Ilin_Poznyak_-_Matanaliz

дuтся равномерно на данном множестве, еслu его можно мажо­ рироватъ на этом множестве сходящuмся 'Ч,uсловЪtм рядом.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно критерию Коши для число­

(х)

вого ряда 2: Ck, для любого Е > О найдется номер N(E) такой,

k=l

что для всех n ~ N (Е) И для любого натурального р справедливо

k=n+l

(для всех n ~ N (Е), всех натуральных р и всех Х из множест-

ва {Х}).

Согласно критерию Коши функциональный ряд (1.15) схо­ дится равномерно на множестве {Х}. Теорема доказана.

При м е р 2. Ряд

сходится равномерно на всей бесконечной прямой, ибо на всей

прямой

а числовой ряд'" _1_ при д > О сходится (см. вып. 1, гл. 13).

~klH

k=l

3 а м е ч а н и е 1. Прuзншх; Веuерштрасса не является необ­

XOдиMЪtM.

В самом деле, выше установлено, что ряд (1.12) сходится рав­

номерно на любом сегменте, не содержащем точек Хт = 21Гт

(т = О, ±1, ±2, ... ). в частности, ряд (1.12) сходится равно­ мерно на сегменте [1Г/2,31Г/2]. Однако на указанном сегменте

грань, равную k' т. е. мажорирующии числовои ряд ~ k пред-

k=l

ставляет собой заведомо расходящийся гармонический ряд.

(для любого фиксированного m и превосходящего его номе­ ра nk). Наконец, из сопоставления (1.19) и (1.20) получим

тт(ха) ~ [

(для любого номера т).

Последнее неравенство противоречит сходимости последова­

тельности {тn(х)} К нулю В точке ха. Полученное противоречие

доказывает теорему.

3 а м е ч а н и е 2. В теореме Дини существенно условие м о­

н о т о н н о с т и последовательности {fn(x)} на сегменте [а, Ь],

ибо немонотонная на [а, Ь] последовательность непрерывных на

этом сегменте функций может сходиться в каждой точке сег­

мента [а, Ь] к непрерывной на этом сегменте функции f(x), но не сходиться к ней равномерно на [а, Ь].

Примером может служить последовательность функций fn(x),

равных sinnx при О ~ х ~ 7Г/n и равных нулю при 7Г/n < х ~ 7г

(n = 1, 2, ... ). Эта последовательность сходится к f(x) == О в каждой точке [О, 7Г], но не сходится равномерно на [О, 7Г], ибо Ifn(xn ) - j(xn )I = 1 при хn = 7Г/(2n) для всех номеров n.

3 а м е ч а н и е 3. Сформулируем теорему Дини в терминах рядов: если все 'Ч,лены р.я,да непрерывны и неотри'Цателъны на

сегменте [а, Ь] и сумма этого р-яда maKJlCe непрерывна на сег­

менте [а, Ь], то указанныu р-яд сходитс-я к своеи сумме равно­

мерно на сегменте [а, Ь].

3 а м е ч а н и е 4. Теорема Дини и ее доказательство сохраняют силу, если в этой теореме вместо сегмента [а, Ь] взять любое ограниченное замкну­

тое множество {х}. Такое множество принято называть к о м п а к т н ы м.

При м е р 1. Последовательность {хn } сходится К нулю

равномерно на сегменте [о, ~].

В самом деле, 1) для любого х из [о, ~] эта последователь­

ность сходится к нулю; 2) все функции хn И предельная функ­

ция нуль непрерывны на [о, ~]; 3) последовательность {хn} не

возрастает на сегменте [о, ~].

Все условия теоремы Дини выполнены.

6. Почленный переход к пределу. Непрерывность

суммы ряда и предельной функции последовательности. Рассмотрим произвольную точку а бесконечной прямой, и пусть

{х} - произвольное множество, быть может, и не содержащее

§ 1 РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ 25

точек множества {х}, то для любого номера n справедливо тож­

дество

Из этого тождества для всех х из {х} получаем неравенство

IS(X) - ~Ьkl ~ I~Uk(X)- ~Ьkl+ IkE,Uk(x)1 + IkE,bkl

(1.23)

00

Фиксируем произвольное G > о. Так как ряд L bk сходит-

k=l

ся, а ряд (1.15) сходится равномерно на множестве {х}, то для

фиксированного нами G найдется номер n такой, что для всех

точек х из множества {х}

Поскольку предел конечной суммы равен сумме пределов сла­

гаемых, то для фиксированного нами G > О и выбранного номе­ ра n можно указать 6 > О такое, что

(1.25)

для всех точек х множества {х}, удовлетворяющих условию

0< Ix - al < 6.

