Ilin_Poznyak_-_Matanaliz

будет утверждать, что для любой кусочно-непрерывной на сег­

менте -7Г ~ Х ~ 7г функции f(x) тригонометрический ряд Фурье

этой функции сходится к ней на указанном сегменте в среднем.

Оnреде.ле1-tuе 2. ОртонормировШН/I-tая система {1/'k} назы­

вается n о л н о й, если, 'Кроме нулевого элемента, не существу­

ет ни'Ка'Кого другого элемента f данного ев'Клидова пространст­ ва, 'Который был бы ортогонален 'Ко всем элементам 1/'k систе­

мы {1/'k}.

Иными словами, система {1/'k} называется полной, если вся­

кий элемент f, ортогональный ко всем элементам 1/'k системы

{1/'k} , является нулевым элементом.

Теоре,м,а 10.7. Вся'Кая зам'Кнутая ортонормированная си­

стема {1/'k} является полной.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть система {1/'k} является замкну­

той, и пусть f - любой элемент данного евклидова пространства,

ортогональный ко всем элементам 1/'k системы {1/'k}.

Тогда все коэффициенты Фурье!k элемента f по системе {1/'k}

равны нулю, и, стало быть, в силу равенства Парсеваля (10.24) и Ilfll = О. Последнее равенство (в силу аксиомы 10 для нормы)

означает, что f = О. Теорема доказана.

3 а м е ч а н и е 3. Мы доказали, что в произвольном евкли­

ДОВОМ пространстве из замкнутости ортонормированной систе­

мы вытекает ее полнота. В гл. 11 будет приведен пример, по­

казывающий, что в произвольном евклидовом пространстве из

полноты ортонормированной системы, вообще говоря, не выте­

кает замкнутость этой системы. Там же будет доказано, что для

весьма важного класса евклидовых пространств - так называ­

емых гильбертовых пространств - полнота ортонормированной

системы эквивалентна ее замкнутости.

Теоре,м,а 10.8. Для вся'Кой полной (и тем более для вся'Кой зам'Кнутой) ортонормированной системы {1/'k} два разли'Ч,ных

элемента f и g рассматриваемого ев'Клидова пространства не могут иметь одина'Ковые ряды Фуръе.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если бы все коэффициенты Фурье элементов f и g совпадали, то все коэффициенты Фурье раз­ ности f - g были бы равны нулю, т. е. разность f - g была бы

ортогональна ко всем элементам 1/'k полной системы Но это

означало бы, что разность f - g является нулевым элементом, т. е. означало бы совпадение элементов f и g. Теорема доказана.

На этом мы заканчиваем рассмотрение общего ряда Фурье по

произвольной ортонормированной системе в любом евклидовом

пространстве.

Наша очередная цель - детальное изучение ряда Фурье по

тригонометрической системе (10.11).

В самом деле, достаточно взять функцию Р(х) совпадаю­ щей с f (х) всюду, кроме достаточно малых окрестностей точек разрыва функции f (х) и точки х = 7Г, а в указанных окрестно­ стях взять Р(х) линейной функцией так, чтобы Р(х) являлась непрерывной на всем сегменте [-7Г, 7Г] И удовлетворяла условию Р(-7Г) = Р(7Г).

Так как кусочно-непрерывная функция и срезающая ее ли­ нейная функция являются ограниченными, то, выбирая указан­

ные окрестности точек разрыва f(x) и точки х = 7г достаточно малыми, мы обеспечим выполнение неравенства (10.35).

По теореме Вейерштрасса 10.9 для функции Р(х) найдется тригонометрический многочлен Т(х) такой, что для всех х из сегмента [-7Г, 7Г] справедливо неравенство

Из (10.35) и (10.37) и из неравенства треугольника для норм

IIJ(x) - Т(х) 11 ~ Ilf(x) - Р(х) 11 + IIF(x) - Т(х) 11

вытекает неравенство (10.34). Теорема доказана.

