Ilin_Poznyak_-_Matanaliz
.pdfПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
Вторая часть «Основ математического анализа» была изда
на тиражом, меньшим, чем первая часть, и превратилась в еще
большую библиографическую редкость.
Несмотря на сравнительно небольшой объем, книга полно
стью охватывает материал, входящий в программу второго го
да обучения студентов специальностей «физика» и <<приклад
ная математика», и, кроме того, содержит легко отделяемые от
основного материала главы, посвященные теории меры и инте
грала Лебега, теории гильбертовых пространств и входящие в
программу так называемого «анализа-3» университетских кур
сов.
Книга переиздается стереотипно с текста второго издания, учитывающего опыт чтения лекций не только на физическом
факультете, но и на факультете вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета.
ИЮНЬ 1998 г. |
В. А. Илъu1-t |
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
В основу этой книги положены лекции, читавшиеся авторами
втечение ряда лет в Московском государственном университете. Как и в первой части, авторы стремились к систематичности
изложения и к выделению важнейших понятий и теорем.
Кроме основного программного материала, книга содержит
ряд дополнительных вопросов, играющих важную роль в раз
личных разделах современной математики и физики: теорию меры и интеграл Лебега, теорию гильбертовых пространств и
линейных самосопряженных операторов в этих пространствах,
вопросы регуляризации рядов Фурье, теорию дифференциаль ных форм в евклидовых пространствах и др. Ряд разделов кур са изложен с большей общностью и при меньших, чем обычно, ограничениях. Сюда относятся, например, условия почленно го дифференцирования и почленного интегрирования функци
ональных последовательностей и рядов, теорема о замене пере
менных в кратном интеграле, формулы Грина и Стокса, необхо
димые условия интегрируемости ограниченной функции по Ри ману и по Лебегу.
12 |
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ |
Как и в первой части, в книге рассмотрен ряд вопросов, свя занных с вычислительной математикой. В первую очередь сюда относятся дополнение к главе 2 о приближенном вычислении
кратных интегралов и специальное приложение о вычислении
значений функции по приближенно заданным коэффициентам
Фурье (метод регуляризации А. Н. Тихонова).
Материал данной книги вместе с первой частью полностью
охватывает университетский курс математического анализа.
Отметим, что всюду в тексте при обращении к первой ча
сти мы называем ее «выпуском 1». Подчеркнем также, что при
чтении этой книги глава 8 «Мера и интеграл Лебега», глава 11
«Гильбертово пространство» и все дополнения могут быть опу щены без ущерба для понимания остального текста книги.
Авторы книги приносят глубокую благодарность А. Н. Тихо нову и А. Г. Свешникову за множество ценных советов и глубо ких замечаний, ш. А. Алимову, труд которого над этой книгой вышел за рамки редактирования, Л. Д. Кудрявцеву и С. А. Ло мову за большое количество ценных замечаний, п. С. Моденову
ия. М. Жилейкину, предоставившим материалы по теории поля и приближенным методам вычисления кратных интегралов.
Декабрь 1972 г. |
В. ИЛЬИН, э. ПО3НЯ'К |
ГЛАВА 1
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
ИРЯДЫ
Вэтой главе будут изучены последовательности и ряды, членами которых являются не числа, а функции, определенные на некотором фиксированном множестве. Такие последователь
ности и ряды широко используются для представления и при
ближенного вычисления функций.
§1. Равномерная сходимость
1.Понятие функциональной последовательности и
функционального ряда. Если фик:сировшно нек:оторое мно-
;жество {х} 1) и если к:а;ждому 'Числу n из натуралъного р,яда
'Чисел 1, 2, ... , n, ... ставитс,я в соответствие по определен
ному зак:ону нек:отора,я Функ:'Ци,я 1n (х), заданна,я на мно;жестве
{ х}, то мно;жество занумерованных функ:'Циu !I (х), 12 (х), ...
..., 1n (х), . .. мы и будем называтъ Ф у н к: 'Ц и о н а л ъ н о и n 0-
следователъностъю.
Отдельные функции 1n (х) будем называть ч л е н а м и или
э л е м е н т а м и рассматриваемой последовательности, а множест
во {х} - о б л а с т ь ю о п р е Д е л е н и я этой последовательности.
Для обозначения функциональной последовательности бу
дем использовать символ 1n(х).
Формально написанную сумму
00 |
|
L иn(х) = щ(х) + и2(Х) + ... + иn(х) +... |
(1.1) |
n=1
бесконечного числа членов функциональной последовательно
сти иn(х) будем называть функциональным рядом. Члены иn (х) этого ряда представляют собой функции, опре
деленные на некотором множестве {х}.
