9.9. (−5; 2; 4). |
9.10. x + 3y − 2z +1 = 0 . |
|
|||
9.11. |
|
. |
9.12. а) α = 2 ; б)α = 0,4 . |
|
|
3 |
|
||||
9.13. Q(1;−2;−10) . |
5 |
|
′ |
||
9.14. sin ϕ = − 7 |
;ϕ ≈ −45 36 . |
||||
9.15. Нет. |
9.16. Q(4;−1;−3) . |
|
|||
9.17. x = 2t , y = −3t + 2, z =17t +3. |
|
|
|||
Занятие 10
Кривые 2-го порядка на плоскости. Поверхности 2-го порядка
Аудиторная работа
10.1. Составить каноническое уравнение эллипса, если известно, что: а) расстояние между фокусами равно 8, малая полуось равна 3; б) малая полуось равна 6, эксцентриситет равен 4/5.
10.2. Найти координаты фокусов и эксцентриситет эллипса x2 +4y2 = 4 .
10.3. Составить каноническое уравнение гиперболы, если известно, что:
а) расстояние между фокусами равно 30, а расстояние между вершинами равно 24;
б) действительная полуось равна 2 и гипербола проходит через точку M (4;4
3) .
10.4.Найти уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы - в вершинах эллипса 6x2 +5y2 = 30 .
10.5.Составить каноническое уравнение параболы, если известно, что:
а) парабола имеет фокус F(0;2) и вершину в точке O(0;0) ;
б) парабола симметрична относительно оси Ox и проходит через точку M (4;− 2) .
30
10.6.Составить канонические уравнения парабол, фокусы которых совпадают с фокусами гиперболы x2 − y2 = 8 .
10.7.Выяснить, какая фигура соответствует каждому из данных уравнений, и (в случае непустого множества) изобразить ее в системе координат Оху:
а) x2 + y2 −4x +6y + 4 = 0 ;
б) 3x2 −4y2 −12x −8y + 20 = 0 ; в) y2 −3x −4y +10 = 0 ;
г) 2x2 +3y2 +6x +6y + 25 = 0 .
10.8. Определить вид поверхности и построить ее:
а) x2 + y2 + z2 −3x +5y −4z = 0 ; б) x = y2 + 2z2 ;
в) 2x2 − y2 + z2 = 4 ;
г) 2x2 − y2 + 3z2 = 0 ;
д) z2 = 4x ; е) x2 + z2 = 5.
Домашнее задание
10.9. Найти уравнение гиперболы, если ее асимптоты заданы уравнениями x ± 2y = 0 , а расстояние между вершинами, лежащими
на оси Ox , равно 4.
10.10. Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
4 2 |
|
|||||||
через точки |
|
|
|
и |
|
−1; |
|
|
, и найти его |
|||||
M1 |
|
2 |
|
; −1 |
M 2 |
3 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
эксцентриситет.
31
10.11.Найти длину общей хорды параболы y = 2x2 и окружности
x2 + y2 = 5 .
10.12.Написать уравнение параболы, проходящей через точки (0; 0) и (−2; 4) , если параболы симметрична: а) относительна оси Ox ;
б) относительно оси Oy .
10.13. Какая фигура соответствует каждому из данных уравнений? Сделать чертеж, если это возможно.
а) 4x2 + 25y2 + 4x −10y −8 = 0 ;
б) x2 − y2 + 2x −2y = 0 ;
в) x2 −6x + 2y +11 = 0 .
10.14. Определить вид поверхности и построить ее:
а) x2 + y2 + z2 = 2z ;
б) x2 +3z2 −8x +18z +34 = 0 ;
в) 5x2 + y2 +10x −6y −10z +14 = 0 ;
г) xy =1.
