Ilin_Poznyak_-_Matanaliz

Справедливо следующее утверждение. Пусть поле р(м) диффе­

ренцируемо в тО'Чо'Х:е М области S1. Тогда nроизводная др поляр

де

в этой тО'Чо'Х:е по любому направлению е существует и может

быть найдена по формуле

где А - линейный оператор, определенный соотношением (6.42).

Докажем это утверждение. Пусть е - любое фиксированное

направление и пусть точка м' берется так, что вектор tlr = ре и Itlrl = р. Подставляя это значение tlr в соотношение (6.42) и

используя свойства линейного оператора, найдем

рр

Из соотношений (6.45) и (6.47) вытекает формула (6.46). Утвер­

ждение доказано.

Пусть р(М) - дифференцируемое в точке М области s1 поле.

Тогда

tlp = Atlr + o(ltlrl).

Найдем матрицу линейного оператора А для случая орто­ нормированного базиса i, j, k. Мы будем считать, что с этим ба­

зисом связана декартова прямоугольная система коорди­

нат Oxyz.

Обозначим через Р, Q и R координаты векторного поля р(М) в базисе i, j, k. Очевидно, согласно формуле (6.46),

Из этих формул и из соотношений (6.26) для матрицы коэффици­

ентов линейного оператора в ортонормированном базисе i, j, k

о

следует, что матрица А рассматриваемого оператора А имеет

Введем понятие дивергенции и ротора дифференцируемого

в области s1 векторного поля р(М), т. е. такого поля, прира-

164 ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ ТЕОРИИ поля ГЛ.6

Таким образом, производная др может быть вычислена либо по

де

формуле

4. Повторные операции теории поля. Будем считать,

что в области n евклидова пространства Е3 заданы скалярное

поле u (М) класса с2 1) и векторное поле р(М) класса с2 .

При этих предположениях grad u представляет собой диффе­

Для доказательства вычислим rot grad u и div rot р в декарто­

+ (д2u _ д2u)k = о.

дхду дудх

Таким образом, первое из равенств (6.54) справедливо для декар­

товой системы координат. В силу инвариантности выражения rot grad и, первое из равенств (6.54) доказано. Перейдем к до­ казательству второго равенства (6.54). Обратимся опять к де­ картовой системе координат. В этой системе, согласно (6.51),

1) Функция принадлежит классу C k в области !1, если все ее частные про­

изводные порядка k непрерывны.

§ 3 ВЫРАЖЕНИЕ ОПЕРАЦИЙ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 165

дивергенция векторного поля rot р в декартовой прямоугольной

системе координат равна сумме производных компонент этого

поля по одноименным координатам. Таким образом,

Таким образом, второе из равенств (6.54) справедливо для де­

картовой системы координат. В силу инвариантности выраже­

ния divrotp, второе из равенств (6.54) справедливо в любой си­

стеме координат.

Одной из основных повторных операций теории поля явля­ ется операция div grad и. Кратко эту операцию обозначают flu,

причем символ fl обычно называют оператором Лапласа 1) . Та­

ким образом,

Вычислим оператор Лапласа в декартовой прямоугольной системе координат. В такой системе векторное поле grad u име-

Повторные операции grad div р и rot rot р связаны соотношением

где flp представляет собой вектор, координаты которого в бази­ се i, j, k равны flP, flQ, flR (Р, Q, R-координаты векторного

поля р в базисе i, j, k). В справедливости соотношения (6.57)

читатель легко убедится самостоятельно.

§3. Выражение основных операций теории поля

вкриволинейных координатах

1.Криволинейные координаты. Пусть Sl- область ев­

клидова пространства Е3 ; Х,-У, z - декартовы координаты в этом

пространстве. Пусть далее, Sl- область евклидова пространства

Е3; х1 , х2 , х3 - декартовы координаты в jj;з.

1) п. с. Лаплас - выдающийся французский астроном, математик и фи­

зик (1749-1827).

Рассмотрим взаим~о однозначное и взаимно непрерывное

отображение области Q на область Q, которое осуществляется посредством функций

с помощью указанного отображения в области Q вводятся кри­

волинейные координаты х1 , х2 , хз . Смысл этого наименования

легко уяснить из следующих рассуждений. Во-первых, каждой

точке М(х, у, z) области Q сопоставляются три числа х1 , х2 , хз . Более точно, точка М определяется тройкой чисел х1 , х2 , хз .

