Ilin_Poznyak_-_Matanaliz

гл. 14 вып. 1) функции J[cp(t), ф(t)] и P[cp(t), ф(t)] Henpepынъ!l

на сегменте а ~ t ~ ь.

Заметим теперь, что при стремлении к нулю наибольшей из длин частичных дуг 6..l k стремится к нулю и наибольшая из

разностей (tk - tk-1) 1). Но отсюда следует, что для любого Е >

> о можно указать д> О такое, что при условии, что наибольшая из длин 6..l k меньше д, каждая из фигурных скобок в формулах

(4.6) и (4.6') меньше Е. Стало быть, при условии, что наибольшая

из длин 6..lk меньше д, мы получим для разностей (4.6) и (4.6')

следующие оценки:

и спрямляемость кривой L =

АВ (непрерывность ф'(t)

при этом не требуется).

tk

1) В самом деле, /:::"Zk = J J['I"(t)J2+[ф'(t)J2 dt. Так как функции 'I"(t) и

tk - l

ф' (t) непрерывны на сегменте а ~ t ~ Ь и не обращаются в нуль одновремен­

но, то функция J['I"(t)J2 + [ф'(t)J2 непрерывна и строго положительна на

сегменте а ~ t ~ ь. Поэтому и минимальное значение m последней функции

tk

на сегменте а ~ t ~ Ь положительно. Но тогда /:::"Zk ? m J dt = m(tk -tk-l),

tk - l

ральные суммы аl и а2 имеют (при стремлении к нулю наи­ большей из длин 6..l k ) пределы, соответственно равные К1 и К2.

Тем самым одновременно доказано существование криволиней­

ных интегралов, стоящих в левых частях формул (4.4) и (4.4'),

и справедливость указанных формул.

3 а м е ч а н и е 1. В случае кусочно-гладкой кривой L кри­

волинейные интегралы по этой кривой естественно определить как суммы соответствующих криволинейных интегралов по всем

гладким кускам, составляющим кривую L. Таким образом, ра­

венства (4.4), (4.4') и (4.4") оказываются справедливыми и для

кусочно-гладкой кривой L. Эти равенства справедливы и в слу­

чае, когда функции f(x, у), Р(х, у) и Q(x, у) являются не строго

непрерывными, а лишь кусочно-непрерывными вдоль кривой L

(т. е. когда кривая L распадается на конечное число не имею­

щих общих внутренних точек кусков, вдоль каждого из которых

указанные функции непрерывны).

3 а м е ч а н и е 2. Совершенно аналогичные результаты и формулы справедливы и для криволинейных интегралов, взя­ тых по пространственной кривой L = АВ, определяемой пара­

метрическими уравнениями

а

3 а м е ч а н и е 3. Выше мы установили, что криволинейный интеграл второго рода зависит от направления обхода кривой L = АВ. Поэтому следует принять особую договоренность о

L

в случае, когда L - з а м к н у т а я кривая (т. е. в случае, когда точка В совпадает с точкой А).

Из двух возможных направлений обхода замкнутого контура

(доказательства аналогичны изложенным в § 5 и 6 гл. 10 вып. 1).

Впрочем, при более жестких предположениях указанные свойс­

тва сразу вытекают из формул (4.4), (4.4') и (4.4").

Перечислим эти свойства применительно к криволинейным

интегралам первого рода.

10. Линейное свойство. Если для каждой из функ­

ций f (х, у) и g (х, у) существует криволинейный интеграл по

кривой АВ и если а и (3 - любые постоянные, то для функции

[af(x, у) +(3g(x, у)] также существует криволинейный интеграл

по кривой АВ, причем

20. А д д и т и в н о с т ь. Если дуга АВ составлена из двух

дуг АС и СВ и если для функции Лх, у) существует криволи­

нейный интеграл по дуге АВ, то для этой функции существует криволинейный интеграл по каждой из дуг АС и СВ, причем

30. Оценка модуля интеграла. Если существует

криволинейный интеграл по кривой АВ от функции f (х, у), то

существует и криволинейный интеграл по кривой АВ от функ­

ции Ij(x, y)l, причем

I J f (х, у) dll ~ J Ij(х, у)I dl.

АВ АВ

1) Такое направление движения условно можно назвать «движением про­

тив часовой стрелки».

f (х, у) непрерывна вдоль кривой АВ, то на этой кривой

найдется точка М* такая, что

J f(x, у) dl = l . ЛМ*),

АВ

где l - длина кривой АВ.

При м еры. 10. Вычислить массу эллипса L, определяемо-

при условии, что а > Ь > О и что линейная плотность распреде­

ления массы равна р = 1 у1·

Задача сводится к вычислению криволинейного интеграла

первого рода J 1 у1 dl.

L

С помощью формулы (4.4) получим

параболу можно рассматривать как кривую, задаваемую пара­

метрическими уравнениями

Поэтому с помощью формул (4.4') и (4.4") мы получим, что

1) Напомним, что величину е в аналитической геометрии называют

эксцентриситетом.

ГЛАВА 5

ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

В этой главе будет рассмотрен вопрос об интегрировании функций, заданных на поверхностях. В связи с этим предва­

рительно исследуется вопрос о понятии поверхности и понятии

площади поверхности.

