Ilin_Poznyak_-_Matanaliz

Лемма 3. Пустъ Q - 'Квадрат, L - глад'Кая 'Кривая без са­ моnересе'Ч,ений, выходящая из 'Центра Р 'Квадрата Q. Пустъ

то'Ч,ная верхняя гранъ углов, 'Которые составляют 'Касателъ­

ные 'к L с nолу'Касателъной 'к L в то'Ч,'Ке Р, равна а < 7г/8. Тогда

L nересе'Кает грани'Цу 'Квадрата Q не более 'Ч,ем в одной то'Ч,'Ке.

Доказательство. Построим угол R с раствором 2а,

207 < 2а < 7г/ 4, биссектрисой которого является полукасатель­

ная к L в точке Р, а вершиной - центр Р квадрата. Обоз­

начим через Г часть границы квадрата Q, заключенную в уг­

ле R. Очевидно, кривая L расположена внутри угла R

бы L пересекала сторону угла R в точке, отличной от Р, то на­ шлась бы касательная, параллельная этой стороне и указанная касательная составляла бы с полукасательной к L в точке Р

угол, равный а > а, что противоречит условию). Пусть L пе­

ресекает Г в двух точках М и N. Тогда на L нашлась бы точ­

ка, касательная в которой параллельна хорде МN и, согласно

лемме 3, эта касательная составляла бы с полукасательной к L

в Р угол не меньший а > а, а это противоречит условию. Лемма

доказана.

С.ледсmвие из .лемм 1 и 3. Пустъ 'Кривые L и L удовле­

творяют условиям леммы 1 и д > О - 'Ч,исло, у'Казанное в этой

лемме. Тогда 'Кривая L nересе'Кает грани'Цу любого 'Квадрата Q

с 'Центром в nроизволъной то'Ч,'Ке Р этой 'Кривой и со стороной,

менъшей V2b, не более 'Ч,ем в двух то'Ч,'Ках.

Убедимся в справедливости следствия. Пусть Р - произволь-

ная точка кривой L и л > о - число, указанное в лемме 1.

Обратимся к л-окрестности точки Р. Обе граничные точки этой

окрестности и часть L, расположенная вне л-окрестности, со­

гласно лемме 1, лежат вне любого квадрата с центром в Р и

со стороной, меньшей V2b. Поэтому рассматриваемая л-окрест­ ность (и только она) пересекается с границей квадрата Q 1).

Так как каждая из полуокрестностей рассматриваемой л-окрест­

ности точки Р удовлетворяет условиям леммы 3, то ясно, что

л-окрестность пересечет границу квадрата Q не более чем в двух

точках.

5. Специальное разбиение области D с кусочно-глад­ кой границей L. Пусть D - многосвязная конечная область, граница L которой состоит из конечного числа замкнутых ку­ сочно-гладких кривых; Р1 , Р2 , ... , Рn - угловые точки грани цЫ L. Будем считать, что на плоскости выбрана декартова пря­

моугольная система координат Оху.

1) Здесь используется теорема Жордана, утверждающая, что если две

точки непрерывной кривой L являются внутренней и внешней точками области D, то L пересекает границу D.

Мы укажем способ специального разбиения области D на подобласти. Такие разбиения понадобятся нам при доказатель­

стве теоремы 1.

1О. Убедимся, что для любого с > О можно так выбрать ква-

драты Q1, Q2, , Qn с центрами в угловых точках границы L и со сторонами, параллельными осям Ох

уи Оу (рис. 7.4), что будут выполнены

следующие условия:

также будет меньше с. Очевидно, при этом сумма периметров квадратов Qi не превышает Ас, где А - некоторая константа.

Возможность указанного выше выбора квадратов Qi выте­

кает из следующих рассуждений.

Рассмотрим л-окрестности угловых точек, подчиненные требованиям:

1.Эти л-окрестности не пересекаются.

2.Сумма длин всех л-окрестностей меньше с.

3.Точная верхняя грань углов, которые составляют каса­

тельные каждой из полуокрестностей л-окрестности с соответ­

ствующей полукасательной в угловой точке меньше а < 7г/8.

Возможность выбора таких л-окрестностей угловых точек оче­

видна. Отметим, что каждая из полуокрестностей выбранных л-окрестностей удовлетворяет условиям леммы 3. Поэтому каж­ дая из этих полуокрестностей пересекается не более чем в одной точке с границей любого квадрата с центром в соответствующей

угловой точке.