3 а м е ч а н и е 1. Из теорем 10.10 и 10.7 сразу же вытекает,

что тригонометри"lесnал, система (1 0.11) л,влл,етсл, полной. От-

сюда в свою очередь вытекает, что система { Лsin nх} (n =

= 1, 2, ... ) л,влл,етсл, полной на МНОJlCестве всех фунn'Ций, nу­ co"lho-неnреръtвныlx на сегменте [О, 7Г] (или соответственно на сегменте [-7Г, О]). В самом деле, всякая кусочно-непрерывная на сегменте [О, 7Г] функция Лх), ортогональная на этом сегмен-

те всем элементам системы { Лsin nх}, после нечетного про­

должения на сегмент [-7Г, О] оказывается ортогональной на сег­ менте [-7Г, 7Г] В С е м элементам тригонометрической системы (10.11). В силу полноты системы (10.11) эта функция равна нулю на [-7Г, 7Г], а стало быть, и на [О, 7Г]. Совершенно аналогично до-

казывается, что система ~, Лcos nх (n = 1, 2, ... ) л,влл,ет­

сл, полной на МНОJlCестве всех фунn'Ций, nyco"lho-неnрерыlнъtхx

на сегменте [О, 7Г] (или соответственно на сегменте [-7Г, О]).

3 а м е ч а н и е 2. Можно показать, что среди ортонормированных сис­ тем, указанных в § 1, системы, образованные с помощью полиномов

Лежандра, полиномов Чебышева и функций Хаара, являются замкнуты­ ми, а система Радемахера замкнутой не является.

3. Следствия замкнутости тригонометрической сис­

темы.

Следствие 1. Для любой 'Х:усо'ч//-tо-неnрерывной на сегмен­

те [-К, К] фУН'Х:'ЦUU f(x) сnраведлuво равенство Парсе-

(вытекает из теоремы 10.5).

Следствие 2. ТрuгонометРU"lес'Х:uй ряд Фуръе любой 'Х:у­ co"lho-неnрерыlнойй на сегменте [-К, К] фУН'Х:'ЦUU f(x) сходuтся

nО"lленно интегрироватъ на этом сегменте (вытекает из пре­ дыдущего следствия и из теоремы 1.11 гл. 1).

Следствие 4. Еслu две 'X:YCO"lho-неnрерblВНblе на сегмен­

те [-К, К] фУН'Х:'ЦUU f(x) U g(x) uмеют одина'Х:овые тригоно­

MempU"lec'X:ue рядыl Фуръе, то этu фУН'Х:'ЦUU совпадают всюду

на этом сегменте (вытекает из теоремы 10.8).

Следствие 5. Еслu трuгонометРU"lес'Х:uй ряд Фуръе 'X:YCO"l-

но-непрерывной на сегменте [-К, К] фУН'Х:'ЦUU f (х) сходuтся рав­ номерно на не'Х:отором содержащемся в [-К, К] сегменте [а, Ь], то он сходuтся на сегменте [а, Ь] именно'Х: фУН'Х:'ЦUU f(x).

Доказательство. Пусть Р(х) -та функция, к которой сходится равномерно на [а, Ь] тригонометрический ряд Фурье функции f(x). Докажем, что Р(х) == f(x) всюду на сегменте [а, Ь]. Так как из равномерной сходимости на сегменте [а, Ь] вы­ текает сходимость в среднем на этом сегменте (см. гл. 1, § 2, п. 3), то тригонометрический ряд Фурье функции f(x) сходится к функции Р(х) на сегменте [а, Ь] в среднем. Это означает, что

для произвольного Е > О найдется номер n1, начиная с которо­

го n- я частичная сумма тригонометрического ряда Фурье Sn (х)

удовлетворяет неравенству

а

с другой стороны, в силу следствия 2 последовательность

Sn(x) сходится К f(x) в среднем на всем сегменте [-К, К], а ста­ ло быть, и на сегменте [а, Ь], т. е. для фиксированного нами

сюда на основании первой аксиомы для нормы заключаем, что

Р(х) - лх) есть н у л е в о й э л е м е н т пространства кусоч­ но-непрерывных на [а, Ь] функций, т. е. функция, тождественно равная нулю на сегменте [а, Ь]. Следствие 5 доказано.

3 а м е ч а н и е 1. Конечно, в следствии 5 сегмент [а, Ь] мо­ жет совпадать со всем сегментом [-п, п], т. е. из равномерной

сходимости ря,да Фуръе фун'Х:'Ции лх) на всем сегменте [-п, п]

следует, 'Ч,то этот ря,д сходится на у'Х:азанном сегменте имен­

но 'Х: фун'Х:'Ции J( х).

