- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Задача 1
- •Задача 2
- •Задача 3
- •Задача 4
- •Задача 5
- •Задача 6
- •Задача 7
- •Задача 1
- •Задача 2
- •Задача 3
- •Задача 4
- •Задача 5
- •Задача 6
- •Задача 7
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
Ответы
17.1. а) |
y = C |
cos2x + C |
2 |
sin 2x + 1 x3 |
+ |
3 |
x. |
||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
б) y = C e−x + C |
2 |
xe−x + 4x2e−x. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
в) y = C ex + C |
2 |
e3x |
+ (2x + 3)e2x. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
г) |
y = C e−4x + C |
2 |
ex − 15 sin x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(221−510x + 425x2 +1000ex ). |
|||||||||
д) |
y = C e−3x cos x +C |
2 |
e−3x sin x + |
||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4250 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
е) |
y = C1 cos x +C2 sin x + 1 (9cos2 |
x +cos x cos3x +15sin2 x +sin xsin 3x). |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ж) |
y = C e−3x |
+ C |
2 |
+ |
x |
+ 2 e2x − |
1 |
(cos3x + sin 3x). |
|||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
5 |
18 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
з) |
y = C e2x + C |
2 |
e− |
2x − |
1 |
(5cos2x +16sin 2x). |
|||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
и) |
y = |
1 |
(25 + 39e4x − 28x − 24x2 ). |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
64 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
к) |
y = − |
|
1 |
e−9x (7 −10e9x + 3e9x cos3x −9e9x sin 3x). |
|||||||||||||||||||||||||||
90 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
17.2. а) |
y = C |
+C |
2 |
e−x |
+ x2 −3x . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
б) y = C ex + C |
2 |
e2x |
+ (4 − 2x)e−x . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
в) |
y = −2e−x − 4xe−x + 3sin 2x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
г) |
y = cos4x − sin 4x + e4x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
д) y = 3e−2x − 2e2x + 2xe2x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
128
Занятие 18
Решение систем дифференциальных уравнений. Метод исключения
Аудиторная работа
18.1. Решить системы дифференциальных уравнений:
|
dx |
= |
|
y |
, |
|
|
dx |
= 2y −5x + et , |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а) |
|
t |
б) |
|
||||||||
dt |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|||
|
dy |
= |
y(x + 2y −1) |
. |
|
dy = x −6y + e−2t . |
||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
t(x −1) |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
в) |
xy′ = y, |
г) |
x′ |
= y |
x(0) = 0, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
xzz′+ x2 + y2 = 0. |
|
y′ = −x +1 y(0) =1,5. |
|||||||||
д) |
x′ = x + y, |
е) |
x′ |
= 2x + y + cost, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y′ = x − y. |
|
y′ = −x + 2sin t. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x′ |
= 2x + y, |
|
x′ = |
|
, |
||||||
ж) |
з) |
y |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||
|
y′ = 3x + 4y. |
|
|
= |
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ |
x |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Домашнее задание
18.2. Решить системы дифференциальных уравнений:
|
|
z −1 |
|
|
y2 |
||||
|
y′ = |
|
|
|
|
x′ = |
|
|
|
|
z . |
|
x . |
||||||
а) |
|
|
б) |
||||||
|
z′ = |
|
1 |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
y − x |
|
y′ = |
y |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
в) x = 3x − 2y |
x(0) =1 . |
г) x = x − 4y . |
|||||||
|
y = 4x + 7 y |
y(0) = 0 |
y = x −3y |
129
Ответы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
18.1. а) |
x = |
|
C1t + C2 −1, |
y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
C1t |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
C1t + C2 |
|
|
|
|
(C t |
+C |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
б) x = C e−4t +C |
2 |
e−7t + 1 e−2t + |
7 |
|
et , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
y = 1 C e−4t |
|
−C |
|
e |
−7t + |
3 |
e−2t + |
1 |
|
|
et . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
2 |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
в) y = C1x, |
|
z = ± |
C2 − x2 (1+ C12 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
г) x =1 − cost +1,5sint, |
y = sint +1,5cost. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
д) x = C1e |
|
t +C2e− |
|
t , y = C1 ( |
|
−1)e |
|
t −C2 ( |
|
+1)e− |
|
t . |
||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
е) x = (C + C |
t)et |
|
+ 1 cos t, |
y = (C |
2 |
(1 |
−t)−C )et |
− 2 cost − 1 sin t. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ж) x = C et |
+ C |
e5t , y = −C et +15C |
2 |
e5t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
з) C x2 |
= 2t + C |
|
, |
|
|
y2 = C |
(2t + C |
2 |
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
18.2. а) |
y = x + |
|
|
|
1 |
|
e−C1x , z = C2eC1x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
C1C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
б) x2 = C e2t +C |
|
e−2t , y2 = C e2t |
−C |
2 |
e−2t . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
в) x = e5t (cos 2t −sin 2t), y = 2e5t sin 2t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
г) x = (2C t |
+ 2C |
2 |
|
+1)e−t , y = (C t |
+C |
2 |
)e−t . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
130
Типовой расчет № 3
Неопределенный и определенный интегралы
В заданиях:
№1–6 – найти неопределенные интегралы;
№7 – вычислить определенный интеграл;
№8 – вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
1. ∫ 2xdxx +1.
