Дифференцируя выражение для TuuT v по V, а выражение TuvT v
по и и вычитая полученные результаты, найдем
2
l
Сии + Fuv -
1
TuuT vv - T uv = --
-Evv ·
2
2
Подставляя найденное выражение и выражения для скалярных
произведений производных в правую часть (12.59), мы убедимся
всправедливости теоремы.
Взаключение приведем выражение для гауссовой кривиз
ны К через коэффициенты первой квадратичной формы и их
производные:
!Е
и
2
Е
F
G
о
!Е
!С
и
2
v
2
1
!Е
v
Е
F
2
!С
и
F
G
2
1) При преобразовании используется следующее тождество:
ala2
a 1b2
alC2
(alblCl)(a2b2C2) = b 1a2
b 1b2
b1 c2
Cla2
c 1 b2
C1C2
15*
ПРИЛОЖЕНИЕ
О ВЫЧИСЛЕНИИ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ
ПО ПРИБЛИЖЕННО ЗАДАННЫМ КОЭФФИЦИЕНТАМ ФУРЬЕ
1. Задача о суммировании тригонометрического ряда Фурье с приближенно заданными коэффициентами
Фурье. Предположим сначала, что функция f(x) удовлетворя
ет условиям, обеспечивающим равномерную сходимость ее три
гонометрического ряда Фурье
00
а0
+ 2)ak cos kx + bk sin kx)
(П.1)
2
k=l
на всем сегменте [-7Г, 7Г]. Предположим далее, что вместо точ
ного
значения тригонометрических коэффициентов Фурье ak
и bk
это~ функции нам известны лишь приближенные значе-
ния ak и bk указанных коэффициентов Фурье. Именно этот слу
чай весьма часто встречается в прикладных задачах.
Будем считать, что ошибки при задании приближенного зна чения тригонометрических коэффициентов Фурье малы в смыс
ле нормы пространства [2 1). Это означает, что справедливо
неравенство
00
(ао ~ао)2 + 2)ak _ ak)2 + (bk - 'bk )2 ~ д2,
(П.2)
k=l
где д - достаточно малое положительное число, которое мы будем называть п о г реш н о с т ь ю в задании коэффициентов Фурье.
Естественно возникает важная для приложений з~дача: по
приближенным значениям коэффициентов Фурье ak и bk восста
новить в данной фиксированной точке х функцию f (х) с ошиб кой с:(д), стремящейся к нулю при д ---+О.
Покажем, что прямым суммированием ряда Фурье с прибли женно заданными коэффициентами Фурье
00
~o + 2)ak cos kx +'bk sin kx),
(П.З)
k=l
1) Определение пространства [2 и нормы его элементов см. в п. 1 § 1 гл. 11.
о ВЫЧИСЛЕНИИ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ
453
вообще говоря, невозможно добиться восстановления функции f(x) в данной точке х ни с какой степенью точности.
Фиксируем произвольно малую погрешность д > О и поло-
жим С = ЮL 21. Предположим, что погрешности в задании k=l k
коэффициентов Фурье имеют следующий конкретный вид:
~
О
,ak -
~
Ь
k -
~ь
5
при
k
1 2
...
ао - ао =
ak =
k = kCV2
="
Для заданных с такими погрешностями коэффициентов Фурье,
очевидно, будет справедливо соотношение (П.2) со знаком точ
ного равенства. Вместе с тем при замене точного ряда Фурье
(П.1) рядом Фурье с приближенно заданными коэффициентами (П.З) мы совершим ошибку, равную сумме ряда
00
2)(ak - ak) cos kx + (bk - bk ) sinkx]. k=l
В точке х = О эта ошибка равна сумме ряда
00
00
2)ak - ak) =
C~ L i = 00
k=l
k=l
(сколь бы малой мы не фиксировали погрешность д > О).
Таким образом, сколь бы быстро ни сходился точный триго
нометрический ряд Фурье (П.1) к функции f(x) и как бы мала ни была погрешность д в соотношении (П.2), задающем степень
отклонения приближенных коэффициентов Фурье от точных, прямым суммированием ряда Фурье с приближенно заданными
коэффициентами Фурье (П.З) невозможно восстановить функ цию f(x) в заданной точке сегмента [-п, п] ни с какой степенью
точности.
