Ilin_Poznyak_-_Matanaliz

§ З ВЫРАЖЕНИЕ ОПЕРАЦИЙ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 171

ординат x 1 , х2 , хЗ скалярное поле и будет, очевидно, функцией

переменных x 1 , х2 , хЗ :

и = и(х\ х2, хЗ).

Эта функция может рассматриваться как результат с;:перпози­

ции функции и(х, у, z) переменных х, у, z и функций (6.58). По­

ра Ti, то, очевидно, соотношение (6.63) может быть переписано

Используя формулы Гиббса (см. формулы (6.6)) для вектора grad и и формулы (6.64), получим

gradu = (TigradU)Ti = UiTi.

Итак, градиент скалярного поля и в криволинейных координа­

тах выражается следующим образом:

grad и = Ui Ti (Ui = ::J. (6.65)

На практике часто встречается случай ортогональной криволи­

нейной системы координат. В предыдущем пункте мы получили

(см. п. 30 предыдущего пункта) выражение для векторов T i вза­

имного базиса для ортогональной системы. Используя эти вы­

ражения и формулу (6.65), найдем для grad и в ортогональных

координатах следующую формулу:

Наряду с ортогональным базисом Ti рассматривают ортонор­

вариантные координаты единичного вектора е в базисе Ti, так

что

§ 3 ВЫРАЖЕНИЕ ОПЕРАЦИЙ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 173

По определению divp = div А = riAri. Поэтому, согласно фор­

муле (6.70), в криволинейной системе координат дивергенция векторного поля р(М) может быть вычислена по формуле

Найдем выражение для дивергенции для случая ортогональной криволинейной системы координат. Используя выражение для

векторов r i взаимного базиса для ортогональных криволиней­

ных координат и формулу (6.71), получим

divp = ~~PlTl + ~~P2T2 + ~lрзrз (Pi = :~). (6.72)

Формула (6.72) записывается также и другим способом. Обозна­

чим через pi координаты поля р в ортонормированном базисе

ei = ~ 1). Тогда после ряда преобразований выражение (6.72)

Н;

для div р примет следующий вид:

Найдем выражение ротора в ортогональной криволинейной си­

стеме координат. Используя выражение для векторов r i взаим­

ного базиса для ортогональной системы и формулу (6.74), полу-

30. выаJIcениеe для nроизводноu векторного поля по направ­ лению в криволинеuныx координатах. Воспользуемся формулой

дится.

В заключение этой главы приведем сводку формул, связы­

вающих операции взятия градиента, дивергенции и ротора с ал­

в справедливости этих формул читатель легко убедится са­

мостоятельно.

3 а к л ю ч и т е л ь н ы е з а м е ч а н и я . В этой главе мы по­

знакомились с основными операциями теории поля. При этом мы не опирались на какие-либо физические представления, по­

скольку нашей целью являлось построение математического ап­

парата теории. В следующей главе мы получим ряд важных

интегральных соотношений, связывающих некоторые операции

теории поля. Эти соотношения позволят нам указать физиче­

скую интерпретацию понятий и операций, введенных в настоя­ щей главе.

Мы докажем сначала формулу Грина для специального, но

достаточно широкого класса областей. Затем мы установим ряд

вспомогательных утверждений, которые понадобятся для дока­ зательства сформулированной теоремы.

2. Доказательство формулы Грина для специального

класса областей. Пусть D - односвязная конечная область с кусочно-гладкой границей L. Будем считать, что каждая пря­

мая, параллельная любой координатной оси, пересекает грани­ цу L не более чем в двух точках. Такие области будем называть областями типа К.

По предположению, существуют несобственные интегралы

от частных производных функций Р(х, у) и Q(x, у). Это озна­ чает, что для любой системы областей {Dn }, монотонно исчер­

пывающих область D, справедливо, например, соотношение

(аналогичные соотношения справедливы и для других частных производных функций Р(х, у) и Q(x, у)).