4. ∫sin3 2xcos2 2x dx.
7. 1∫ e2x dx .
0 ex +1
|
|
Вариант 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. |
∫(2x −1)sin2 xdx. |
3. |
∫ |
|
xdx |
|
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 + |
|
x + 4 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5. |
∫ |
x4 |
+ 2x2 + 3 |
dx . |
6. |
∫ |
arctg2x |
dx. |
|||||||
|
|
x3 −8 |
1 + 4x2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
8. |
+∞ |
xdx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
+ x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ρ = a cosϕ,
ρ= 2acosϕ.
10. Найти длину полукубической параболы y2 = |
2 |
(x −1)2 , |
|||
|
|
x |
|
3 |
|
заключенной внутри параболы |
y2 = |
. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
3 |
|
|
|
1.∫x2ex3 dx.
3.∫ sin2 x + x2sin 2x dx.
xsin x
5. |
∫ |
|
|
2x + 3 |
|
|
|
dx. |
|
x(x2 + 2x |
− 3) |
||||||||
|
|
|
|||||||
7. |
e |
dx |
|
|
. |
|
|||
∫ |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||
|
1 x |
4 + ln x |
|
|
|
Вариант 2
2. ∫3x ln xdx.
4. |
∫sin4 |
3 |
|
xdx. |
||||||
|
||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
||||
|
|
3 |
|
+1 |
|
|
||||
6. |
∫ |
x |
dx. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x +1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||
8. |
1 |
|
dx |
|
. |
|||||
∫ |
|
|
||||||||
(x −1)3 |
||||||||||
|
0 |
|
131
9.Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = x2 , y = 2 − x .
10.Найти длину кардиоиды ρ = 2(1 − sin ϕ) .
1. ∫ |
sin xdx |
. |
|
4 + cos2 x |
|||
|
|
3.∫sin2 x cos xdx.
5.∫(x2 +1) dx .
x3 + 4x2
4 |
1 |
+ |
y |
|
dy. |
|
7. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|||
1 |
|
|
|
|
Вариант 3
2. ∫ex cos2xdx.
4. ∫ |
|
|
|
|
dx |
. |
|||
cos x + 3sin x |
|||||||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
. |
|
|
6. ∫ |
|
|
|
x |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x +1 |
|
|||||
+∞ |
xe−x2 dx . |
|
|||||||
8. ∫ |
|
||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
9.Найти площадь фигуры, ограниченной линией ρ = a(1 − cosϕ) .
10.Найти объем тела, полученного вращением фигуры,
ограниченной линиями
1. ∫ x2dx3 .
9 − x
3. ∫ |
|
|
dx |
|
|
. |
|
|
1+ sin2 |
x |
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||
5. ∫ |
|
|
x3dx |
|
. |
|||
|
(x2 +1)(x2 |
+ 4) |
||||||
|
|
|
||||||
π/ 4 |
sin x |
|
dx. |
|
||||
7. ∫ |
|
|
|
|||||
cos3 x |
|
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
y = x2 , y = 2 − x, y = 0, вокруг оси Ox .
Вариант 4
2. ∫arctg 2xdx.
