется, условию (7.46)), совпадает с множеством перестановок вида ти, где u Е {и}. Обратимся к нашей модели с двумя колоннами автомобилей.

Утверждение примет следующий очевидный вид.

Если при каком-либо перестроении автомобиль с номером k из пер­ вой колонны окажется непосредственно перед автомобилем с номером l из

второй колонны, то легко можно указать другое перестроение, в результа­

те которого эти автомобили поменяются местами, в то время как порядок

ним произведением W = f 1\ g будет q+1-форма, аргументы которой мы

обозначим через ~o, ~1' ... ,~q:

q

= 2)-1)if(~i)g(~o, ... , ~i-l, ~Hl' ... ,~q).

i=O

6. Свойства внешнего произведения знакопеременных форм.

1) Очевидным свойством внешнего произведения является л и н е й -

н о с т ь:

а) если wP Е Ap(V), wq Е Aq(V), то ДЛЯ любого вещественного числа л

(лwР) 1\ wq = wP 1\ (лwq ) = чwр 1\ wq);

б) если wf Е Ap(V), w~ Е Ap(V) и wq Е Aq(V), то

(wf + w~) 1\ wq = wf 1\ wq + w~ 1\ wq .

2) А нти К О М му Т атив но с ть. Если wP Е Ap(V) и wq Е Aq(V), то

wP I\w q = (-lyqwq I\w p.

Доказательство. Пусть

wP 1\ wq = w = W(~l' ~2' ... , ~p+q).

Убедимсявтом,чтоперестаНОВКУ(~Р+l' ~p+2' ... , ~p+q, ~1' ... , ~р)можем

получить из векторов (~1' ~2' ... , ~p+q) с помощью pq последовательных

транспозиций. Вектор ~p+l можно передвинуть на первое место, исполь­

зуя Р транспозиций. Затем с помощью такого же числа транспозиций пере­

двинем на второе место вектор ~p+2 и т. д. Всего мы передвинем q векторов,

используя каждый раз Р транспозиций, т. е. число всех транспозиций равно pq. В таком случае антикоммутативность будет следовать из знакоперемен­

НОСТИ внешнего произведения.

3) Ассоциативность. ЕслиwР Е Ap(V), wq Е Aq(V), wr Е Ar(V),

то

(w P 1\ wq) 1\ wr = wP 1\ (w q 1\ wr ).

Д о К а з а т е л ь с т в о. Пусть (J" Е ~p+q+r. Рассмотрим следующую ве­

личину:

w = 2)sgn)(J"[wP(~1' ... , ~p)Wq(~p+l' ... , ~p+q)wr(~p+q+1' ... , ~p+q+r).

(7.51)

Сумма (7.51) будет равна (w PI\wq)l\w r , если вначале произвести сумми­

рование по всем перестановкам, оставляющим без изменения числар+q+1,

р + q + 2, ... , р + q + r и удовлетворяющим условию (7.46), а затем про­

суммировать по всем перестановкам, сохраняющим получившийся порядок

первых р + q аргументов и порядок аргументов ~p+q+l' ... , ~p+q+r.

Аналогично можно получить величину wP 1\ (W q 1\ Wr ).

Покажем, что в обоих случаях получается сумма по всем перестановкам,

Для этого обратимся снова к нашей модели с колоннами автомобилей. Предположим, что по дороге движутся три колонны автомобилей, в первой из которых р, во второй q, а а третьей r машин. Один из способов перестро­

ения этих трех колонн в одну заключается в том, что вначале сливаются

первая и вторая колонны, а затем полученная соединяется с третьей. При другом способе вначале сливаются вторая и третья колонны, а к ним при­

соединяется первая. Очевидно, перестановка и, получаемая в результате любого из этих перестроений, удовлетворяет условию (7.52) и, наоборот,

любая перестановка, удовлетворяющая условию (7.52), может быть получе­

на как с помощью первого, так и с помощью второго способа перестроения.

Это и означает совпадение (шР /\ wq ) /\ ш" и шр /\ (w q /\ ШТ ). Ассоциативность внешнего умножения дает возможность рассматри­

вать любое конечное произведение

Шl/\Ш2/\ ... /\шт , где Wi Е Api(V).

где суммирование производится по всем перестановкам (J" Е ~т.

Равенство это легко проверяется с помощью индукции. Заметим, что

если ввести матрицу {ai(~j)}' то равенство (7.53) можно переписать в сле­

женный к нему базис в пространстве L(V). Напомним, что ei(~) есть линей­ ная форма, которая на элементах базиса {ei} принимает значение ei(ej)

= бi)3 п. 3 мы показали, что всевозможные произведения

ei1 (~1)ei2 (~2) ... eip (~p)

образуют базис в Lp(V). Поскольку Ap(V) с Lp(V), то каждая знакопере­

менная р-форма может быть разложена единственным образом в линейную комбинацию указанных произведений. Однако эти произведения не образу­

ют базиса в Ар(V), поскольку они не являются знакопеременными р-форма­ ми, т. е. не принадлежат Ap(V). Тем не менее из них можно сконструировать с помощью внешнего умножения базис в Ap(V).