§1. Понятие поверхности

1.Понятие поверхности. Отображение f области 1) G на

плоскости на множество G* трехмерного евклидова простран­

ства называется г о м е о м о р Ф н ы м, если это отображение представляет собой взаимно однозначное соответствие между

точками G и G*, при котором любой сходящейся последова­

тельности {Мn} точек из G соответствует сходящаяся после­ довательность {M~} точек из G* и каждой сходящейся после­ довательности точек {M~} из G* отвечает сходящаяся последо­ вательность {Мn} точек из G. Иными словами, гомеоморфное

отображение области G на множество G* - это взаимно одно­

значное и взаимно непрерывное отображение указанных мно­

жеств. Мы будем говорить, что G* является о б раз о м G при гомеоморфном отображении f.

Рассмотрим следующий пример. Пусть G - область на плос­

ции. Очевидно, отображение f области G на G*, задаваемое со­

отношениями

х=и, y=v, z=z(u,v)

является гомеоморфным отображением этой области на множе­

ство G*.

которого является внутренней.

128 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ГЛ.5

является образом отк;рытого к;руга G при гомеоморфном ото­

бра:жении G в пространство 1).

С помощью понятия элементарной поверхности вводится по­

нятие так называемой про с т о й п о в е р х н о с т и.

Предварительно введем понятие окрестности точки множе­

ства Ф евклидова пространства Е3 .

О к Р е с т н о с т ь ю точки М множества Ф называется общая

часть множества Ф и пространственной окрестности точки М.

Мно:жество Ф то'Чек; пространства называется про с т о й

n о в ер х н о с т ъ 10, если это мно:жество связно 2) и любая

то'Чк;а этого мно:жества имеет ок;рестностъ, к;оторая явля­

ется элементарной nоверхностъю.

Отметим, что, элементарная поверхность является простой поверхностью, но простая поверхность, вообще говоря, не явля­

окрестность, которая гомеоморфно отображается на свой образ.

Мно:жество Ф то'Чек; пространства называется о б щей

верхностью без самопересечений и без самоналеганий. Общая

поверхность может иметь самопересечения и самоналегания. На­ пример, изображенная на рис. 5.1 поверхность имеет самопере­ сечения, но является локально-гомеоморфным образом цилин­ дрического пояса и поэтому является общей поверхностью.

2. Регулярная поверхность. Введем понятие регулярной

(k раз дифференцируемой) поверхности.

1) Мы рассматриваем трехмерное евклидово пространство, хотя можно

рассматривать евклидово пространство любого числа измерений и говорить

о двумерной поверхности в этом пространстве.

2) Напомним, что множество называется с в я з н ы м, если любые две его

точки можно соединить непрерывной кривой, целиком состоящей из точек

этого множества.

Поверх'Ностъ Ф, то'Ч,nu nоторой uмеют nоорди'Наты Z, у, Z,

'Называется регуляр'Ной (k раз дuффере'Н'Цuруемой),

еслu nри 'Неnотором k ~ 1 У nаждой то'Ч,nu Ф естъ оnрест­ 'Ностъ, доnусnающая k раз дuффере'Н'Цuруемую nараметрuза'Цuю. Это означает, что каждая указанная выше окрестность предста­

вляет собой гомеоморфное отображение некоторой элементар-

ной области G 1) в плоскости uv при помощи соотношений

вкоторых функции х(и, v), у(и, v), z(u, v) являются k раз диф­

ференцируемыми в области с.

Если k = 1, то поверхность обычно называется гладпой.

Мы будем также говорить, что с помощью соотношений (5.1)

вокрестности точки на поверхности вводится регуляр'Ная nара­

метрuза'Цuя с помощью параметров u и v.

3 а м е ч а н и е 1. Если вся поверхность Ф представляет ото­

бражение области G при помощи соотношений (5.1), то мы будем

говорить, что на Ф введена е Д и н а я пар а м е т риз а Ц и я. Точка регулярной поверхности называется обыкновенной, ес­

ли существует такая регулярная параметризация некоторой ее окрестности, что в этой точке ранг матрицы

равен двум. В противном случае точка поверхности называется о с о б о й.

Область G на плоскости будем называть про с т ой, если

эта область представляет собой простую плоскую поверхность. Например, кольцо без границы является простой областью.

Будем говорить, что функция f (и, v) принадлежит в G клас-

су C k , если она k раз дифференцируема и все ее частные про­

изводные порядка k непрерывны в с. Справедлива следующая теорема.

Теорема 5.1. Пустъ в простой областu G 'На nлосnостu uv зада'ныl фу'Нn'Цuu х(и, v), у(и, v), z(u, v) nласса C k , k ~ 1, nрu'Ч,ем ра'Нг матри'Цы (5.2) раве'Н двум во всех то'Ч,nах с. Тогда соот'Ноше'Нuя (5.1) определяют в nростра'Нстве м'Ножество Ф, nоторое представляет собой регуляр'Ную, k раз дuффере'Н'Цuру­

емую общую nоверх'Ностъ без особых то'Ч,еn.

Доказательство. Очевидно, достаточно убедиться в

том, что с помощью соотношений (5.1) осуществляется локаль­

но-гомеоморфное отображение области G на множество Ф.

1) Область G на плоскости называется э л е м е н т а р н о Й, если она явля­

ется образом открытого круга при гомеоморфном отображении этого круга

на плоскость.

5 В. А. Ильин и э. г. Позняк, часть II