- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Задача 1
- •Задача 2
- •Задача 3
- •Задача 4
- •Задача 5
- •Задача 6
- •Задача 7
- •Задача 1
- •Задача 2
- •Задача 3
- •Задача 4
- •Задача 5
- •Задача 6
- •Задача 7
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
11.5. Используя замечательные пределы, найти:
а) |
lim |
x |
. |
б) |
lim |
tg3x |
. |
|
|
||||||
|
x→0 sin 3x |
|
|
x→0 sin 2x |
в) lim 1−cos6x . x→0 xsin 3x
д) xlim tg x −3sin x .
→0 x
ж) lim 2x + 3 x . x→∞ 2x −1
и) lim 7x +3 1/ x . x→0 9x +3
л) lim ((2x +1)(ln(3x +1) −ln(3x −2)) .
x→∞
г)
е)
з)
к)
lim |
cos x − cos3x |
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
x→0 |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2cos x |
. |
|||||
lim |
|
|
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
x→π/ 4 |
|
|
π − 4x |
|
|
|
||||
lim (1+ tg2 |
|
)3/ x . |
||||||||
x |
||||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
− x |
1−x3 |
|
|
|
||||
|
x2 |
. |
|
|
||||||
lim |
7 |
|
|
|
|
|
|
|||
x→∞ |
− x |
|
|
|
|
|
м) |
lim |
ex − e |
. |
н) lim |
ln(1+ x) |
. |
||
x −1 |
3x |
−1 |
||||||
|
x→1 |
|
x→0 |
|
о) lim a2x −1 .
x→0 x
Домашнее задание
11.6. Найти пределы указанных функций:
а)
в)
д)
lim |
|
2 + 4x2 + 3x3 |
|
. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
x3 |
− 7x −10 |
|
|
|
|
||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
lim |
|
x3 − x2 + x −1 |
. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
x2 |
− 4x + 3 |
|
|
|
|
|
||||||
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
x |
2 |
+ 5 − |
|
x |
2 |
+1 |
|||||||
x |
|
|
|
|
. |
||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
lim |
7x2 +10x + 20 |
. |
|||||||||
|
x3 −10x2 −1 |
|||||||||||
|
x→∞ |
|
|
|||||||||
г) |
lim |
|
x2 − 25 |
|
. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x→5 |
|
x −1 |
− 2 |
|
|
|
|||||
е) |
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
||
lim |
|
|
− |
|
|
|
. |
|
||||
1 |
− x |
1− x2 |
|
|||||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
|
35
ж) lim x 3x. x→∞ 2 + x
и) lim cos3x − cos x .
x→0 1− 1− x2
л) lim(cos x)1/ x2 .
x→0
Ответы
з) lim 1−cos 4x . x→0 3xsin 2x
1−x
к) lim (1− 4x) x . x→0
м) lim ((x −4)(ln(2 −3x) −ln(5 −3x))) .
x→∞
11.1. а) |
(−∞;1] [5; +∞); |
|
|
|
|
|
|
|
б) − |
1 ;1 |
; |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) x [−5;−π) (0; π); |
|
|
|
|
|
|
|
|
г) (−∞; + ∞). |
|
|
|
|
||||||||||
11.2. а) Четная; |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) Ни четная, ни нечетная; |
||||||||||||||
в) Ни четная, ни нечетная; |
|
|
|
|
|
|
г) Нечетная. |
|
|
|
|
||||||||||||
11.4. а) |
5 ; |
б) 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) 7 |
; |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
г) |
11;; |
|
|
д) |
1 |
; ; |
|
|
|
|
|
|
е) − |
1 |
; |
|
|
||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
ж) ± |
5 ; |
|
|
з) 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и) 4; |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к) − |
1 |
|
; |
л) |
2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
м) 0; |
|
|
|
||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||
н) 3; |
|
|
|
|
о) |
|
2 |
|
; |
|
|
|
|
|
11.5. а) |
; |
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
б) |
|
3 |