Указанное множество {х} называется при этом о б л а с т ь ю о п р е Д е л е н и я функционального ряда (1.1).
1) Под {х} можно понимать, в частности, как множество точек прямой,
так и множество точек х = (х1, Х2, ... , Хт) евклидова пространства Ет .
14 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ ГЛ. 1
Как и для случая числового ряда, сумму первых n членов
ряда (1.1) называют n-й ч а с т и ч н о й с у м м о й этого ряда.
Подчеркнем, что uзу'Ч.е'Нuе фу'Нк:'Цuо'Нал'Ь'НЪtх рядов соверше'Н 'Но эк:вuвале'Нm'Но uзу'Ч.е'НU10 фу'Нк:'Цuо'Нал'Ь'НЪtх nоследоваmел'Ь'Нос mеи, ибо каждому функциональному ряду (1.1) однозначно со
ответствует функциональная последовательность
Sl(X), S2(X), ... , Sn(X), ... |
(1.2) |
его частичных сумм и, наоборот, каждой функциональной по
следовательности (1.2) однозначно соответствует функциональ ный ряд (1.1) с членами
иl(Х) = Sl(X), иn(х) = Sn(X) - Sn-l(Х) при n? 2,
для которого последовательность (1.2) является последователь
ностью частичных сумм.
Приведем примеры функциональных последовательностей и
рядов.
о |
о 1/n |
1 х |
Рис. 1.1
При м е р 1. Рассмотрим последовательность функций
{]n (Х)}, каждая из которых определена на сегменте О ~ Х ~ 1 и
имеет вид |
|
|
|
|
fn(x) = |
{ 1 - nх |
при |
О ~ х ~ 1/n, |
(1.3) |
|
о |
при |
1/n < х ~ 1. |
|
На рис. 1.1 изображены |
графики функций Л(Х), |
f2(X) и |
||
fn(x).
При м е р 2. В качестве примера функционального ряда
рассмотрим следующий ряд по степеням х:
(х) |
|
|
|
1+ L -xk |
2 |
N |
(1.4) |
=l+х+-х+···+Х-+ ... |
|||
k! |
2! |
n! |
|
k=l
Заметим, что (n+ l)-я частичная сумма ряда (1.4) отличается
от разложения еХ по формуле Маклорена только на величину
остаточного члена Rn +1 (х).
§ 1 |
РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ |
15 |
2.СХОДИМОСТЬ функциональной последовательности
вточке и на множестве. Предположим, что функциональная
последовательность (или ряд) определены на множестве {х}.
Фиксируем произвольную точку ха из множества {х} и рассмо трим все члены последовательности (или ряда) в точке Ха. При этом получим числовую последовательность (или ряд).
Если указанная числовая последовательность (или ряд) схо дится, то говорят, что функциональная последовательность (или ряд) сходится в точке Ха.
Множество всех точек Ха, в которых сходится данная функ
циональная последовательность (или ряд), называется о б л а с т ь ю с х о Д и м о с т и этой последовательности (или ряда).
в различных конкретных случаях область сходимости может либо совпадать с областью определения, либо составлять часть области определения, либо вообще являться пустым множеством.
Соответствующие примеры читатель найдет ниже.
Предположим, что функциональная последовательность
{f n (Х)} имеет в качестве области сходимости м~ожество {Х}.
Совокупность пределов, взятых для всех значении Х из множе
ства {Х}, образует вполне определенную функцию f (Х), также заданную на множестве {х}.
Эту функцию называют п р е Д е л ь н о й Ф у н к Ц и е й по
следовательности {fn(x)}.
Совершенно аналогично, если функциональный ряд (1.1) схо дится на некотором множестве {х}, то на этом множестве
определена функция S(x), являющаяся
предельной функцией последовательнолх)
сти его частичных сумм |
и называемая 1 |
суммой этого ряда. |
|
Последовательность (1.3) из рассмо |
|
тренного выше примера 1 сходитс,я на |
|
всем сегменте О ~ х ~ 1. |
|
В самом деле, fn(O) = |
1 для всех но- |
меров n, т. е. в точке х = |
О последова |
тельность (1.3) сходится к единице. |
о |
1 х |
Если же фиксировать любое х из по |
|
Рис. 1.2 |
лусегмента О < х ~ 1, то все fn(x), начи |
|
|
|
|
ная с некоторого номера (зависящего, конечно, от х), будут рав
ны нулю. Стало быть, в любой точке х полусегмента О < х ~ 1
последовательность (1.3) сходится к нулю.
