Ilin_Poznyak_-_Matanaliz

Тем самым доказано существование повторного интеграла и ра­

венство (2.13). Теорема доказана.

3 а м е ч а н и е. В теореме 2.6 можно поменять х и у ролями,

т. е. можно предположить существование двойного интеграла и

существование для любого у из сегмента с :::;; у :::;; d однократного

интеграла

ь

К(у) = J f(x, у) dx.

а

Тогда теорема будет утверждать существование повторного ин­

2. Случай произвольной области.

Теорема 2.7. Пусть въшолнены следующие условия: 1) об­

ласть D ограни'Чена, зам'Кнута и та'Кова, 'Что любая прямая,

вание двойного интеграла

JJ f(x, у) dx dy

D Рис. 2.4

и существование для люБО20 х одно'Кратного интеграла

У2(Х)

J Лх, у) dx dy.

Уl (х)

При этих условиях существует повторный интеграл

Х2 У2(Х)

J dx J Лх, у) dxdy

хl Уl(Х)

3 а м е ч а н и е 2. В случае, если область D не удовлетворяет

требованиям теоремы 2.7 или замечания 1 к этой теореме, часто удается разбить эту область на сумму конечного числа областей

у

у

х

такого типа, не имеющих общих внутренних точек. Тогда интег­ рал по области D, в силу свойства аддитивности (см. свойство 1о

из § 2), равен сумме интегралов по соответствующим областям.

Так, область D, изображенную на рис. 2.7, удается разбить на сумму трех областей D 1 , D 2 и Dз , к каждой из которых приме­ нима или теорема 2.7 или замечание 1.

§ 4. Тройные и n-кратные интегралы

Изложенная нами теория двойного интеграла без каких-либо

осложнений и новых идей переносится на случай т рой н о г о

и вообще n-к р а т н о г о интеграла. Остановимся на основных

моментах теории n-кратного интеграла.

Прежде всего договоримся считать, что объем n-мерного пря­

моугольного параллелепипеда по определению равен произведе­

нию длин всех его ребер, выходящих из одной вершины.

Далее договоримся называть элементарным телом множес­ тво точек n-мерного пространства, представляющее собой сум­

му конечного числа n-мерных прямоугольных параллелепипе­

дов, не имеющих общих внутренних точек и имеющих ребра,

параллельные осям координат.

Объем любого элементарного тела нам известен и равен сум­

ме объемов составляющих его параллелепипедов.

Пусть теперь D - произвольная ограниченная область в n-мерном евклидовом пространстве. Назовем н и ж н и м о б ъ­ е м о м области D точную верхнюю грань V объемов всех со­

В полной аналогии со случаем плоской области доказывается

следующее утверждение.

Для того "tтобы n-мерная областъ D была nубuруемоu, необ­

ходимо u aocmamo"tHO, "tтобы для любого nОЛОJICuтелъного "tuc- ла Е нашлuсъ два элементарных тела, одно uз nоторых содер­ JlCUm D, а другое содеРJICuтся в D, разностъ обвемов nоторых по модулю менъше "tuсла Е.

П О в е р х н о с т ь ю (или м н о г о о б раз и е м) n-м е р н 0- г о о б ъ е м а н у л ь договоримся называть замкнутое множе­

ство, все точки которого принадлежат элементарному телу как

угодно малого n-мерного объема.

Очевидно, что n-мерная область D кубируема тогда и только тогда, когда граница этой области представляет собой многооб­ разие n-мерного объема нуль.

Сначала n-кратный интеграл от функции n переменных f(Xl' Х2, ... , хn) определяется в n-мерном прямоугольном па­

раллелепипеде R, ребра которого параллельны осям координат. С этой целью мы производим разбиение каждого из n ребер

параллелепипеда R на конечное число частичных сегментов и таким путем получаем разбиение Т параллелепипеда R на ко-

нечное число частичных n-мерных параллелепипедов 2).

Для указанного разбиения Т в полной аналогии со случаем n = 2 определяются интегральная, верхняя и нижняя суммы

любой ограниченной функции f(Xl' Х2, ... , хn).