Опишем построение специальной системы областей {Dn},

монотонно исчерпывающих область типа К. Эта система пона­

добится нам при доказательстве

L' и L ,которые, очевидно, представляют собой графики непре­ рывных и кусочно-дифференцируемых на сегменте [а, Ь] функ­

ций Уl(Х) и У2(Х) соответственно. Отметим (см. рис. 7.1), что Уl (х) :::;; У2 (х) (равенство имеет место лишь при х = а и х = Ь).

Рассмотрим далее последовательность сегментов [аn, Ьn] та­

ких, что а < аn < ЬN < Ь, аn --+ а, ЬN --+ Ь при n --+ 00. Пусть,

кроме того, при любом n сегмент [аn, Ьn] содержится в сегменте

[аn+l, Ьn+1]. Выберем число сп > О так, чтобы графики L~ и L~

функций Уl (х) + сп и У2 (х) - сп были расположены в области D

и не пересекались.

178 формулы ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО ГЛ.7

Границей области D n является кривая, составленная из ли­

ний L~ и L~ и отрезков вертикальных прямых, проходящих через точки аn и ЬN (см. рис. 7.1). Область Dn+l строится ана­ логичным образом, только вместо сегмента [аn, ьn] берется сег­

мент [аn+l, ьn+1], а число сn+l > О выбирается меньшим числа

сп. Очевидно, что если сп --+ О, то построенная система областей

{ D n} монотонно исчерпывает область D.

Докажем следующее утверждение.

Теоре,м,а 7.2. Пусть в области D типа К функции Р(х, у)

и Q(x, у) удовлетворяют условиям теоремы 7.1. Тогда для этои области и для функции Р(х, у) и Q(x, у) справедлива формула

Грина.

Так как указанные равенства доказываются однотипно, мы про­ ведем доказательство второго из них. Рассмотрим двойной ин­

теграл

грале (7.3) выполняются все условия, при которых действует

формула повторного интегрирования. По этой формуле имеем

Левая часть соотношений (7.4) при n --+ 00 имеет предел, равный

интегралу !! ~: dx dy. В силу равномерной непрерывности

D

функции Р(х, у) в замкнутой области D, каждое из слагаемых в правой части (7. 4) имеет при n --+ 00 предел, равный для пер-

Первый из этих двух интегралов представляет собой при ука­ занном на рис. 7.1 направлении обхода границы криволинейный

интеграл

- J Р(х, у) dx,

L"

а второй интеграл - криволинейный интеграл

J Р(х, у) dx.

L'

МЫ видим, что правая часть соотношений (7.4) при n --7 (х)

имеет предел, равный

- JР(х, у) dx.

L

Таким образом, вторая из формул (7.2) доказана. Справедли­ вость первой из формул (7.2) устанавливается аналогично (нуж­

но спроецировать D на ось Оу и повторить проведенные рассу­

ждения). Теорема доказана.

3. Инвариантная запись формулы Грина. Пусть функ­

ции Р(х, у) и Q(x, у) удовлетворяют условиям теоремы 7.1 в ко­

нечной связной области D с кусочно-гладкой границей L. Опре-

делим в области D = D + L векторное поле р, координаты ко­

торого в данной декартовой прямоугольной системе координат

равны Р(х, у) и Q(x, у). Очевидно, при условиях, наложенных на функции Р(х, у) и Q(x, у), поле р будет непрерывным в обла­

сти D и непрерывно-дифференцируемым в D. Найдем ротор

этого векторного поля. Используя выражение rot р в ортонор­

мированном базисе i, j, k, получим

rotp = (a Q _ aP)k.

дх ду

Из этого соотношения получим

3 а м е ч а н и е 1. Перейдем в плоскости Оху к новому ор­

тонормированному базису i', j' и к новой декартовой системе

координат Ох'у', связанной с этим базисом. П1СТЬ векторное по­ ле р имеет в этом новом базисе координаты Р и Q'. Очевидно, в новой системе координат функции р' и Q' удовлетворяют усло­

виям теоремы 7.1. Кроме того, так как в новом базисе rotp =

= (a Q' _ aP')k то

дх' ду'