Итак, последовательность |
(1.3) |
сходится на всем сегменте |
О ~ х ~ 1 к предельной функции f(x), имеющей вид |
||
1 |
при |
х = О |
f( х) = { О |
при |
О < х'~ 1. |
График этой предельной функции изображен на рис. 1.2
16 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ ГЛ. 1
Подчеркнем, что эта функция не является непрерывной на
сегменте О ~ х ~ 1 (она разрывна в точке х = О).
Обратимся теперь к функциональному ряду (1.4) из примера 2.
Этот ряд сходится в любой точке х бесконечной прямой и его
сумма равна еХ • Доказательство можно найти в гл. 13 вып. 1 (см.
пример 3 из п. 1 § 1 гл. 13) 1).
3. Понятие равномерной сходимости на множестве. Предположим, что последовательность
(1.5)
сходится на множестве {х} к предельной функции f (х).
Оnреде.ле1-tuе 1. Будем говоритъ, 'Ч,то nоследователыюстъ
(1.5) сходится n фунn'Ции f(x) р а в н о м е р н о н а м н о ж е
с т в е {х}, если для любого Е > О |
можно уnазатъ тапой но |
|
мер N(E), 'Ч,то при n ~ N(E) для |
всех х |
из множества {х} |
справедливо неравенство 2) |
|
|
Ifnx - f(x)1 |
< Е. |
(1.6) |
3 а м е ч а н и е 1. В этом определении весьма существенно
то, что номер N зависит только от Е И не зависит от х. Таким
образом, для любого Е> О найдется универсальный номер N(E), начиная с которого неравенство (1.6) справедливо сразу для всех х из множества {х}.
3 а м е ч а н и е 2. Из сходимости nоследователъности
{!n (х)} на множестве {х} вовсе не вытеnает равномерная схо
димостъ ее на этом множестве. Так, последовательность (1.3)
из рассмотренного выше примера 1 сходится на всем сегменте
[О, 1] (это установлено выше).
Докажем, что эта последовательность не сходится равно
мерно на сегменте [О, 1]. Рассмотрим последовательность то чек хn = 1/(2n) (n = 1, 2, ... ), принадлежащих сегменту [О, 1]. В каждой из этих точек (т. е. для каждого номера n) справед ливы соотношения fn(x n ) = 1/2, f(x n) = о. Таким образом, для
любого номера n
т. е. при Е ~ 1/2 неравенству (1.6) нельзя удовлетворить сразу для всех точек х из сегмента [О, 1] ни при каком номере n.
1) Впрочем, это доказательство сразу вытекает из формулы Маклорена
для еХ и из того, что остаточный член в этой формуле стремится к нулю
для всех х.
2) Если под {х} понимать множество точек Х = (Xl, ... , Хт) пространства
Ет , то мы получим определение равномерной сходимости последователь
ности fn(x) = fn(Xl, Х2, ... , Хт) функций m переменных.
§ 1 |
РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ |
17 |
3 а м е ч а н и е 3. Отметим, что равномерная на множест
ве {х} сходимость функциональной последовательности {]n (х) } к функции f (х) эквивалентна сходимости числовой последова тельности {сп}, члены СП которой представляют собой точные верхние грани функции If n (х) - f (х) I на множестве {х}.
3 а м е ч а н и е 4. Из определения 1 непосредственно выте
кает, что если последовательность {fn(x)} равномерно сходится
кJ( х) на всем множестве {х}, то {jn (х)} равномерно сходится
кf (х) и на любой части множества {х}.
Приведем теперь пример функциональной последовательно
сти, равномерно сходящейся на некотором множестве {х}. Рас смотрим все ту же последовательность (1.3), но не на всем сег менте [О, 1], а на сегменте [6, 1], где 6 - фиксированное число из
интервала 0< 6 < 1. Для любого такого 6 найдется номер, начи
ная с которого все элементы fn(x) равны нулю на сегменте [6, 1]. Так как предельная функция f (х) также равна нулю на сегмен те [6, 1], то на всем этом сегменте неравенство (1.6) будет спра
ведливо для любого С > О, начиная с указанного номера. Это
доказывает равномерную сходимость последовательности (1.3) на сегменте [6, 1].