Вставляя (1.24) и (1.25) в правую часть (1.23), мы оконча-

тельно получим, что

вточке х = а предельное значение и справедливо равенство

(1.21). Теорема доказана.

Сформулируем теорему 1.6 в терминах функциональных по­

следовательностей.

Если фу1-t'Х:'Цион,ал'Ь1-tал nоследовател'Ь1-tост'Ь {fn(x)} сходит­ сл равномерно на М1-tо;жестве {х} 'х: nредел'Ь1-tо'Й фу1-t'Х:'Ции f (х) и

26 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ ГЛ. 1

если все элеме1-t.ты этой nоследоватеЛ'Ь1-t.ости имеют в то'Ч.'Ке а

nредеЛ'Ь1-t.ого з1-t.а'Ч.е1-t.и.я. фу1-t.'К'Ции МОЖ1-t.О nереставл.я.т'Ь местами

(или, 'Ка'К говор.я.т, 'к пределу при х --+ а мож1-t.о nереходит'Ь nо'Ч.ле1-t.1-t.о).

Замечание к теореме 1.6. Если в условиях теоремы 1.6 дополнительно потребовать, чтобы точка а принадлежала мно­

жеству {х} и чтобы все члены иk (х) ряда (1.15) были непре­ рывны в точке а (или соответственно непрерывны в этой точке справа или слева), то и сумма S(x) ряда (1.15) будет непрерыв­ на в точке а (или соответственно непрерывна в точке а справа или слева).

В самом деле, в этом случае bk = щ(а) и равенство (1.21)

принимает вид

00

lim S(x) = '"Uk(a) = S(a),

х---+а ~ k=l

что И означает непрерывность функции S(x) в точке а (или, если стремление х к а одностороннее, то непрерывность S(x) в этой точке соответственно справа или слева).

Применяя указанное замечание к каждой точке некоторого

сегмента [а, Ь], мы придем к следующей oc1-t.ов1-t.оЙ теореме.

Теоре,м,а 1.7. Если все 'Ч.ле1-t.ы фу1-t.'К'Цио1-t.аЛ'Ь1-t.ого р.я.да (фу1-t.'К­

'Цио1-t.ал'Ь1-t.оЙ nоследоватеЛ'Ь1-t.ости) неnрерывны на сегменте [а, Ь] и если у'Каза1-t.1-t.ыЙ р.я.д (у'Каза1-t.1-t.а.я. nоследоватеЛ'Ь1-t.ост'Ь) сходит­ с.я. равномерно на сегменте [а, Ь] , то и сумма этого р.я.да (nре­ деЛ'Ь1-t.а.я. фу1-t.'К'Ци.я. этой nоследоватеЛ'Ь1-t.ости) неnрерывна на сег­

менте [а, Ь].

Замечания к теореме 1.7. 1) В теореме 1.7 вместо сегмента [а, Ь] можно взять интервал, полусегмент, полупря­

мую, бесконечную прямую и вообще любое плотное в себе мно­

жество {х}. 2) В теореме 1.7 существенно требование р а в н о­

м е р н о й сходимости, ибо неравномерно сходящаяся после­

довательность непрерывных функций может сходиться к раз­

рывной функции (см. пример (1) из пп. 1-3 настоящего параг­ рафа).

З а к л ю ч и т е л ь н о е з а м е ч а н и е. Все теоремы этого па­ раграфа справедливы для последовательностей функций, задан­

ных на множестве {х} пространства Ет .

§ 2 ПОЧЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ 29

Неравенство (1.29) установлено нами для произвольного раз­ биения сегмента [а, Ь]. В силу интегрируемости функции fn(x) на сегменте [а, Ь] найдется разбиение этого сегмента, для кото­

рого Sn - SN < Е 1) и, стало быть, на основании (1.29) S - s < 2Е.

Так как Е - произвольное положительное число, то послед­

нее неравенство доказывает интегрируемость f(x) на сегменте

[а, Ы 2). Теорема доказана.

Сформулируем теорему 1.8 в терминах функциональных ря­

дов:

Если фу'Н/х;'Цио'НлльнЪtй ряд (1.15) сходится к: своей сумме

S(x) равномерно на сегменте [а, Ь] и если к:аждЪtй "lлен этого

ряда Uk(X) представляет собой функ:'Цшо, интегрируемую на сегменте [а, Ь] , то и сумма S(x) интегрируема на сегменте [а, Ь] , npU"leM ук:азаннЪtй ряд можно интегрировать на сегмен­ те [а, Ь] по "l Л е н н о, т. е. ряд

00 ь

LJ Uk(X) dx

k=la

ь

сходится и имеет своей суммой JS(x) dx.