Фактически мы доказали, что как бы мало ни было число д>
> О, характеризующее уклонение друг от друга в смысле (П.2)
двух совокупностей коэффициентов Фурье {ak' bk } и {ak' bk },
отвечающие этим двум совокупностям прямые суммы тригоно
метрических рядов Фурье (П.1) и (П.З) могут как угодно сильно
отличаться друг от друга.
Такого рода задачи, для которых как угодно малое уклоне
ние в задании исходных данных (в рассмотренном нами случае
такими исходными данными является совокупность коэффици
ентов Фурье) может вызвать как угодно большое уклонение от вечающих этим исходным данным решений (в рассмотренном
нами случае под решением понимается прямая сумма тригоно
метрического ряда Фурье), часто встречаются в математике и
454 ПРИЛОЖЕНИЕ
в приложениях и называются н е к орр е к т н о п о с т а в л е н
н ы М и з а Д а ч а м и.
Иными словами, рассмотренная нами задача о прямом сум мировании тригонометрического ряда Фурье является некор
ректно поставленной.
Общий метод решения широкого класса некорректно постав ленных задач разработан советским математиком А. Н. Тихоно-
вым и называется м е т о Д о м р е г у л я риз а Ц и и 1).
Здесь мы остановимся на методе регуляризации лишь при
менительно к рассмотренной нами задаче о суммировании три
гонометрического ряда Фурье.
2. Метод регуляризации для задачи о суммировании тригонометрического ряда Фурье. В применении к задаче о
суммировании тригонометрического ряда Фурье с приближенно заданными коэффициентами Фурье метод регуляризации при
водит к алгоритму, заключающемуся в рассмотрении в качестве
приближенного значения функции f(x) не суммы ряда (П.З), а
суммы ряда
00
0:0
+ '"'(ak cos kx +bk sin kx) 1
,
(ПА)
2
~
1 +k2 a
k=l
получающегося посредством умножения k-ro
члена ряда (П.З)
~
1
, в котором пара-
на «регуляризирующии» множитель
1
+ k2 a
метр представляет собой величину того же порядка малости,
что и погрешность д в соотношении (П.2), задающем уклонение
коэффициентов Фурье.
Для обоснования указанного алгоритма мы докажем следу
ющую основную теорему.
Теоре,м,а А. Н. Тихонова. Пусть фун'К'И,ия f(x) nринад-
леJlCат 'Классу L 2[-K,7Г] и непрерывна в данной фи'Ксированной
то'Ч'Ке х сегмента [-7Г, 7Г]. Тогда для 'КаJlCдого д > О и для 0:, имеющего тот JlCe nоряд~'К малости, 'Что и д, сумма ряда (ПА)
с 'Коэффи'И,иентами ak и bk, удовлетворяющими соотношению (П.2), совпадает в данной фи'Ксированной то'Ч'Ке х с f(x) с ошиб-
'КОЙ Е(д), стремящейся 'К нулю при д --7О 2).
Д О К а з а т е л ь с т в о. Не ограничивая общности, будем счи
тать, что о: = д (ибо случай о: = С(д)· д, где О < С1 ~ С(д) ~ С2, рассматривается совершенно аналогично). Достаточно доказать, что для любого Е > О найдется до (Е) > о такое, что в данной
1) За цикл работ, посвященных решению некорректно поставленных за
дач, академик А. Н. Тихонов удостоен в 1966 г. Ленинской премии.
2) Сформулированная теорема является частным случаем доказанного
А. Н. Тихоновым значительно более общего утверждения.
о ВЫЧИСЛЕНИИ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ
455
фиксированной точке х при всех положительных д, удовлетво ряющих условию д ~ до, справедливо неравенство
(х)
ао + "[ak cos kx +'bksinkx] _1_ - f(x) ~ Е.
(П.5)
2
~
1 + k2б
k=l
Фиксируем произвольное Е > о. Убедимся сначала в том, что
для фиксированного нами Е найдется число 151 (Е) > О такое, что
для всех положительных д, удовлетворяющих условию д ~ 151 (Е),
справедливо неравенство
(П.6)
Для установления (П.6) достаточно убедиться в том, что сумма, стоящая в левой части (П.6), стремится к нулю при д ---+0+0.