4. ∫ |
2 |
|
ln x |
dx |
. |
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x |
|
|
|
6. ∫ |
|
xdx |
. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
x + 4 |
|
|||||
|
|
|
|
||||
e |
|
dx |
. |
|
|||
8. ∫ |
|
|
|||||
x ln2 x |
|
||||||
1 |
|
|
132
9.Найти площадьфигуры, ограниченной линиями xy = 6, x + y = 7.
10.Найтипериметрфигуры,ограниченнойлиниями y = x2 , y = x .
1. ∫ |
|
dx |
|
|
. |
||
sin2 x |
|
|
|
|
|||
1 |
−ctgx |
||||||
|
|
|
4.∫6sin x + cos x dx.
1+ cos x
7.e∫ln x + 4x2 dx.
1 x
Вариант 5
2. ∫ln 4xdx. |
3. ∫ |
|
|
dx |
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
arccos x 1 − x2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5. |
∫ |
|
x4dx |
. |
6. ∫ |
|
x +1 |
dx. |
|
|
|||||
|
x |
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
x2 |
+ 2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
||||||
8. |
+∞ |
|
xdx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
(1+ x2 )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. Найти длину дуги кривой y = ex −1 от точки (0; 0) |
до точки |
||||||||||||||||||||||
(1; e −1) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
10. Найти объем |
тела, |
полученного вращением |
фигуры, |
||||||||||||||||||||
ограниченной линиями y = x2 , y = 0, x = 2 , вокруг оси Oy . |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 6 |
|
|
||||||||
1. |
∫ |
|
cos2 x dx |
|
. |
|
|
|
|
2. ∫xarccos2xdx . |
|
||||||||||||
|
sin4 |
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. ∫ |
|
|
2tg x +3 |
|
dx. |
4. ∫xsin(1 − 3x2 )dx. |
|
||||||||||||||||
|
sin2 x + 2cos2 x |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
x5 |
+ 2x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|||||||
5. |
∫ |
|
dx. |
|
6. ∫ |
|
|
2x +1 |
. |
|
|||||||||||||
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
−1 |
|
|
|
4 |
+ |
|
2x +1 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
π/ 3 |
|
2 |
xdx. |
|
|
|
|
|
+∞ |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|||||
7. |
|
∫sin |
|
|
|
|
|
|
8. ∫ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
+1 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||
9. Вычислить площадь фигуры, |
ограниченной кривой x = t −sin t, |
||||||||||||||||||||||
y =1+ cost, |
0 ≤ t ≤ π. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
133
10. Найти объем тела полученного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной линиями xy =1, x = 3, y = 3.
1. ∫1cos+ tg2 xx dx.
4. ∫ |
dx |
. |
|
cos x −3sin x |
|||
|
|
7.∫3 arctg2xdx.
1 1 + x
|
|
|
Вариант 7 |
|||||
2. ∫ |
2x −1 |
|
|
dx. |
|
|||
cos2 x |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
5. ∫ |
|
x2 + 3x +1 |
dx. |
|||||
|
x3 + 2x2 −3x |
|||||||
|
|
|
|
|||||
e |
dx |
|
|
|
|
|||
8. ∫ |
|
|
|
. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
x ln x |
|
|
||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
3. ∫x2 1 − 3x3 dx.
6. ∫ |
|
|
x |
+1 |
|
|
dx. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 x2 − 3 |
|||||||||
|
x |
|
|
9.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией ρ = 2cos3ϕ.
10.Вычислить длину кривой x = cos3 t , y = sin3 t .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. ∫ |
|
x3dx |
|
. |
|
|
2. ∫ln(1+ x2 )dx. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
1− x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
dx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|||||
3. ∫e |
|
x |
|
|
4. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 + 2sin x + 3cos x |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
x3 + 2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
||||||||
5. ∫ |
|
|
dx. |
6. ∫ |
|
|
|
x +1 |
|
|
dx. |
||||||||||||||
(x −1)(x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
+1) |
|
x +1(3 x |
+1 |
+1) |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
4 − x2 dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
7. ∫ |
|
|
8. ∫ |
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
9 − x2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.Вычислить длину кривой y = ln x от точки (1;0) до точки (e;1) .