а

3 а м е ч а н и е. В учебниках по математическому анализу те­

орема 1.8, как правило, доказывается при более жестком предпо­

ложении о том, что каждая функция fn(x) не только интегрируе­ ма, но и непрерывна на сегменте [а, Ь]. При этом дополнитель­

ном предположении приведенное выше доказательство упроща­

ется, ибо для доказательства интегрируемости предельной функ­

ции f(x) на сегменте [а, Ь] достаточно сослаться на теорему 1.7.

2. Почленное дифференцирование. Докажем следую­

щую основную теорему.

Теорема 1.9. Пусть к:аждая функ:'Ция fn(x) имеет на сег­

менте [а, Ь] nроизводную f~(x) 3), npU"leM последовательность nроизводнЪtх и~(x)} сходится равномерно на сегменте [а, Ь] ,

1)в силу теоремы 10.1 из гл. 10 вып. 1.

2)В силу теоремы 10.1 из вып. 1 существование для произвольного Е > О

разбиения сегмента, для которого S - s < 2Е является необходимым и доста­

точным условием интегрируемости всякой о г р а н и ч е н н о й на данном

сегменте функции. Ограниченность f(x) на сегменте [а, Ь] сразу вытекает из неравенства (1.26) и из ограниченности интегрируемой на сегменте [а, Ь] функции fn(x).

3) Под термином «функция f(x) имеет производную на сегменте [а, Ь]»

здесь и ниже подразумевается существование производной f' (х) в любой внутренней точке [а, Ь], правой производной f' (а + О) в точке а и левой производной f' (Ь - О) в точке Ь.

а сама nоследовател'Ь'Ност'Ь {!n(х)} сходuтс.я. хот.я. бы в од'Нои

то'Ч.'Х:е ха сегме'Нта [а, Ь]. Тогда nоследовател'Ь'Ност'Ь {!n (х)} сходuтс.я. 'Х: 'Не'Х:оторои nредел'Ь'Ноu фУ'Н'Х:'ЦUU f(x) рав'Номер'Но 'На всем сегме'Нте [а, Ь] , nрu'Ч.ем эту nоследовател'Ь'Ност'Ь мож'Но дuффере'Н'Цuроват'Ь 'На сегме'Нте [а, Ь] по 'Ч. Л е 'Н 'Н о, т. е. всюду

'На сегме'Нте [а, Ь] nредел'Ь'На.я. фу'Н'Х:'Цu.я. f(x) имеет nроuзвод'Ную l'(х), .я.вл.я.ющуюс.я. nредел'Ь'Ноu фу'Н'Х:'Цuеu nоследовател'Ь'Ностu

и~(x)}.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Сначала докажем, что nоследовател'Ь­

'Ност'Ь {!n(х)} сходuтс.я. рав'Номер'Но 'На сегме'Нте [а, Ь]. Из схо­ димости числовой последовательности {!n(ха)} и из равномер­

ной на [а, Ь] сходимости {!~(x)} заключаем, что для произволь­

ного Е > О найдется номер N(E) такой, что

(1.30)

для всех n :::;; N (Е) всех натуральных р и (это относится ко вто­ рому неравенству (1.30)) всех х из [а, Ь].

Пусть х - про и з в о л ь н а я точка сегмента [а, Ь]. ДЛЯ функ­

ции [Jn+р(t) - ! n (t)] при любых фиксированных пир выполнены на сегменте [ха, х] все условия теоремы Лагранжа (см. теорему 8.12 из вып. 1). По этой теореме между х и ха найдется точка ~

такая, что

Из последнего равенства и из неравенств (1.30) с учетом того, что Ix - xal :::;; Ь - а, получим, что

I!n+p(x) - !n(x)1 < Е

(для любого х из [а, Ь], любого n ? N(E) и любого натураль­ ного р).

Но это и означает, что последовательность {!n(х)} равно­ мерно на сегменте [а, Ь] сходится к некоторой предельной функ­

ции f(x) 1).

Остается доказать, что в л 10 б о u то'Ч.'Х:е ха сегме'Нта [а, Ь] nредел'Ь'На.я. фу'Н'Х:'Цu.я. ! (х) имеет nроuзвод'Ную u 'Ч.то эта nроuз­

вод'На.я. .я.вл.я.етс.я. nредел'Ь'Ноu фу'Н'Х:'Цuеu nоследовател'Ь'Но-

сти и~(x)}.

Фиксируем на сегменте [а, Ь] про и з в о л ь н у ю точку ха

и по ней положительное число д такое, чтобы д-окрестность точ­

ки ха целиком содержалась в [а, Ь] (в случае, если Ха является

1) в силу критерия Коши, т. е. теоремы 1.1.