Разбивая сумму, стоящую в левой части (П.6), на две сум
мы, в первую из которых входят слагаемые с номерами k, удов
летворяющими условию k < 1/15, а во вторую - все остальные
слагаемые, и применяя к каждой из этих двух сумм неравен
ство Коши-Буняковского, будем иметь 1)
(х)
ао ; ао + L [(ak - ak) coskx + (bk- bk) sinkx] 1 ~
--
. _+
1 k2б
k=l
Учитывая соотношение (П.2) и принимая во внимание, что
"~ ~ = 0(153)
k 4
k?l/J
(например, в силу интегрального признака Коши-Маклорена, см. неравенство (13.38) из гл. 13 вып. 1), мы получим, что в
правой части (П.7) стоит величина О(vд) + 0(153/2).
Тем самым неравенство (П.6) можно считать доказанным, и для установления неравенства (П.5) нам достаточно доказать,
1)
1
1
1
При этом МЫ также учитываем, что --- ::;; 1, --- ::;;- .
1
+ k2 б
1
+ k2б
k2б
456
ПРИЛОЖЕНИЕ
что для фиксированного
нами Е > О найдется число д2 (Е) >
> о такое, что для всех положительных д, удовлетворяющих
условию д ~ д2 (Е), справедливо неравенство
00
аО + '"""(ak cos kx + bk sinkx)_l- - f(x)
< ~E.
(П.8)
2
~
1 +k2 5
4
k=l
Так как по условию функция J(x) непрерывна в данной фик
сированной точке х, то для фиксированного нами Е > О можно
фиксировать т) > о такое, что для всех значений У, удовлетво
ряющих условию Iy - xl < Т), будет справедливо неравенство
IJ(y) - J(x)1 < ~.
(П.9)
4
Положим теперь I = l / уд и рассмотрим для фиксированной
нами точки х и фиксированного числа т) > о функцию vx (у),
определенную на полусегменте х -
т) < У ~
х - т) + 27Г равен
ством 1)
т) < У < х + Т),
iKe-,lх-уl
при
х -
vx(Y) = { 2
х + т) ~ У ~ х -
(П.I0)
О
при
т) + 27Г
И периодически с периодом 27Г продолженную на всю бесконеч
ную прямую - 00 < У < +00.
Подсчитаем тригонометрические коэффициенты Фурье A k
и B k
функции vx(y).
Из равенства (П.I0) и из условия периодичности vx(y) с пе
риодом 27Г мы получим, что
2)
x+ry
x+ry
A k =
.; Jvx(Y) cos ky dy =
~ Je-,Ix-yl cos ky dy =
x-ry
x-ry
ry
ry
=
~ Je-,lt1cosk(t+x)dt= ~coskxJe-,Itlcosktdt-
-ry
ry
-ry
-
1: sin kx Je-,It I sin kt dt = I cos kx ] e-,t cos kt dt.
2
о
-ry
1)Не ограничивая общности, мы считаем, что ТJ < К.
2)При этом мы учитываем, что все интегралы от периодической функции
по отрезкам, имеющим длину, равную ее периоду, совпадают между собой,
делаем замену переменной у = t + х и принимаем во внимание, что
ry
ry
ry
J е- '( I t I cos kt dt =
2 Jе- '(tcos kt dt,
J е- '( I t I sin kt dt = о.
-ry
о
-ry
о ВЫЧИСЛЕНИИ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ
457
~алее, поскольку
JТ e-,t cos kt dt =
о
где
-
, cos kry + k sin kry
(П.ll)
Jk - --'------
,--'-----
:-------
'-
'
-
k2
+,2
то, учитывая, что <5 = 1/,2, мы получим следующее выражение
для коэффициента Фурье Ak :
cos kx
-,ТJ
cos kx . , . Jk.
(П.12)
Аk = --- + е
1 + k2б
Совершенно аналогично устанавливается, что
sin kx
-,ТJ' k
x·'·Jk'
(П.13)
Вk= --- +e
sш
1 + k2 б
Так как по условию функция f (у) принадлежит классу
L2 [-п, п] и так как функция vx(y) принадлежит тому же классу
при любом <5 = - 1 > О, то справедливо обобщенное равенство
VГr
Парсеваля (см. равенство (11.28))
(П.14)
Из соотношений (П.12), (П.13) и (П.14) вытекает, что для до казательства неравенства (П.8) достаточно установить, что для
всех достаточно малых положительных <5 справедливы неравен
ства
7г
;Jvx(y)J(y) dy - ЛХ)
<~
(П.15)
2 '
-7Г
00
~O e-,ТJ,ao + e-'ТJ, L Jk(ak cos kx + bk sinkx) <~.
