Ilin_Poznyak_-_Matanaliz

может быть разбита на конечное число частей, в каждой из ко­

торых может быть введена единая параметризация 1). После

этого площадь поверхности можно определить как сумму пло­

щадей указанных частей. Теорема доказана.

3 а м е ч а н и е 1. Пусть поверхность Ф кусочно-гладкая,

т. е. составлена из конечного числа гладких ограниченных пол­

ных двусторонних поверхностей. Очевидно, что поверхность Ф

квадрируема - ее площадь может быть определена как сумма

площадей составляющих ее поверхностей.

3 а м е ч а н и е 2. В процессе доказательства теоремы 5.2 мы установили, что если на поверхности Ф может быть вве­

дена единая параметризация и областью задания радиуса-век­

тора т(и, v) поверхности Ф является замкнутая ограниченная

область s1 плоскости uv, то площадь (J" поверхности может быть

найдена по формуле

{А, В, С}, определяемые соотношениями (5.10). Поскольку

то выражение (5.16) для площади поверхности можно записать

также в следующей форме:

3 а м е ч а н и е 3. Площадь поверхности обладает свойством а Д Д и т и в н о с т и: если поверхность Фразбита кусо'Чно-глад­ кои линиеи на не имеющие общих внутренних то'Чек 'Части Ф1

и Ф2, то площадь (J" поверхности Ф равна сумме (J"1 + (J"2 nло­

щадеи 'Частеи Ф1 и Ф2 . Это свойство вытекает из представления

площади с помощью интеграла и аддитивного свойства интеграла.

1) Можно воспользоваться, например, леммой 3 п. 3 предыдущего пара­

графа. Согласно этой лемме Ф можно разбить на конечное число частей,

каждая из которых однозначно проецируется на некоторую координатную

плоскость и тем самым является графиком дифференцируемой функции.

§3. Поверхностные интегралы

1.Понятия поверхностных интегралов первого и вто­ рого родов. Пусть Ф - гладкая, ограниченная полная двусто­

ронняя поверхность. Пусть на Ф задана функция f(M) точки М

поверхности Ф. Обозначим через n(М) непрерывное векторное

поле единичных нормалей к Ф.

Разобьем поверхность Ф кусочно-гладкими кривыми на ча­ сти Фi и на каждой такой части выберем произвольно точку M i .

Введем следующие обозначения: ,6. - максимальный размер ча­ стей Фi ; ai -площадь Фi ; X i , l'i, Zi -углы, которые составляет

с осями координат вектор n(Mi).

Составим следующие четыре суммы:

(5.19)

(5.20)

(5.21)

(5.22)

Для каждой из этих сумм вводится понятие предела при ,6. ---+ о.

Мы сформулируем это понятие для сумм (5.19). Для сумм (5.20), (5.21) и (5.22) понятие предела формулируется аналогичным об­

таnое 6 > О, 'Что дл.я. любых разбие'Ниu nоверх'Ности Ф nусо'Ч'Но­ гладnими nривыми 'На nо'Не'Ч'Ное 'Число 'Частеu Фi, маnсималъ'Ныu размер nоторых ,6. ме'Нъше 6, 'Независимо от выбора то'Чеn M i 'На 'Част.я.х Фi выnол'Н.я.етс.я. 'Нераве'Нство

11{Фi, Mi} - 11 < Е.

Предел 1 сумм 1 {Фi, Mi} при ,6. ---+ о называется п о в ер х­

ностным интегралом первого рода от функции f(M) по поверхности Ф и обозначается следующим образом:

Если (х, у, z) -координаты точки М на поверхности Ф, то для

ф

§ 3 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 145

Возможность нужного выбора д* гарантируется свойством

равномерной непрерывности непрерывной в ограниченной замк-

нутой области n функции VЕС- р2 и свойством интегрируемос­

ти непрерывной в области n функции f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))x

xVEG _р2.