10.Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox
фигуры, ограниченной линиями x = cost, y = 3sin t, 0 ≤ t ≤ π/ 2 .
134
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
(1+ |
|
|
|
)5 dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x6dx |
|
|
|
||||||
1. ∫ |
|
x |
. |
2. ∫(2x −1)e |
4x |
dx. |
3. ∫ |
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
+ x7 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4. ∫sin4 2x cos2 2xdx. |
5. ∫ |
|
|
4 −3x |
|
dx . |
6. ∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
. |
|||||||||||||||||
|
x3 +8x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
x + 2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
9 |
|
y +1 |
|
|
|
|
|
+∞ |
|
− |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
dx. |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
7. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. ∫ |
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
y |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.Найти площадь фигуры, ограниченной линией ρ = 2asin ϕ.
10.Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Oy
фигуры, ограниченной линиями y2 = x, x = 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. ∫x2 sin x3dx. |
|
2. ∫ x2 sin 3xdx . 3. ∫(x2 +1)ex3+3x dx . |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
x2 +1 |
|
|
|
|
+ 3 |
|
|
|
|
|
||||||
4. ∫ |
|
sin x |
. |
|
|
5. ∫ |
dx . |
6. ∫ |
|
x |
x |
dx . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 + 2x |
2 + 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
cos5 x |
|
|
x + 6 x |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
ln 4 |
|
dx |
|
|
|
|
|
1 arccos x |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
7. ∫ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
8. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ex +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
1 − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
9. Найти длину кривой ρ = 4sin ϕ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
10. Найти площадь фигуры, |
ограниченную линиями x = 4 cos t, |
|||||||||||||||||||||||||
y = 3sin t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. ∫(1+ctg3x) |
dx |
|
|
2. ∫(x2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
; |
+1) ln xdx ; |
3. ∫ |
9 − x2 dx ; |
||||||||||||||||||||||
sin2 |
x |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
135
|
|
|
dx |
|
|
|
|
x2 |
+ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
||
4. |
∫ |
|
|
; |
5. ∫ |
|
dx ; |
6. ∫ |
|
|
2x −1 |
; |
|||||||||||
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 cos x |
+ 3 |
+ x |
3 |
2x −1 + 6 |
|
2x −1 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
π/ 2 |
|
|
2 |
|
|
x3dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7. |
|
∫cos x2sin x dx ; |
8. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
16 − x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: x2 =16x − 4y,
x= 4 + y .
10.Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox
фигуры, ограниченной линиями x2 − y2 = a2 , x = 2a .
Вариант 12
1. ∫ |
cos |
|
|
x |
|
dx . |
2. ∫ |
ln x |
dx . |
|
|
3. ∫x3e4x4 dx . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x + 9 |
|
|
|
|
6 |
|
dx |
|
|
|
|||
4. |
∫tg |
4 |
3xdx . |
5. |
∫ |
|
|
dx . |
6. ∫ |
|
x |
|
|
. |
||||||||||||
|
|
x4 − x2 −12 |
|
|
+ 3 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
x |
|
x |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
7. |
e2 ln2 x |
dx . |
8. |
+∞ x |
2dx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x |
|
|
|
(x3 |
+1)4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
9. Найти длину |
кривой |
y = ln cos x |
от |
точки (0; 0) до точки |
(π4; ln 22 ) .
10. Найти площадь фигуры, ограниченной одним витком ρ = 2ϕ.
|
|
|
Вариант 13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − |
|
|
|
|
|
||||||
1. ∫tg3xdx . |
2. ∫(4x −1) cos2 2xdx . |
3. ∫ |
x |
|
|
dx . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
dx |
|
|
3x + 4 |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
. |
|
|
|
|||
4. ∫ |
. 5. ∫ |
|
dx . |
6. ∫ |
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||
5sin2 x −3cos2 x |
|
x3 + 5x2 − 6x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
1− 4 x |
|
|
|
136
|
3 |
|
|
|
2 |
x dx |
|
|
x3 1+ x2 dx . |
|
|||||||
7. ∫ |
8. ∫ |
. |
||||||
(x −1)2 |
||||||||
0 |
|
|
|
1 |
|
9. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: y2 = x +5,
y2 = 4 − x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
10. Найти длину кривой x = et |
cost , y = et |
sin t |
(0 ≤ t ≤1) . |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. ∫ |
|
|
dx |
|
. |
2. ∫ln2 2xdx . |
3. ∫ex cosex dx . |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x |
|
x2 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|||
4. ∫ctg |
3 |
3xdx . |
5. |
∫ |
3x + |
8 |
dx . |
6. ∫ |
|
x +1 |
dx . |
||||||||||||||||
|
|
3 − x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x |
|
x +1 |
− x +1 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
4 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
+∞ ln2 |
x |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
7. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
8. |
∫ |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
+ |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.Найти площадь фигуры, ограниченной линией ρ = 4sin 2ϕ.