Этим объясняется наименование «координаты» точки М для

чисел х1 , х2 , хз . Во-вторых, если в правых частях соотношений (6.58) фиксированы две какие-либо координаты, например х2

и хз , то при переменном х1 эти соотношения определяют в обла­

сти Q некоторую линию, отличную, вообще говоря, от прямой. Эту линию естественно называть nоор­

дин.аmн.оЙ лин.иеЙ х1 , подчеркивая тем

самым, что в точках указанной линии

меняется лишь координата х1 . В полной

строим в точке М базис Ti, T i , естественным образом связанный

с координатными линиями, проходящими через эту точку. При

собой координаты вектора касательной к линии х1 в этой точке.

Мы обозначим, этот вектор через Тl. Аналогичным способом мы

Для того чтобы векторы Тl, Т2, Тз образовали базис, нуж­ но потребовать некомпланарности этих векторов. Достаточным условием для выполнения этого требования является, очевидно,

§ З ВЫРАЖЕНИЕ ОПЕРАЦИЙ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 169

Неравенства (6.62) определяют в евклидовом пространстве jijЗ с координатами р, ср, () (или xl, х2 , хЗ) бесконечную область S1,

изображенную на рис. 6.4. Мы можем поэтому рассматривать

введение сферических координат в евклидовом пространстве ЕЗ

Рис. 6.4

как результат отображения области П пространства jijЗ в про­

странство ЕЗ с помощью формул (6.61).

Очевидно, координатные линии р (линии х1 ) представляют со­

бой лучи, выходящие из начала координат; координатные линии t.p

(линии х2 ) - окружности с центрами на оси ОZ, плоскости кото­

рых параллельны плоскости Оху, координатные линии () (линии

хЗ ) - полуокружности, центры которых находятся в начале коор­

динат и плоскости которых проходят через ось Oz (см. рис. 6.4).

Найдем векторы Тl, Т2, Тз и Tl, т2 , ТЗ. Имеем

Непосредственно можно убедиться, что базис Тl, Т2, ТЗ ортого­

нальный. Для вычисления взаимного базиса воспользуемся фор­

мулами, приведенными в п. 1 § 1 этой главы. Имеем

30. Ортого1-t.аЛ'Ь1-t.ал nрuволu1-t.еU1-t.ал система nоординат.

Криволинейную систему координат мы будем называть орто­

го1-t.ал'Ь1-t.оU, если в каждой точке области n базис Ti, определя­

емый равенством (6.59), является ортогональным. Только что

рассмотренные цилиндрическая и сферическая системы коорди­ нат представляют собой примеры ортогональных криволиней­

ных координат.

Получим выражение для векторов T i взаимного базиса для

случая ортогональной системы координат.

Введем следующие обозначения:

Величины Н1 , Н2 , НЗ обычно называются nоэффu'Цuе1-t.тамu или nараметрами Ламе 1).

Так как система координат ортогональная и тройка векторов

Тl, Т2, Тз правая, то

Используя эти соотношения и формулы, выражающие векторы

взаимного базиса через векторы тi (см. п. 1 § 1 этой главы),

получим

т = Н2Т1, Т = Н2Т2, Т = Н2Т1.

2. Выражение градиента и производной по направ­ лению для скалярного поля в криволинейных коорди­

натах. Пусть в области П, в которой введены криволинейные

координаты х1 , х2 , хз , задано дифференцируемое скалярное по­

ле и(М). При этих условиях grad u определен в каждой точке n и в каждой точке n по любому направлению е может быть

дu

вычислена производная - . Как градиент grad и, так и произ-

де

водную по направлению в данной точке М мы будем относить

к базису Ti, T i в этой точке, построение которого описано в пре­

дыдущем пункте.

1О. выlаJIcе1-t.uеe градиента сnаллр1-t.ого nолл в nрuволu1-t.еu1-t.ыlx nоординатах. После введения в области n криволинейных ко-

1) г. Ламе - французский математик (1795-1870).