Определим по д* > О число д > О так, чтобы любому раз­ биению поверхности Ф кусочно-гладкими кривыми на конечное число частей Фi, размеры которых меньше д, отвечало бы разби­ ение области n на конечное число частей ni , размеры которых меньше д*. Возможность выбора такого д гарантируется тем, что поверхность Ф представляет собой гомеоморфное отображение области п, и поэтому каждому разбиению Ф кусочно-гладки­ ми кривыми на конечное число частей Фi отвечает разбиение n кусочно-гладкими кривыми на конечное число частей ni . При

этом если максимальный размер частей Фi стремится к нулю,

то и максимальный размер частей ni также стремится к нулю. Рассмотрим теперь разбиение Ф кусочно-гладкими кривы­

ми на конечное число частей Фi, максимальный размер кото­

рых удовлетворяет неравенству ,6. < д, где д > О выбрано по д* указанным выше образом. Составим для этого разбиения сумму

1{Фi, Mi}' воспользовавшись ее выражением (5.19). Так как пло-

щадь ai части Фi равна JJ vЕС - р2 du dv, то, обозначая коор-

rJi

динаты точки M i в части Фi через (X(Ui, Vi), Y(Ui, Vi), Z(Ui, vi)),

получим

I(Фi, Mi)= Lf(x(Ui, Vi),Y(Ui, Vi),Z(Ui, vi))JJVEG-Р2 dudv.

rJi

Используя теорему о среднем для интегралов в правой части

последнего соотношения, мы можем, очевидно, следующим об­ разом преобразовать это соотношение:

I{Фi, Mi } - JJ f(x(u, v),y(u, v),z(u, v))VEG - Р2 dudv =

х [JE(Ui' Vi)G(Ui, Vi)-Р2(Ui, vi)-JЕ(Ui, Vi)G(Ui, Vi)-Р2(Ui, vi)]ai.

Из последнего равенства с помощью неравенств (5.28) и (5.29) мы легко получим неравенство (5.27). Теорема доказана.

3 а м е ч а н и е 1. Очевидно, что для вычисления поверхност­

ного интеграла второго рода JJf (х, у, z) cos Z da после выбора

ф

определенной стороны поверхности Ф можно использовать сле­

дующую формулу:

JJ f(x, у, z) cos Z da =

ф

= JJ f(x(u, v), у(и, v), z(u, v)))EG - р2 dudv. (5.30)

!1

Аналогичные формулы справедливы для двух других поверх­

ностных интегралов второго рода.

3 а м е ч а н и е 2. Пусть поверхность Ф является графиком

функции z = z (х, у), принадлежащей в области D своего зада-

ния классу с1 . Выберем на поверхности Ф ту сторону, для кото­

рой единичный вектор нормали n(М) поверхности составляет

функция R(x, у, z). Тогда, учитывая, что в качестве параметров u и v на поверхности берутся х и у (поверхность Ф определяет­

Отметим, что обозначение (5.31) используется и в случае, ког­ да Ф не является графиком функции z = z(x, у).

Мы будем рассматривать поверхностные интегралы второго

рода следующего вида:

JJ(PcosX +QcosY +RcosZ)da.

ф

Такие интегралы мы будем обозначать также следующим обра­

зом:

JJ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy.

ф

3 а м е ч а н и е 3. Понятия поверхностных интегралов пер­

вого и второго родов естественно распространяются на случай,

когда поверхность Ф является кусочно-гладкоЙ. Для таких по­

верхностей, очевидно, также справедлива доказанная в этом

пункте теорема существования.

3. Поверхностные интегралы второго рода, не завися­ щие от выбора декартовой системы координат. Из опреде­

ления поверхностных интегралов первого и второго родов следу­

ет, что интеграл первого рода не зависит от выбора декартовой

системы координат в пространстве, тогда как интегралы второ­

го рода зависят от ее выбора, ибо при изменении системы коор­

динат меняются значения косинусов углов, которые составляет

нормаль n(М) с осями координат.

В случае, когда на поверхности задана векторная функция, можно указать более общий подход к понятию поверхностного

интеграла второго рода, позволяющий в определенном смысле

говорить о независимости значения этого интеграла от выбора

декартовой системы координат в пространстве.

Итак, пусть на гладкой ограниченной полной двухсторонней

поверхности Ф задана непрерывная векторная функция r (М) . Выберем на Ф определенную сторону и обозначим через n(М)

векторное поле единичных нормалей к Ф.