Ответы
10.1. а) |
|
x2 |
|
+ |
|
y2 |
|
=1; |
|
б) |
|
x2 |
+ |
|
|
y |
2 |
=1. |
|
||||||||||
25 |
|
|
9 |
|
|
36 |
100 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
10.2. F1(0, − |
|
|
|
|
), F2 (0, |
|
), |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
ε = |
|
|
3 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
10.3. а) |
|
x2 |
|
|
|
|
|
y2 |
|
=1 ; |
|
б) |
|
y2 |
|
|
|
x2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
=1. |
|
||||||
144 |
|
81 |
|
|
16 |
|
4 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
10.4. |
y2 |
|
− |
x2 |
|
=1. |
|
|
10.5. а) |
|
x2 = 8y; |
б) y2 = x . |
|||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
32
10.6. y2 = ±16x. 10.7. а) окружность (x − 2)2 + (y + 3)2 =12. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
б) гипербола |
|
(y +1)2 |
|
− |
|
(x − 2)2 |
=1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
в) парабола (y − 2)2 = 3(x − 2); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
г) пустое множество. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
10.8. а) сфера; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) эллиптический параболоид; |
|
||||||||||||||||||||
в)олнополостный гиперболоид; г) коническая поверхность; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
д)параболический цилиндр; е)круговойцилиндр; |
10.9. |
|
x2 |
− |
y2 |
=1. |
||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
10.10. |
|
|
+ |
|
=1; |
ε = |
5 |
|
. |
10.11. 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
9 |
|
|
|
4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
10.12. а) |
|
y2 = −8x ; |
|
|
|
|
|
|
|
б) y = x2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
10.13. а) |
(x + 0,5)2 |
+ |
|
(y − 0,2)2 |
=1; б) |
x + y + 2 = 0; x − y = 0 ; |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2,5 |
|
|
|
0,4 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
в) (x −3)2 = −2(y +1) . |
|
|
|
|
10.14. а) |
x2 + y2 +(z −1)2 =1 ; |
|
|||||||||||||||||||||||||
б) |
(x −4) |
2 |
+ |
|
(z +3) |
2 |
|
=1 |
; |
|
|
|
в) z = |
(x +1) |
2 |
+ |
(y −3)2 |
. |
|
|
|
|
||||||||||
|
9 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
10 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Занятие 11
Функция. Предел последовательности и предел функции
|
|
|
Аудиторная работа |
|
|
|
11.1. Найти области определения функций: |
|
|
||||
|
|
|
|
2x |
. |
|
а) y = x2 −6x +5 . |
б) y = arccos |
|||||
|
||||||
|
|
|
|
1+ x |
||
33
в) y = 
25 − x2 +lgsin x . г) y = 2x2 −2 .
11.2. Проверить функции на четность или нечетность:
а) f (x) = x4 +5x2 . б) f (x) = x2 + x .
в) f (x) = 2xx−1 .
11.3.Построить графики функций:
а) y = 2xx−+13 .
в) y = −2sin(2x + 2) .
11.4.Вычислить пределы:
а) |
lim |
5x2 |
−3x +1 |
. |
|||||||
|
|
|
+ x −5 |
||||||||
|
x→∞ 3x2 |
|
|
||||||||
в) |
lim |
2x2 |
−9x + 4 |
. |
|||||||
x2 + x − 20 |
|||||||||||
|
x→4 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
−3 |
. |
|
|||
д) |
lim |
|
|
x + 7 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x→2 |
1− |
|
3 − x |
|
||||||
ж) nlim→∞ 
n2 −2n −1 − 
n2 −7n +3 .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и) |
lim |
|
|
|
|
x |
2 +1 −1 |
. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x→0 |
16 |
+ x2 |
− 4 |
|
|
|||||||||
|
3 |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
||||||
л) |
|
x |
. |
|
|
|
|
||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x→1 |
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|||||||
н) |
lim |
|
|
x2 + 7x +10 |
. |
||||||||||
2x2 + 9x +10 |
|||||||||||||||
|
x→−2 |
|
|||||||||||||
г)
б)
г)
б)
г)
е)
з)
к)
м)
f (x) |
= |
ex + |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ex − |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y =| 3x + 4 − x2 | . |
|
|
|
|
|
||||||||||
y = xsin x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2n −1 |
|
|
1+ 2n3 |
|
|
|||||||
lim |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
3 |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
5n +7 |
|
|
2 |
+5n |
|
|
||||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
lim |
2x2 −9x −5 |
. |
|
|
|
|
|||||||||
x2 − 4x −5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x→5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1+2 +3 +...+n |
− |
n |
|||||||||||||
lim |
|
|
|
n +2 |
|
|
|
|
2 |
. |
|||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
lim |
2x2 −5x + 4 |
. |
|
|
|
|
|||||||||
3 − 2x −5x3 |
|
|
|
|
|||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
||||||||||
lim |
sin x − cos x . |
|
|
|
|
||||||||||
x→π |
|
|
cos2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
sin |
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x→∞ |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34