Оnределе'Н,ие 2. Фун'Х:'Ционлльныи рлд называетсл |
р а в |
н о м е р н о с х о д л Щ и м с л н а м н о JIC е с т в е {х} |
'Х: сво |
еи сумме В(х), если последовательность {Вn(х)} его 'Части'Ч
ных сумм сходитсл равномерно на MHOJlCeCmBe {х} 'Х: предель нои фУН'Х:'ЦИИ В(х).
Докажите сами, что функциональный ряд (1.4) из рассмот
ренного выше примера 2 сходится к своей сумме еХ равномерно на каждом сегменте -r ~ х ~ r, где r - любое фиксированное
положительное число 1).
4. Критерий Коши. Справедливы следующие две основ
ные теоремы.
Теорема 1.1. Длл того 'чтоБыl фун'Х:'Циональнал последова
тельность {]n (х)} равномерно на MHOJlCeCmBe |
{х} |
сходилась |
||
'Х: не'Х:оторои предельнои фун'Х:'Ции, необходимо |
и достато'Чно, |
|||
'Чтобы длл любого С > О нашелсл номер N (с) та'Х:ои, 'Что |
||||
If n+р(х) - |
f n (х)I |
< С |
|
(1.7) |
1) Для доказательства достаточно |
оценить |
остаточный член |
R n +1 (х) в |
|
формуле Маклорена для функции еХ • Этот остаточный член, пrедставляю щий собой разность еХ и (n + 1)-й частичной суммы ряда (1.4), сразу для
всех х из сегмента -Т ~ х ~ r удовлетворяет неравенству
r n +1
IRn+l(x)1 ~ (n + 1)!е"
(см. ВЫП. 1, формулу (8.62)).
18 |
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ |
ГЛ. 1 |
дл.я. |
всех n ? N(E), всех 'НатураЛ'b'l-tЫХ р (р = 1, 2, ... ) |
и всех х |
из м'Но:жества {х}.
Теоре,м,а 1.2. Дл.я. того 'Чтобы фу'Нк:'Цио'Нал'Ь'Ныu р.я.д
|
00 |
|
|
L щ(х) |
(1.8) |
|
k=l |
|
рав'Номер'Но |
'На м'Но:жестве {х} сходилс.я. к: 'Нек:оторои |
сумме, |
'Необходимо |
и достато'Ч'Но, 'Чтобы дл.я. любого Е > О 'Нашелс.я. |
|
'Номер N (Е) |
так:ои, 'Что |
|
I I: Uk(X) I < Е |
(1.9) |
k=n+l |
|
дл.я. всех n ? N(E), всех 'Натурал'Ь'Ных р и всех х |
из м'Но:жест |
ва {х}.
Теорема 1.2 является следствием теоремы 1.1: достаточно за
метить, что в левой части неравенства (1.9) под знаком модуля
стоит разность Sn+p(x) - |
Sn(x) частичных сумм ряда (1.8). |
Доказательство |
теоремы 1.1. 1) Необходи |
м о с т ь. Пусть последовательность {!n (х)} сходится равномер |
|
но на множестве {х} к некоторой предельной функции f (х). Фиксируем произвольное Е > о. Для положительного числа Е/2
найдется номер N такой, что для всех n ? N и сразу для всех х
из множества {х}
Ifn(x) - J(x)1 < Е/2. |
(1.10) |
Если р - любое натуральное число, то для n ? N и для всех х
из множества {х} тем более справедливо неравенство
Ifn+p(x) - J(x)1 < Е/2. |
(1.11) |
Поскольку модуль суммы не превосходит суммы модулей, то в
силу (1.10) и (1.11) получим
Ifn+p(x) - fn(x)1 == I[Jn+p(x) |
- f(x)] + [J(x) - fn(x)]1 |
:::;; |
:::;; |
Ifn+p(x) - f(x)1 + lJ(x) - |
fn(x)1 < Е |
(для всех n ? N, всех натуральных р и всех х из множества {х}).
Необходимость доказана.
2) Достаточность. Из неравенства (1.7) и из критерия
Коши для числовой последовательности вытекает сходимость
последовательности {!n (х)} при любом фиксированном х из мно жества {х} и существование предельной функции f (х).
Так как неравенство (1.7) справедливо дл.я. любого 'Натурал'Ь
'Ного р, то, осуществив в этом неравенстве предельный переход
§ 1 |
РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ |
19 |
при р ---+ 00 |
(см. вып. 1, теорему 3.13), получим, |
что для всех |
n ~ N и всех х из множества {х} справедливо неравенство
If(x) - fn(x)1 ~ с.
