Ilin_Poznyak_-_Matanaliz

§ 4 КРАТНЫЕ НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 111

любого n М1-tожество D n содержится в D n +1 ; 2) обоеди1-tе1-tие

всех М1-tожеств D n совпадает с М1-tожеством D 1).

Отметим, что каждое множество D n последовательности {D n }

содержится в D.

Пусть на открытом множестве D задана функция f(x), х = = (хl, Х2, хт), интегрируемая по Риману на любом замкну­

том кубируемом подмножестве множества D. Будем рассмат­

ривать всевозможные последовательности {Dn } открытых мно­

жеств, монотонно исчерпывающих D и обладающих тем свойст-

вом, что замыкание D n каждого множества D n кубируемо (от­

сюда, в частности, вытекает, что каждое из множеств D n огра­

ничено).

этот предел 1-tазывается 1-tесобстве1-t1-tым и1-tтегралом от фу1-t'Х:­

'И,ии f (х) по М1-tожеству D и обоз1-tа"lается одним из следующих

символов:

пределы указанных выше последовательностей не существуют.

Вэтом случае интеграл (3.18) называется расходящимся.

2.Несобственные интегралы от неотрицательных функций. Докажем следующую теорему.

Теорема 3.6. Для сходимости 1-tесобстве1-t1-tого и1-tтеграла

(3.18) от 1-tеотри'И,ател'Ь1-tоu в области D фу1-t'Х:'И,ии f(x), 1-tеобхо­

димо и JocmamO"l1-tо, "lтобы хотя бы для однои nоследовател'Ь­

ности 'Х:убируемых областеu {D n }, монотонно иС"lерnывающих

област'Ь D, была огра1-tи"lе1-t1-tоu "lисловая nоследовател'Ь1-tост'Ь

Dn

До к а з а т е л ь с т в о. Необходимость условия теоремы оче­

видна: последовательность (3.19) - неубывающая (D n содер­

жится в D n +1 и f(x) ? О), и поэтому необходимым условием ее

лежит по крайней мере одному из множеств D n .

112 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ГЛ.3

сходимости является ограниченность. Перейдем к доказатель­ ству достаточности условий теоремы. Так как последователь­

ность (3.19) ограничена и не убывает, она сходится к некоторо­

му числу I. Остается доказать, что к этому же числу I сходится

последовательность

a~ = J f(x) dx,

п~

где {D~} - произвольная другая последовательность областей,

монотонно исчерпывающих область D. Фиксируем любой номер n

- 1

и рассмотрим область D~. Найдется номер nl такой, что D n со-

держится в D n1 1). Поэтому

a~ ~ an1 ~ I.

Отсюда следует, что последовательность {a~} сходится к некото­

рому числу Г ~ I. Меняя в наших рассуждениях последователь­

ности a~ и аn, мы придем к неравенству I ~ г. Следовательно, 1'= I. Теорема доказана.

При м е р. Рассмотрим интеграл

взятый по всей плоскости. В качестве системы областей {Dn },

монотонно исчерпывающих область D, возьмем следующую си­

стему концентрических кругов D n :

n = 1, 2, ...

в каждом таком круге D n перейдем к полярной системе коор­ динат r, ср. Получим

Отсюда следует, что lim аn = п. Согласно только что доказан­

n-+оо

ной теореме интеграл (3.20) сходится и равен п. Отметим, что

1) Допустим, что это не так. Тогда для любого целого k можно указать

- 1

такую точку M k области D n , которая не принадлежит области D k . Из по-

следовательности {Mk} можно (в силу замкнутости и ограниченности D~)

- 1

выделить сходящуюся к некоторой точке М Е D n подпоследовательность. Точка М вместе с некоторой окрестностью принадлежит одному из мно­ жеств D k, . Но тогда этому же множеству D k1 и всем множествам D k с большими номерами принадлежат точки Mk с как угодно большими номе­ рами. Но это противоречит выбору точек Mk.

§ 4 КРАТНЫЕ НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 113

интеграл (3.20) может быть представлен в следующей форме 1) :

1 = _! е-х2dx _! е-у2 dy = С!е-х2dx) 2

Из этого представления мы получаем значение интеграла, назы­

ваемого интегралом Пуассона: 2)

Докажем следующую теорему.

Теорема 3.7 (общий nризнаn сравнени,я). Пусть неот­

ри'Цательные фунn'Ции f(x) и g(x) всюду в omnpblmoM множе­

стве D удовлетворяют условию

f(x) :::;; g(x).

Тогда из сходимости несобственного интеграла Jg(x) dx вы­

D menaem сходимость несобственного интеграла Jf(x) dx.

D

Доказательство. Пусть {Dn}-последовательность об­

ластей, монотонно исчерпывающих область D. Из очевидных

неравенств

аn = J f(х) dx:::;; J g (х) dx = Ьn

следует, что ограниченность последовательности Ьn влечет огра­

ниченность последовательности аn. Отсюда и из теоремы 3.6 вы­

текает справедливость сформулированной теоремы.

Обычно при исследовании несобственных интегралов на схо­

димость используются стандартные (эталонные) функции срав­

нения, наиболее употребительной из которых является функция

g(x) = Ixl-P , Р > о 3).

При м е р 1. Пусть а > О, D - шар радиуса а с центром в

начале координат, g(x) = Ixl-p . в качестве последовательности {Dn } областей, монотонно исчерпывающих D, возьмем систе­

му концентрических слоев D n , образованных удалением из ша­

ра D шаров радиуса 1/n с центром в начале координат. Вводя

1) в возможности такого представления легко убедиться, если в качестве

исчерпывающей системы областей взять систему увеличивающихся квадра­

тов с центрами в начале координат и со сторонами, параллельными осям, а

затем применить формулу повторного интегрирования по каждому такому

квадрату.

2) с. Пуассон-француаский математик и физик (1781-1840).

Очевидно, последовательность областей {D~} монотонно исчер­ пывает область D. Но тогда, согласно неравенству (3.31), ин­

теграл J f(x) dx расходится. Так как по условию этот интеграл

D

сходится, то предположение, что утверждение теоремы неверно,

не имеет места. Теорема доказана.

4. Главное значение кратных несобственных интегра­

лов.

Оnределе'Н,ие. Пусть фу'l-t'Х:v,и,я f(x) оnределе'l-tа при всех х Е

Е Ет и и'l-tтегрируема в 'Х:а:ждом шаре KR радиуса R с це'l-tт­

РОМ в 'l-tа'Чале 'Х:оорди'l-tат. Будем говорить, 'Что фу'l-t'Х:v,и,я f(x)

и'l-tтегрируема по Коши в Ет , если существует предел

lim J ЛХ) dx.

т--+оо KR

Тогда, очевидно, ЛХ) интегрируема по Коши и

V.p. J f(x) dx = О.

Ет

вчастности, при m = 2 функция двух переменных f(x, у) =

=h(r) cos t.p интегрируема по Коши, и интеграл от нее в смысле

главного значения равен нулю.

В случае, когда функция f(x) имеет особенность в некото­

рой точке ха области D, интеграл в смысле Коши вводится как

где D R - множество, получаемое удалением из области D шара

радиуса R с центром в точке ха.