(П.16)
k=l
Продолжим функцию f(y) периодически с периодом 2п на
всю бесконечную прямую.
458
ПРИЛОЖЕНИЕ
Для доказательства неравенства (П.15) заметим, что в си лу 21Г-периодичности функций vx(y) и ЛХ) и в силу равенства (П.10) имеем
1г
=:;
Х-1)+21Г
Х+1)
:;Jvx(y)j(y) dy
J vx(y)f(y) dy
=~ Je-ilx-ylj(y) dy =
-1Г
Х-1)
Х-1)
Х+1)
Х+1)
= f(x)~ Je-ilx-YI dy + ~ J[j(y) -
f(x)]e-ilx-YI dy. (П.17)
Х-1)
Х-1)
Учитывая, что 1)
Х+1)
1)
1)
~ Je-ilx-YI dy = ~ Je-i1tldt =, Je- it dt = 1 - e-i 1),
Х-1)
-1)
а
и учитывая, что для любого у из сегмента [х - ry, х +ry] справед ливо неравенство (П.9), мы получим с помощью соотношения
(П.17), что
:;J1г vx(y)f(y) dy - ЛХ) ~
-1Г
Так как для каждой фиксированной точки х и для фиксиро ванных нами чисел Е > О И ry > о при всех достаточно малых
Остается доказать неравенство (П.16). Из (П.ll) очевидно,
что для величин O"k при всех k = 1, 2, ... справедлива оценка
(П.18)
Для величины О"а из (П.ll) при всех достаточно малых д = 1/,2
получим оценку
100al ~ 1/, ~ 1.
(П.19)
1) При вычислении указанного интеграла мы делаем замену переменной
у= t + х.
о ВЫЧИСЛЕНИИ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ
459
Применяя к сумме, стоящей в левой части (П.16), неравенство Коши-Буняковского и используя оценки (П.18) и (П.19), мы по
лучим 1)
00
~O е-rry {О'О + е-rry{L O'k (ak cos kx + bk sin kx)
::;;
k=l
00
] 1/2 [
00
] 1/2
(П.20)
::;; 2e-rry{ [ ~O + t;(ak+ bk)
1 + t; k\
Обе суммы, стоящие в правой части (П.20) в квадратных скоб ках, ограничены постоянной (не зависящей от 6). Ограничен
ность первой из указанных сумм сразу вытекает из неравенства
Бесселя, а ограниченность второй из указанных сумм доказана
в гл. 13 вып. 1.
Поскольку при любом фиксированном 'ГJ > О lim e-rry{=
_..!!:..
1
6---+0
lim е
О, то правая часть (П.20) дЛЯ любого фикси-
62
- =
6---+0
52
рованного нами Е > О меньше числа Е/ 4 при всех достаточно
малых положительных 6. Теорема доказана.
3. Заключительные замечания о значении метода ре гуляризации. Предложенный А. Н. Тихоновым метод регуля ризации имеет большое естественнонаучное значение.
Предположим, что с помощью какого-либо прибора мы изме ряем частотные характеристики интересующего нас физическо го процесса. Из-за несовершенства прибора мы измеряем ука занные частотные характеристики с некоторой ошибкой.
Естественно возникает проблема: должны ли мы, желая по лучить как можно более точное представление об интересующем нас физическом процессе, неограниченно совершенствовать точ ность прибора или путь к этому лежит через развитие таких ма тематических методов обработки результатов измерений, кото
рые позволяют при имеющейся точности измерения частотных
характеристик извлечь максимальную информацию об изучае мом физическом процессе.
Метод регуляризации указывает путь к такой математичес кой обработке результатов измерений частотных характеристик
(т. е. коэффициентов Фурье), при которой мы получаем ин формацию об изучаемом физическом явлении (т. е. об искомой функции лх)) с ошибкой, соответствующей ошибке в результа
тах измерений частотных характеристик.
1) При этом мы мажорируем единицей модули функций cos kx и sin kx.