|
; |
|
|
|
в) 6; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) 4; |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
д) |
|
; |
|
|
|
е) − |
|
|
|
2 |
|
; |
|
|
|
ж) e2; |
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36
з) e3; |
|
и) e−2 3; |
|
к) e−1; |
|
||
л) e2; |
|
м) e; |
|
н) |
1 |
|
; |
|
|
ln 3 |
|||||
|
|
|
|
|
|
||
л) 2ln a. |
11.6. а) 3; |
|
б) 0; |
|
|||
в) –1; |
|
г) 40; |
|
д) 2; |
|
||
е) − 1 |
; |
ж) e−6 ; |
|
з) 4 / 3; |
|||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
и) –8; |
|
к) e−4 ; |
л) e−1/ 2 ; |
|
м) 1. |
Занятие 12
Сравнение бесконечно малых функций. Непрерывность функций. Точки разрыва
Аудиторная работа
12.1. Вычислить пределы, используя теорему об отношении двух бесконечно малых функций:
а) |
lim |
cos x − cos 2x . |
б) |
lim |
ln(1− x) . |
||||||||
|
x→0 |
|
1− cos x |
|
x→0 |
2 tg 3x |
|||||||
|
|
arcsin |
|
x |
|
|
|
|
|
e5x −1 |
|
||
в) |
lim |
|
|
|
|
. |
г) |
lim |
. |
||||
|
|
|
|
1−x2 |
|||||||||
|
x→0 |
ln(1− x) |
|
x→0 sin10x |
|||||||||
д) |
lim sin 3(x − 2) . |
е) |
lim |
tg(x + 5) . |
|||||||||
|
x→2 x2 −3x + 2 |
|
x→−5 x2 − 25 |
||||||||||
12.2. Исследовать функции |
на непрерывность, установить |
||||||||||||
характер точек разрыва: |
|
|
|
|
|||||||||
а) |
f (x) = |
|
x |
. |
|
|
|
б) |
f (x) = sin(x −2) . |
||||
|
x −1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x −2 |
37
x
в) f (x) = 3 |
4−x2 |
. |
|
|
||||
д) |
f (x) = arctg |
|
1 |
. |
|
|||
|
x −3 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
, |
|
−∞ < x ≤1, |
|
||
ж) |
2 |
|
|
з) |
||||
f (x) = |
2 |
|
|
|
x >1. |
|||
|
|
+1, |
|
|||||
|
x |
|
|
|
г) |
f (x) = |
x2 − 2x +1 |
|
. |
||||
x3 |
− x2 − x +1 |
|||||||
|
|
|
|
|||||
е) |
f (x) = |
|
| x +1| |
. |
|
|||
|
|
|
||||||
|
|
|
x +1 |
|
||||
|
arcsin x, |
−∞ < x ≤1, |
||||||
f (x) = |
|
|
1< x < 2, |
|
||||
x2 −3, |
|
|
||||||
|
|
|
x ≥ 2. |
|
||||
|
x −1, |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
||
и) |
f (x) = |
5 |
|
x−2 |
−1 |
. |
|
к) |
f (x) = |
+1 |
. |
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
x +1 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
5x−2 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Домашнее задание |
|
|
|
|
|
|
|
|
12.3. Вычислить пределы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
а) |
lim |
ln(1+ 7x) |
. |
|
|
б) |
lim |
esin 7x |
−1 |
. |
|
|
|||||||
|
sin 2x |
|
|
|
x2 + 3x |
|
|
||||||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
||||||||
в) |
lim |
|
|
4x2 |
−1 |
|
. |
г) |
lim |
|
x2 − 4 |
|
. |
||||||
|
arcsin(1−2x) |
|
|
−3x |
+ 2) |
||||||||||||||
|
x→1 |
|
|
|
x→2 tg(x2 |
|
|||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12.4. Исследовать на непрерывность функции; установить характер точек разрыва:
а) f (x)
в) f (x)
г) f (x)
= |
|
tg x |
. |
|
|
|||
x2 + 2x |
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
− x |
2 |
, −2 ≤ x ≤ |
2, |
|||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2, |
|
2 < x ≤ 4, |
|
|
= x − |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x, x > 4. |
|
|||
|
−2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
ex − e−x |
. |
|
|
||||
|
|
x |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
б) f (x) = 1 1 . 1+3x
Построить график функции.
38