- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Задача 1
- •Задача 2
- •Задача 3
- •Задача 4
- •Задача 5
- •Задача 6
- •Задача 7
- •Задача 1
- •Задача 2
- •Задача 3
- •Задача 4
- •Задача 5
- •Задача 6
- •Задача 7
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
и) |
3x2 −12x +ln |
|
x −1 |
|
−3ln |
|
x +1 |
|
+ 2ln |
|
x + 2 |
|
+C. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
к) |
4ln |
|
x |
|
−3ln |
|
x −1 |
|
− |
|
9 |
|
+C. |
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x −1 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.3. а) 3x2 −12x + 2ln x −1 −3ln x +1 +10ln x + 2 +C .
б) |
|
x +1 |
|
− 1 |
+C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ln |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
arctg |
x − |
1 |
+C . |
||||||||||||||
2ln |
|
|
|
|
x + 2 |
|
− |
|
|
−2x + 4 |
− |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 ln |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
x −2 |
3 |
|
|
|
||||||
г) |
|
|
|
−4x +13 |
|
−ln |
|
x +1 |
|
+ 2arctg |
+C . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
д) |
1 ln |
|
x −1 |
|
+ |
1 ln |
|
x +1 |
|
− |
1 ln |
|
x2 |
+ 4 |
|
+C . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е) x2 + x + 4ln x −1 +ln x +3 −2ln x −4 +C .
Занятие 5
Интегрирование тригонометрических выражений и простейших иррациональных функций
Аудиторная работа
5.1. Найти неопределенные интегралы от тригонометрических функций:
а) |
∫sin 5xsin 3x dx . |
б) ∫cos8x cos3x dx . |
|
в) |
∫sin4 2x dx . |
г) |
∫cos5 3x dx . |
д) |
∫sin3 2x cos5 2x dx . |
е) |
∫sin3 3xcos3 3x dx . |
ж) |
∫cos2 xsin4 x dx . |
з) |
∫tg3 2x dx . |
96
и) |
∫ctg4 x dx . |
|
|
|
|
||||
л) |
∫ |
|
dx |
|
. |
|
|
|
|
1+ sin2 x |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||
н) |
∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
. |
sin |
2 |
x +8sin x cos x +12cos |
2 |
x |
|||||
|
|
|
|
|
к) |
∫ |
sin2 x dx |
. |
|
|||||
|
cos4 x |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
м) |
∫ |
|
dx |
|
. |
|
|
|
|
1+ tg x |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||
о) |
∫ |
|
dx |
|
|
|
. |
||
5 + 4sin x |
|||||||||
|
|
|
5.2. Найти неопределенные интегралы от иррациональных функций:
а)
в)
д)
ж)
и)
|
|
|
|
dx |
||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
(5 + x) |
|
|
|
|
|
||||
3 + x |
||||||||||
|
|
|
|
dx |
||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
. |
|||
(3 |
|
+ 4) |
|
|
||||||
x |
x |
∫x23+1+1x+ x dx .
∫x(1− x2 ) dx .
3 |
1+ 4 |
x |
dx. |
∫ |
x |
|
|
|
|
|
б) |
∫ |
1 |
|
|
|
x −1 |
dx . |
|
|
|
|||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
г) |
∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
+5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
x( |
x |
|
x2 ) |
|
|
|
|||||||||||||
е) |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2x +1 + 3 2x |
+1 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
з) |
∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1+ x |
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
3 1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
к) |
∫ |
x |
dx . |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Домашнее задание
5.3. Найти неопределенные интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
а) |
∫sin3 xcos8 x dx . |
|
б) |
∫sin4 3x cos2 3x dx . |
|
||||||||
|
∫cos5 xsin x dx . |
|
|
∫5 |
|
cos3 2x dx . |
|
||||||
в) |
|
г) |
sin3 2x |
|
|||||||||
д) |
∫ |
dx |
|
|
. |
е) |
∫ |
|
|
|
dx |
. |
|
3cos x − |
4sin x |
16sin |
2 x −8sin x cos x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
97
ж) ∫ x xx++12 dx .