10.Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Oy
фигуры, ограниченной линиями y2 = 9 − x , x = 0.
Вариант 15
1. ∫cos x |
|
dx . |
2. ∫ |
|
xdx |
. |
|
|
3. ∫x4x2 dx . |
|
|||||||||||||
1 − sin x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
sin2 2x |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. |
∫ |
|
dx |
|
. |
|
5. ∫ |
|
|
2x −1 |
dx . |
6. |
∫ |
|
x2 |
−1 |
dx . |
||||||
|
2 + cos x |
|
|
x4 + 5x2 |
+ 6 |
|
x |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
π/ 3 |
|
|
|
+∞ |
sin |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
7. |
|
∫sin x cos2 x dx . |
8. ∫ |
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
1 |
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
137
9. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = 1+1x2 ,
y = x2 . 2
10. Найти длину кривой x = 2(cost + t sin t), y = 2(sin t −t cost), 0 ≤ t ≤ π.
Вариант 16
1. ∫ |
|
1 − 2ln x |
|
dx . |
2. ∫e2x sin2 x dx . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. |
∫sin |
4 |
2x cos |
4 |
2x dx . |
5. |
∫ |
3x2 + 4x −1 |
dx . |
||||||||||
|
|
|
x |
4 |
+ x |
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
π/ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
x dx |
|
|
|
|
||||
7. |
|
∫ |
tg2 xdx . |
|
|
8. |
∫ |
|
. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
π/ 6 |
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
x2 −1 |
|
|
|
3. ∫ |
|
2x + 3 |
|
|
dx . |
|||
x2 + x + 2 |
||||||||
|
|
|||||||
|
|
|
+ 3 |
|
|
|
|
|
6. ∫ |
|
x |
x |
|
dx . |
|||
|
|
|
|
|
||||
|
x + 6 |
x |
||||||
|
|
|
|
|
9. Найти длину кривой y2 = (x −1)3 от точки (1; 0) до точки
(6; 125) .
10. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной линиями y = x2 − x , y = 0 .
Вариант 17
|
|
|
|
|
|
|
3x + 5 |
|
|
|
|
|
4x −3 |
|
|
|
|||||||||||||
1. ∫2x |
1+ 2x |
dx ; |
|
|
2. ∫ |
dx ; |
|
3. ∫ |
|
|
|
dx ; |
|||||||||||||||||
|
|
|
cos2 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
2 − 2x − x2 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
sin 2x dx |
|
|
|
|
|
x4 + x2 +1 |
|
|
|
|
|
|
− 3 |
|
|
|
|
||||||||
4. |
|
|
|
|
; |
5. |
|
|
dx ; |
6. |
|
|
|
x |
x |
dx ; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
∫ |
|
4sin2 x + cos2 |
x |
|
∫ |
x4 −8x2 −9 |
|
|
∫ 3 x − 6 x −1 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
π/ 6 |
|
|
2 |
|
x |
2 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7. |
|
∫ sin3 2xdx ; |
|
|
8. ∫ |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
x3 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
138
9. Найти площадьфигуры, ограниченной линиями y2 = 9x, y = 3x . 10. Вычислить длину кривой x = 5cos2 t, y = 5sin2 t (0 ≤ t ≤ π/ 2) .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1. ∫ |
|
|
|
4x −1 |
|
dx . |
2. ∫ x arctg2xdx . |
3. ∫sin 2xcos2 xdx . |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2x2 − x + 3 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
+ 4x |
−3 |
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
||||
4. ∫tg |
5 |
2xdx . |
|
|
5. ∫ |
dx . |
6. ∫ |
|
|
|
x |
dx . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
4 + 4x2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
x |
x(3 x +1) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
π/ 2 |
|
dx |
|
|
1 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7. ∫ |
|
|
. |
8. ∫ |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
3 + 5cos x |
3 2 − 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
9. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями xy = 4, |
y =1, |
y= 4, x = 0.