3 а м е ч а н и е 2. Совершенно аналогичные следствия будут справед­

ливы и для ряда Фурье по любой другой замкнутой ортонормированной си­

стеме в пространстве кусочно-непрерывных на произвольном сегменте [а, Ь] функций со скалярным произведением (10.2) и нормой (10.8). Примерами таких систем могут служить указанные в § 1 ортонормированные системы,

связанные с полиномами Лежандра и Чебышева, и система Хаара.

§ 4. Простейшие условия равномерной сходимости и

почленного дифференцирования тригонометрического ряда Фурье

1. Вводные замечания. В математической физике и в ряде

других разделов математики существенную роль играет вопрос

об условиях, при выполнении которых тригонометрический ряд

Фурье функции f (х) сходится (к этой функции) в данной точке х сегмента [-п, п].

Еще в конце прошлого века было известно, что существу­

ют непрерывные на сегменте [-п, п] функции, удовлетворяю­ щие условию f( -п) = f(п), тригонометрические ряды Фурье которых расходятся в наперед заданной точке сегмента [-п, п] (или даже расходятся на бесконечном множестве точек сегмен­

та [-п, п], всюду плотном на этом сегменте) 1) .

1) Первый пример такой функции был построен французским математи­

ком Дю Буа Раймоном в 1876 г.

Таким образом, одна непрерывность функции f(x) на сег­ менте [-7Г, 7Г] без дополнительных условий не обеспечивает не

только равномерной сходимости тригонометрического ряда

Фурье этой функции, но даже сходимости этого ряда в наперед

заданной точке указанного сегмента.

В этом и в следующем параграфах мы выясним, какие тре­

бования следует добавить к непрерывности функции f (х) (или ввести взамен непрерывности f (х)) для обеспечения сходимос­

ти тригонометрического ряда Фурье этой функции в заданной точке, а также для обеспечения равномерной сходимости ука­

занного ряда на всем сегменте [-7Г, 7Г] или на какой-либо его

части.

При изучении сходимости тригонометрического ряда Фурье

возникает и другой вопрос: должен ли тригонометрический ряд

Фурье любой кусочно-непрерывной (или даже строго непрерыв­ ной) на сегменте [-7Г, 7Г] функции f( х) сходиться х о т я б ы в

о Д н о й т о ч к е этого сегмента?

Положительный ответ па этот вопрос был получен только

в 1966 г.

Этот ответ является следствием фундаментальной теоремы,

доказанной в 1966 г. Л. Карлесоном 1) и решившей знамени­ тую проблему Н. Н. Лузина 2), поставленную еще в 1914 г.:

трuгонометрu'Ч,еС1\;UЙ ряд Фуры любой фУН1\;'ЦUU f(x), для 1\;0-

торой существует nонuмаемый в смысле Лебега uнтеграл

1г

J f2(x) dx, сходuтся 1\; этой фУН1\;'ЦUU nо'Ч,тu всюду на сег-

-1Г

менте [-7Г, 7Г] 3).

Из теоремы Карлесона вытекает, что ряд Фурье не только любой кусочно-непрерывной, но и любой интегрируемой на сег­

менте [-7Г, 7Г] В собственном смысле Римана функции f(x) схо­ дится к этой функции почти всюду на сегменте [-7Г, 7Г] (ибо для

1г

такой функции существует интеграл J f2 (х) dx в смысле Рима-

-1Г

на, а стало быть, и в смысле Лебега).

1) Л. Карлесон - современный шведский математик. Полное доказатель­

ство теоремы Карлесона можно найти в сборнике переводных статей: «Ма­

тематика». 1967. Т. П, NQ 4. С. 113-132.

2) Николай Николаевич Лузин - советский математик, основатель совре­

менной московской математической школы по теории функций (1883-1950).

Постановку проблемы Лузина, решенной Карлесоном, и других его проблем можно найти в книге Н. Н. Лузина «Интеграл и тригонометрический ряд». М.; Л.: Гостехиздат, 1951.

3) Определение интеграла в смысле Лебега и сходимости почти ВСЮДУ на

данном сегменте см. в гл. 8 ЭТОЙ книги.