1)Неравенство 1::: ~ V доказывается точно так же, как неравенство Е ~ р

вп. 1 § 2 гл. 11 вып. 1.

2)Можно сказать, что разбиение Т осуществляется с помощью конечного

числа (n l)-мерных гиперплоскостей, параллельных координатным осям.

n-кратный интеграл от функции f(Xl' Х2, ... , хn) по парал­

лелепипеду R определяется как предел интегральных сумм при стремлении к нулю длины наибольшей из диагоналей частичных

n-мерных параллелепипедов.

Как и для случая n = 2, теория Дарбу устанавливает необ­

ходимое и достаточное условие интегрируемости в следующей

форме: длл и'Нтегрируемости фУ'Н1\;'Ции f в nараллелеnиnеде R 'Необходимо и достато'Ч'Но, 'Чтобы длл любого G > О 'Ншшлосъ раз­

бие'Ние Т nараллелеnиnеда R, длл 1\;оторого раз'Ностъ верх'Ней и HU;)fCHeu сумм была ме'Нъше с.

После этого легко определить n-кратный интеграл от функ­ ции f по произвольной замкнутой ограниченной n-мерной обла­

сти D, граница которой имеет n-мерный объем нуль.

Этот интеграл определяется как интеграл по содержащему

область D n-мерному прямоугольному параллелепипеду R (с ребрами, параллельными координатным осям) от функции F,

D

Однако для сокращения записи там, где это не будет вы­

зывать недоразумений, мы будем обозначать интеграл (2.20)

D

ный интеграл по n-мерной области D.

Точно так же, как и для случая n = 2, доказывается интегри­

руемость по n- мерной области D любой функции f, обладающей

в области D 1-с в о й с т в о м (т. е. ограниченной в области D

функции, все точки разрыва которой принадлежат элементар­

ному телу как угодно малого n-мерного объема). Вообще изме­

нение интегрируемой функции f на множестве точек n- мерного

объема нуль не изменяет величины интеграла от этой функции. Для определения n-кратного интеграла можно использовать разбиение области D при помощи конечного числа произволь­ ных многообразий объема нуль на конечное число частичных областей произвольной формы. В полной аналогии с теоремой

2.5 доказывается, что такое общее определение n-кратного ин­

теграла эквивалентно указанному выше определению.

1) Это произведеIШе обычно называют элементом объема в пространстве Еn .

§ 5 ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В n-КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ 77

в заключение отметим, что для n-кратного интеграла оста­ ются справедливыми свойства 10_70, сформулированные в § 2

для случая двойного интеграла.

В частности, JJ ... J1 . dX1 dX2 ... dx n равен n-мерному объ­

D

ему V(D) области D.

Кроме того, как и для случая n = 2, справедливо следующее

у т в е р ж Д е н и е.

Пусть фун'Кци-я ЛХ1, Х2, ... ,хn) интегрируема в ограни­

'Ченнои 'Кубируемоu области D. Пусть далее пространство Еn nо'Крыто сет'Кои n-мерных 'Кубов с ребром h; С1, С2, ... , Cn(h) -

те 'Кубы у'Казанноu сет'Ки, 'Которые цели'Ком содеРJICатс-я в D;

§ 5. Замена переменных в n-кратном интеграле

Целью настоящего параграфа является обоснование форму­

лы замены переменных в n-кратном интеграле.

Устанавливаемая формула является одним из важнейших

средств вычисления n-кратного интеграла.

Предположим, что функция f(Y1, У2, ... , Уn) допускает су­

ществование n-кратного интеграла

по некоторой ограниченной замкнутой кубируемой области D

в пространстве переменных У1, У2, ... , уn. Предположим далее,

что от переменных У1, У2, ... , уn мы переходим к новым пере­

менным Х1, Х2, ... , Хn , т. е. совершаем преобразование

У1 = ф1 (Х1, Х2, У2 = Ф2(Х1, Х2,

(2.23)