Для каждой угловой точки Pi определим число 6 > О, равное

точной нижней грани расстояний от Pi до части L, полученной

удалением из L л-окрестности точки Pi.

Обозначим 6 = min {61, 62, ... , 6n }. Ясно, что любой квад-

рат Qi с центром в Pi, длина стороны которого меньше V26,

удовлетворяет сформулированному выше условшо 1), ибо при

указанном выборе квадрата Qi для каждой из полуокрестностей

1) Достаточно малая л-окрестность УГЛОВОЙ точки Pi состоит ИЗ ДВУХ глад­

КИХ ветвей, ИСХОДЯЩИХ из ЭТОЙ точки.

ные точки полуокрестности лежат вне квадрата Qi (этим обес­

печивается единственность точки пересечения полуокрестности

с границей квадрата). Ясно также, что за счет уменьшения сто­

рон квадратов можно добиться, чтобы сумма их площадей была

меньше Е. Очевидно, сумма длин частей границы L, находящих­

ся в квадратах Qi' будет меньше G за счет специального выбора

л-окрестностей угловых точек. Таким образом, условие 2) также

выполняется при указанном выборе квадратов Qi.

20. Удалим из L те части, которые находятся в квадратах

Q. Оставшаяся после удаления часть L представляет собой на­

бор гладких кривых Li без общих точек; при этом некоторые из Li представляют собой гладкие замкнутые кривые. Отметим,

что каждая незамкнутая кривая Li состоит из внутренних точек

гладкой кривой Li, граничными точками которой будут угловые

точки L (см. рис. 7.4).

Для каждой из кривых Li воспользуемся леммой 1 преды­

дущего пункта. Пусть лi и <5; - числа, гарантированные для Li

этой леммой. При этом число <5; мы подчиним еще одному тре­ бованию - будем считать, что <5; меньше нижней грани рассто-

яний от точек Li до остальных кривых Lk. Далее обозначим

л = miП{Лl, Л2, ... , лn} и о < <5* < min{<5~, <5~, ... , <5н}, <5* < < V2<5, где <5 - число, выбранное в 10. Очевидно, л :? <5*.

Разобьем каждую кривую Li на конечное число частей дли­

ны меньше <5*. Построим квадраты Qi, центры которых нахо-

дятся в точках разбиения кривой Li, со сторонами длины <5*,

параллельными осям Ох и Оу.

30. С помощью квадратов Qi и Qi построим требуемое раз­ биение области D.

1) Удалим из D части, общие D и квадратам Qi. Оставшуюся

часть D обозначим через D c , а границу D c - через Lс. Грани­

ца Lс состоит из кривых Li и отрезков прямых, параллельных

координатным осям.

2) Обозначим через Qi общую часть квадрата Qi и области D c . Области Qi разбивают область D c на односвязные части Di 1),

граница каждой из которых состоит из прямолинейных отрез­

ков, параллельных координатным осям и, быть может, одного

криволинейного отрезка, содержащегося в одной из кривых Li и

имеющего длину меньше <5. Так как указанный криволинейный

1) Область D называется односвязной, если любая кусочно-гладкая, неса­

мопересекающаяся замкнутая кривая, расположенная в D, ограничивает область, все точки которой принадлежат D.

188 формулы ГРИНА, СТОКСА И ОСТРОГРАДСКОГО ГЛ.7

отрезок проецируется однозначно на одну из координатных осей

ниями показано разбиение D i на части D k .

6. Доказательство теоремы 7.1. Мы только что убеди­

лись, что после удаления из D частей, находящихся в квадра-

тах Qi' получается область DE: 2) с границей LE:' которая может

быть разбита на конечное число специального вида областей D k .

Докажем, что для области DE: справедлива формула Грина.

Согласно следствию в п. 3 данного параграфа для этого доста­

точно убедиться, что каждая из областей D k по отношению к некоторой специально избранной декартовой системе координат будет областью типа К.