|
|
x + 3 |
x2 |
|
+ 6 |
|
|
|
||
и) |
∫ |
x |
|
dx . |
||||||
x(1+ 3 |
|
|
|
|
|
|||||
|
x) |
|||||||||
|
|
|
|
|
Ответы
5.1. а) |
|
|
1 sin 2x − |
1 |
sin 8x + C. |
||||||||||||
|
16 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
в) |
3x |
− |
1 sin 4x + |
|
1 |
|
sin 8x +C. |
||||||||||
8 |
|
64 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
||||||
д) |
− |
1 |
|
cos6 2x |
− |
|
cos8 2x |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+C. |
||||||
|
|
2 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ж) |
− |
|
1 |
cos 2x + |
1 |
cos 4x +C. |
|||||||||||
16 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
64 |
|
|
|
|
|||||||||
и) |
− |
ctg3 x |
+ctg x + x +C. |
||||||||||||||
|
|
|
3 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
л) |
1 |
|
|
arctg( |
|
tg x) +C. |
|||||||||||
|
|
2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з) |
∫ |
|
|
1− |
|
x +1 |
|
|
|
|
dx . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(1+ |
3 x +1) x +1 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ 3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x + |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|||||||||
к) |
∫ |
|
|
x |
|
dx . |
||||||||||||||
|
x(1+ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
x) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
б) 221 sin11x +101 sin 5x +C.
г) |
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
sin 3x − |
|
|
sin |
|
3x + |
|
3x |
+C. |
||||||||
3 |
3 |
|
5 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
cos3 6x |
|
|
||||||
е) |
− |
|
cos6x − |
|
|
|
|
|
|
|
+C. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
48 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
з) |
1 tg2 2x + |
1 ln |
|
cos 2x |
|
+C. |
|
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
к) |
4 |
tg3 x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
− |
+C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м) |
1 ln |
|
tg x +1 |
|
− |
1 ln |
|
tg2 x +1 |
|
+ |
1 x +C. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
5tg |
x |
+ 4 |
|
|
|
|
|
|
tg x +6 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
н) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о) |
2 |
+C. |
||||||||
− 4 ln |
tg x −6 |
+C. |
|
|
|
|
3 arctg |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5.2. а) |
|
|
|
|
arctg |
|
3 + x |
|
+C. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
98
б) −2arctg |
|
|
|
x −1 |
|
+ln |
|
|
|
x +1 |
− |
x −1 |
|
|
+C. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x +1 + |
x −1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
в) 66 |
|
|
|
− |
12arctg |
|
x |
|
|
|
+C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+C, гдеt =10 |
|
|
||||||||
г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
x. |
|||||||||||||||||||||
10 |
− |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
+ln |
|
−ln |
+1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
4t4 |
3t3 |
|
2t2 |
t |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
д) |
|
3 t16 |
|
|
− |
|
6 t10 |
+ 6 t7 |
+ |
3 t4 |
+C, t = 6 |
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1+ x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
8 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
е) |
|
t3 |
− |
t2 |
|
+t −ln |
|
t +1 |
|
+C, гдеt = 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2x +1. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ж) Не берущийся. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2t3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
t5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− x4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
з) |
− |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
+t +C, гдеt = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
− t |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
и) 12 t |
|
|
|
|
+C, где t = 3 1− 4 x. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к) 6t + 2ln t −1 −ln t2 +t +1 −43 arctg 2t3+1 +C, гдеt = 31+ x .
5.3. а) 111 cos11 x − 19 cos9 x +C .
б) 161 x −1921 sin12x −1441 sin3 6x +C .
в) − cos6 x +C . 6
г) 165 5sin8 2x − 365 5sin18 2x +C .
99