всилу произвольности с > О достаточность доказана.
5.Достаточные признаки равномерной сходимости. В
зависимости от удобства будем формулировать признаки равно мерной сходимости либо в терминах последовательностей, либо
втерминах рядов 1).
Для формулировки первого признака введем новое понятие.
Оnреде.ленuе. Последователъ'Ностъ фУ'Н1\;'Циu иn(х)} 'Назы
вается р а в 'Н о м е р 'Н О О г р а 'Н и 'ч е 'Н 'Н О U 'Н а м 'Н о Ж е с т
в е {х}, если существует та1\;ое веществе'Н'Ное 'Число А, 'Что для всех х из м'Ножества {х} и для всех 'Номеров n справедливо
'Нераве'Нство Ifn(x)1 ~ А.
Теорема 1.3 (npu3Ha'N- Дuрuх.ле-Абе.л.я). Пустъ да'Н
фУ'Н1\;'Цио'Налъ'Ныu ряд
00
L Uk(X) . Vk(X). k=l
Этот ряд сходится рав'Номер'Но 'На м'Ножестве {х}, если вы nол'Не'Ны следующие два условия:
1) nоследователъ'Ностъ Vk (х) является 'Невозрастающеu 'На
м'Ножестве {х} и рав'Номер'Но 'На этом м'Ножестве сходится 1\;
'НУЛЮ;
00
2) ряд L Uk(X) имеет рав'Номер'Но огра'Ни'Че'Н'Ную 'На м'Ноже
k=l
стве {х} nоследователъ'Ностъ 'Части'Ч'Ных сумм.
Доказательство почти текстуально совпадает с доказатель
ством соответствующего признака сходимости числовых рядов
(см. вып. 1, гл. 13, |
§ 5, п. 2). Мы предлагаем читателю провести |
|
его самому. |
|
|
При м е р 1. |
В качестве примера изучим вопрос о равно |
|
мерной сходимости ряда |
|
|
|
00 |
|
|
L Si:kX. |
(1.12) |
|
k=l |
|
Так как последовательность {1/k} (для всех х) |
не возрастает |
|
и равномерно стремится к нулю, то в силу признака Дирихле
Абеля ряд (1.12) равномерно сходится на любом множестве, на
1) в силу сказанного в п. 1 обе эти ФОРМУЛИРОВКИ эквивалентны.
20 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ |
ГЛ. 1 |
котором ряд |
|
00 |
|
Lsinkx |
(1.13) |
k=l
обладает равномерно ограниченной последовательностью час
тичных сумм. Вычислим и оценим n-ю частичную сумму Sn(x)
ряда (1.13).
Суммируя тождество
2 sin ~ . sin kx = cos ( k - ~)х - |
cos ( k + ~)х |
|
по всем k от 1 до n, получим |
cos ~ - cos (n + ~)х. |
|
2 sin ~ . Sn (х) = |
||
222 |
||
Отсюда |
|
|
cos ~ - cos ( n + ~) х |
||
Sn(x) = |
2 |
2 |
|
2sin ~ |
|
|
2 |
|
Стало быть, для всех номеров n справедливо неравенство |
||
ISn(x)1 |
1 |
(1.14) |
~ sin(x/2). |
||
Из неравенства (1.14) очевидно, что последовательность {Sr(x)} частичных сумм ряда (1.13) равномерно ограничена на любом фиксированном сегменте, не содержащем точек хт = 21Гт (т = = О, ±1, ±2, ... ), ибо на любом таком сегменте I sin(x/2)1 имеет
nОЛО;JfCителъную точную нижнюю грань.
Итак, мы доказали, что ряд (1.12) сходится равномерно на
любом |
сегменте, не содержащем точек хт = |
21Гт, где m = |
|
= О, ±1, |
±2, ... |
|
|
Теоре,м,а 1.4 (nризиа-к; ВеUершmрасса). Если Фун'Х:'Цио |
|||
налънЪtu ряд |
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
L иk(х) |
(1.15) |
|
|
k=l |
|
определен на MHO;JfCeCmBe |
{х} и если существует сходящиuся |
||
|
00 |
|
|
'Числовоu ряд L Ck та'Х:ои, |
'Что для всех х из MHO;JfCeCmBa {х} и |
||
|
k=l |
|
|
для любого номера k справедливо неравенство |
|
||
|
Iщ(х)1 ~ Ck, |
(1.16) |
|
то фун'Х:'ЦионалънЪtu ряд (1.15) сходится равномерно на MHO;JfCe- стве {х}.