Если D k - прямоугольник, то требуемой системой является,

например, система координат, одна из осей которой параллельна

диагонали этого прямоугольника. Пусть D k является криволи­ нейной трапецией или криволинейным треугольником. Из спо­

соба построения областей Dk следует, что кривая сторона гра­

ницы Dk удовлетворяет условиям леммы 1 п. 4 этого парагра­

фа и поэтому, согласно следствию 2 из этой леммы, однозначно проецируется на обе координатные оси специально выбранной

декартовой прямоугольной системы координат. Так как малые изменения выбора этой системы не нарушают указанного свой­

ства, то, очевидно, мы можем выбрать такую систему коорди­ нат, на обе оси которой однозначно проецируются и прямолиней­

ные части границы Dk. По отношению к этой системе координат

Dk будет областью типа К. Итак, для области DE: справедлива

1) Напомним, что криволинейной трапецией называется фигура, основа­

ния которой параллельны одной из координатных осей, одна из боковых

сторон параллельная другой координатной оси и на эту последнюю ось од­

нозначно проецируется кривая боковая сторона трапеции.

2) Напомним, что квадраты Qi выбираются по любому данному положи­

тельному Е так, чтобы сумма их площадей была меньше Е и сумма длин

частей границы L, расположенных в Qi' была также меньше Е. Ясно, что

при Е --+ О области D e исчерпывают область D.

ИЗ способа построения областей D Е следует, что при [ ---+ о левая

§2. Формула Стокса 1)

1.Формулировка основной теоремы. Пусть S - ограни­

ченная, полная, кусочно-гладкая, двусторонняя поверхность с

кусочно-гладкой границей Г 2).

Оnрестностью поверхности S будем называть любое откры­ тое множество S1, содержащее в.

Справедлива следующая основная теорема.

Теорема 1.3. Пусть в неnоторои оnрестности поверхно­

сти S фунnции Р(х, у, z), Q(x, у, z) и R(x, у, z) неnрерывнъ!

и имеют непрерывные 'Ч,астные, nроизводные первого nорядnа. Тогда имеет место следующее соотношение:

nравои 'Ч,асти интеграл представляет собоi1 сумму интегралов

по связным nомnонентам границы Г, на nоторых уnазано та­ nое направление обхода, при nотором, с у'Ч,етом выбора стороны поверхности, поверхность S остается слева.

Используя замечание 2 п. 2 § 3 гл. 4 о форме записи поверх­ ностных интегралов второго рода и обозначения Х, У, Z для углов, которые образуют нормаль к поверхности с осями ко­

ординат, можно переписать формулу Стокса (7.11) следующим

образом:

г

1)Дж. г. Стоке-известный английский физик и математик (1819-1903).

2)Отметим, что замкнутая поверхность не имеет границы.

в следующих пунктах мы докажем ряд предложений, ко­ торые понадобятся нам для доказательства сформулированной

теоремы.

2. Доказательство формулы Стокса для гладкой по­

верхности, однозначно проецирующейся на три коорди­

натные плоскости. Справедлива следующая теорема. Теоре,м,а 7.4. Пусть S - огршни'Че'Н/I-tая, nол1-tая, гладк;ая,

двусторо1-t1-tяя, од1-tосвяз1-tая nоверхность с к;усо'Ч1-tо-гладк;ои гра­ ни'Цеи г. Будем с'Читать, 'Что S од1-tоз1-tа'Ч1-tо nрое'Цируется на к;аждую из к;оординатных nлоск;остеи системы Oxyz. Пусть в нек;оторои ок;рестности S зада1-tы фу1-tк;'Ции Р, Q и R, неnрерыв-

1-tыle в этои ок;рестности и имеющие в неи 1-tеnрерыв1-tыle 'Част-

1-tыle nроизвод1-tые первого nорядк;а. Тогда справедлива формула

Сток;са (7.11).

д о к а з а т е л ь с т в о. Для доказательства обратимся к фор­

ме (7.12) записи формулы Стокса. При этом будем считать, что

единичные векторы нормали образуют острые углы с осями ко­

ординат.

Очевидно, теорема будет доказана, если будут доказаны ра-

Поскольку соотношения (7.13) доказываются однотипно, ос­

тановимся на доказательстве первого из них.

Обозначим через 1 интеграл в левой части первого из ра­

s

По условию поверхность S является гладкой и однозначно проецируется на плоскость Оху. Поэтому S представляет собой

график дифференцируемой функции z = z(x, у). В этом слу­

чае с учетом ориентации единичных нормалей к S cos У и cos Z

могут быть найдены по формулам