10.Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной линиями y = 2x , y = x , x = 3.
1. ∫ ctg3 x dx . sin2 x
4.∫1sin+ cosxdxx .
π/ 4
7.∫ sin5 xdx .
0
Вариант 19
2.∫ lnx22 x dx .
5.∫ x48+−2xx3−1 dx .
+∞ |
e−x2 x dx. |
8. ∫ |
|
1 |
|
3. ∫ |
x2dx |
|
. |
|
|
||
2x2 |
+1 |
|
|
||||
|
|
|
|
||||
6. ∫ |
x + 2 |
|
|
dx . |
|||
|
|
|
|
|
|
||
1 + |
|
x +1 |
|||||
|
|
|
9. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями y = sin x, y = 0 (0 ≤ x ≤ π).
10. Найти длину кривой x = 8sin t + 6 cos t , y = 6sin t −8cos t (0 ≤ t ≤ π/ 2).
139
Вариант 20
1. ∫3tg 3x |
|
dx |
. |
2. ∫ x2e3xdx . |
|
|
||||||||
cos2 3x |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
. |
|
|
sin2 x + 6sin xcos x −16cos2 x |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
6. ∫ |
|
|
x −1 |
|
|
dx . |
π |
sin 2x |
|
dx . |
||||
|
|
|
|
7. ∫ |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 + cos2 |
|
||||||
|
x |
|
x − 2 |
x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
π/ 2 |
|
3. ∫ |
4x +1 |
dx . |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
x + 2 |
|
|
|
|
|
||
5. ∫ |
x3 + x −1 |
|
dx . |
|||||
x3 − 2x2 |
+ x |
|||||||
|
|
|
|
|||||
π/ 4 |
|
dx |
|
|||||
8. |
∫ 4ctg x |
|
. |
|||||
|
|
|||||||
|
0 |
|
sin2 |
x |
9.Найти площадь фигуры, ограниченной линией ρ = 3cos ϕ.
10.Найти длину кривой y = e−x от точки (0;1) до точки (5; e−5 ).
Вариант 21
1. ∫ |
|
|
2x + 3 |
|
|
dx . |
2. ∫arccos 2xdx . |
3. ∫2x tg2x dx . |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x2 + 3x + 5 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4. ∫ |
|
2 −sin x + 3cos x |
dx . |
5. ∫ |
|
|
4x2 + 38 |
|
dx . |
|
||||||||
|
|
|
1+ cos x |
|
(x +1)(x2 − 4x +13) |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
π/ 4 |
x dx |
|
|
+∞ |
dx |
|
|||
6. ∫ |
|
|
|
x |
. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. ∫ |
|
|
. |
8. ∫ |
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 3x |
xln ln xln x |
||||||||
|
3x + 3 x2 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
e2 |
|
9.Найти площадь фигуры, ограниченной линией ρ = 4 cos 3ϕ.
10.Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Oy
фигуры, ограниченной линиями y = x2 , y = 2 − x, x = 0(x > 0).
Вариант 22
3 |
ln2 x |
|
dx . |
2. ∫(2x +3)2 |
x |
dx . |
3. ∫ |
|
4x −1 |
dx . |
|
1. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x |
|
|
x2 |
+ 2x + 2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
140
4. ∫ctg6 3x dx . |
5. ∫ |
6x dx |
. |
|
6. ∫ |
|
x + 3 |
dx |
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x3 −1 |
|
1 + 3 x + 3 |
||||||||
π/ 9 |
1 |
arcsin x |
dx. |
|
|
|
|
|
|
|||
7. ∫ ctg 3x dx . |
8. ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− x2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
π/12 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
9. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями x = 4 cost ,
y= 9sin t.
10.Найти длину кривой ρ = 4(1−sin ϕ).