Очевидно, скалярное произведение т(М)n(М) представляет

собой непрерывную скалярную функцию, заданную на поверх­ ности Ф и поэтому не зависящую от выбора декартовой системы координат в пространстве. Следовательно, поверхностный инте­

грал первого рода от этой функции

JJт(М)n(М) da

ф

не зависит от выбора декартовой системы координат в простран­

стве. Обратимся к координатной записи скалярного произведе­

ния т(М)n(М), считая при этом, что вектор т(М) имеет ко­ ординаты Р, Q, R. Так как координаты вектора n(М) равны

cos Х, cos У, cos Z, то

т(М)n(М) = PcosX + QcosY + RcosZ

ипоэтому

JJт(М)n(М) da = JJ(PcosX + QcosY + RcosZ) da.

фф

ГЛАВА 6

ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ ТЕОРИИ ПОЛЯ

В этой главе рассматриваются скалярные и векторные поля. Исследуются основные операции теории поля.

§1. Преобразования базисов и координат. Инварианты

1.Взаимные базисы векторов. Ковариантные и кон­ травариантные координаты векторов. Пусть Ti, i=l, 2, 3,-

Символ bf называется символом Кронекера З).

Возникает вопрос о существовании и единственности взаим­

ного базиса. Ответ на этот вопрос утвердительный: для данного

базиса Ti существует единстве'Н/I-tЫU взаимныu базис T k .

Убедимся, например, что вектор т1 определяется единствен­

ным образом. Согласно (6.1) этот вектор ортогонален векторам

Т2 и тз. Этим однозначно определяется линия действия векто­

ра тl. Затем из условия ТIт1 = 1 единственным образом опреде­ ляется сам вектор т1 . Аналогично однозначно строятся векто­ ры т2 и тЗ. Чтобы убедиться, что векторы т1 , т2 , тЗ образуют

базис, достаточно доказать, что т1 т2тЗ -1- о. Согласно теореме

о произведении определителей

1) Напомним, что векторы Tl, Т2, Тз образуют базис, если они некомпла­

нарны, т. е. если их смешанное произведение Tl Т2 ТЗ не равно нулю.

2) Всюду В этой главе символом аЬ обозначается скалярное произведение

векторов а и Ь, символом аЬс - смешанное произведение векторов а, Ь и с,

символом [аЬ] - векторное произведение векторов а и Ь.

з) л. Кронекер-немецкий математик (1823-1891).

мерном пространстве могут быть найдены с помощью соотно­

шений

Числа Х1, Х2, Хз называются 'х:оварuанmныluu координатами

вектора х, а х1 , х2 , хз - 'х:онmраварuанmныluu координатами х.

Эти наименования будут разъяснены в следующем пункте. Для сокращения записи формул, в которых фигурируют од­

нотипные слагаемые (примером таких формул могут служить соотношения (6.3)), мы будем пользоваться в дальнейшем со­

глашением о суммировании, которое заключается в следующем.

Пусть имеется выражение, составленное из сомножителей. Если

в этом выражении имеются два одинаковых буквенных индекса,

из которых один верхний, а другой нижний, то считают, что по

этим индексам производится суммирование: индексам последо­

вательно даются значения 1, 2, 3, а затем складываются полу­ ченные слагаемые. Например,

= (gl1 x1x1 + Ю2х1х2 + юзх1хЗ) +

+(g21 x2x1 + g22 x2x2 + g2зх2хЗ) +

+(gЗ1хЗх1 + gЗ2хЗх2 + gззхЗхЗ).

Спомощью соглашения о суммировании формулы (6.3) записы­

ваются следующим компактным образом:

(6.4)

3 а м е ч а н и е 2. Верхние и нижние одинаковые индексы, о

которых говорилось В соглашении о суммировании, обычно на­ зываются индексами суммирования. Ясно, что индексы сумми­ рования могут обозначаться любыми буквами; при этом выра­ жения, в которых они фигурируют, не изменяются. Например,

XiTi и XkTk представляет собой одно и то же выражение.