Теорема 7.11. Пусть {ei }Г=l - базис в nростран,стве V, {ei }r=l - со­ nря;жен,н,ый базис в nростран,стве L(V). Любая зн,а1шnеремен,н,ая р-форма

w Е Ap(V) мо;жет быть nредставлен,а и притом един,ствен,н,ым обраЗ0М в виде

Ка;ждое слагаемое суммы в правой 'Ч.асти (7.55) представляет собой nроизведен,ие nостоян,н,ой Wi, i2 .. ip н,а зн,аnоnеремен,н,ую р-форму ei1/\e i2/\ ...

. . . /\

Доказательство. В силу результатов п. 4 мы можем записать

В силу примера из п. 6 сумма, стоящая в квадратных скобках, есть ei1 /\ ei2 /\ ... /\ eip . Теорема доказана.

Следствие 1. Элеме'/-l,ты ei1 /\ ei2 /\ ... /\ eip (1 ~ il < i2 < ... < ip ~ n)

образуют базис в npocmpa'/-l,сmве Ap(V). Этот базис пуст для р > n и

состоит из од'/-l,ого элеме'/-l,та, если р = n.

Следствие 2. РазмеР'/-l,остъ npocmpa'/-l,сmва Ap(V) paB'/-l,а СК.

в дальнейшем, как правило, мы будем считать, что выбранный базис el, е2, ... , еn нами зафиксирован и линейные формы ei(~) будем обозна­ чать символом ei(~) = ~i. Тогда любая форма w Е Ap(V) примет вид

где ~; = t ~;ej.

j=l

§2. Дифференциальные формы

1.Определения. Рассмотрим произвольную открытую область G n-мерного евклидова пространства Еn . Точки области G будем обозначать

nоторая при nа;ж;дом фиnсирова'/-l,'/-I,ОМ х Е G представляет собои З'/-l,аnоnе­

реме'/-l,'/-I,УЮ р-форму из Ар(Еn ).

Множество всех д~фференциальных р-форм в области G обозначим

через Пр(G) = Пр(G, Е ).

Мы будем считать, что при фиксированных ~l' ... , ~p Е Еn р-форма W представляет собой бесконечно дифференцируемую в G функцию. Используя

ница стоит на k-M месте. Элементами сопряженного базиса будут функции

еk (~) = еk (dx ), определяемые равенствами ek(dx)=dx k .

Тогда дифференциальная форма (7.60) примет вид

При м е р 1. Дифференциальная О-форма - это любая функция, опре­

деленная в области G (и, в силу наших предположений, бесконечно диффе­ ренцируемая в G).

При м е р 2. Дифференциальная 1-форма имеет вид

n

ш(х, dx) = LWk(X)dxk.

k=l

В частности, когда n = 1, ш(х, dx) = f(x) dx. Дифференциальную форму степени 1 называют также линейной дифференциальной формой.

При м е р 3. Дифференциальная 2-форма имеет вид

ш(х, d1x, d2x) = "'"""~Wikdxi Лdхk . i<k

По определению

dx i Л dx k = (e i Л ek)(d1x, d2x) =

= ei (d 1x)e k (d2x) - ei (d 2x)e k(d 1x) =

Определитель равен элементу площади, соответствующему векторам d1x

и d 2 x.

dзх1

Определитель равен элементу объема, отвечающему векторам d1x, d2x, dзх.

Поскольку dW2 есть (q + 1)-форма, то

dW2/\W1 = (-lуСQ+l)W1/\dW2.

Отсюда dw = dW1 /\ W2 + (-1)PW1 /\ dW2.

Справедливо следующее ва;нс'Ное свойство дифференциала. Ос'Нов'Ное свойство в'Неш'Него дuффере'Н'Цuала:

d(dw) = о.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим вначале, что w есть форма степе­

ни о, т. е. w(x) = f(x). Тогда

d(df) =dt дfdхi = tt~dxk /\dx i .

i=l дх' k=l i=l дхkдх'

Так как dx k /\ dx i = -dxi /\ dx k , это равенство можно переписать в виде

d(df) = L(~ - ~)dxi /\dx k, i<k дх'дхk дхkдх'

откуда следует, что d(df) = о.

k=l i1 <... <i p

Заметим, что каждый член суммы представляет собой внешнее произве­

дение дифференциалов форм степени о, именно, форм Wi1 ... ip (х), ei1 (dx), ...

. . . , еi p (dx). Остается применить свойство 3) и воспользоваться тем, что для

формы степени О основное свойство доказано.