Вариант 23
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. ∫sin 2x |
|
1+ sin2 x dx . |
2. ∫log2 (3x −1) dx . |
|
|
|||||||||||||||||||||
3. |
∫ |
|
x −1 |
|
|
dx . |
4. ∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2sin x + 3cos x |
+ 3 |
|||||||||||||||||||
13 − |
6x + x2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
3x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
x + |
|
|
+ |
|
x2 |
|
|
|
|
||||||
5. |
∫ |
|
|
|
dx . |
6. ∫ |
|
|
x |
|
dx . |
|
||||||||||||||
x4 +13x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
+ 36 |
|
x(1 + |
x) |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
π/12 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7. |
|
∫ cos2 4x dx . |
|
|
|
|
8. ∫ |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
4 (x2 −1)3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
π/16 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
9. Найти длину кривой |
y = ln sin x (π |
≤ x ≤ |
π). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
6 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
10. Найти объем тела, |
полученного вращением вокруг оси Ox |
||||||||||||||||||
фигуры, ограниченной линиями xy = 4, y = x, |
x =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
Вариант 24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1. ∫ |
sin x dx . |
|
2. ∫ |
x |
arctg x |
|
dx . |
|
3. ∫ |
|
|
3x − 4 |
dx . |
||||||
|
|
|
|
|
x2 + 6x +13 |
||||||||||||||
|
ecos x |
|
|
|
1 + x2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
dx |
|
|
|
x4dx |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|||
4. ∫ |
. |
5. ∫ |
|
|
. |
6. ∫ |
|
|
|
x |
|
. |
|
||||||
4sin2 x + 8sin xcos x |
x4 + 5x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
+ 4 |
2 |
+ 4 x |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
141
e / 2 |
+∞ |
||
7. |
∫ ln 2x dx . |
8. |
∫x e−x dx. |
|
1 |
|
0 |
9. Найти площадь |
фигуры, |
ограниченной линиями xy = 9, |
|
y = x, |
x = 5. |
|
|
10. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной линиями y2 = x , x = 4.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. ∫ |
arctg2 x |
dx . |
2. ∫(x2 − 2x +1)e3x dx . |
3. ∫ |
|
|
8x −5 |
|
|
dx . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
1+ x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + 4x + 5 |
||||||||||
|
|
|
|
|
x3 + |
2x + 3 |
|
|
|
|
|
dx |
|
. |
|||||||||||
4. ∫ctg5 4x dx . |
5. ∫ |
dx . |
6. ∫ |
|
|
x |
|||||||||||||||||||
4 |
−16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
4x + 3 x2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
7. ∫ x 4 |
− x |
|
dx . |
8. ∫ |
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1− x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
9. Найти |
площадь |
фигуры, ограниченной |
линиями |
y = x2 , |
y= 4 −3x2 .
10.Найти длину кривой ρ = 5(1+ cos ϕ).
Типовой расчет № 4
Обыкновенные дифференциальные уравнения
исистемы дифференциальных уровней
Взаданиях:
№1–8, 10, 11 найти общее решение дифференциальных уравнений. Если даны начальные условия, то решить задачу Коши;
№9 решить методом Лагранжа;
№12 – решить систему дифференциальных уравнений.
142
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
||||
|
sin x = y ln y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. xy |
cos x |
= y cos x − x . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. (x2 +1)y′+ 4xy = 3 . |
|
|
|
|
|
4. y′ = |
|
4y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ x y . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
′ |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||
5. x dx + (y |
|
+ ln x) dy = 0 . |
|
|
|
6. 2yy |
= |
|
|
|
|
|
|
+ 4y |
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3(y ) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. y′′ = |
y |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
y |
′ |
|
|
y(1) =1/ 2 |
|
8. yIV |
|
|
+ 2y′′′+ y′′ = 0 . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(1 |
+ ln |
|
) , |
′ |
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
x |
|
=1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
9. y |
′′ |
+ y = |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. y |
′′ |
− 2y |
′ |
= (2x + 3)e |
2x |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
cos 2x . |
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
11. y′′+ 2y′+ 2y =1+ 4sin x . |
|
|
x′ |
= |
3x + y |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ = x + 3y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. y′ = (2y +1) tg x . |
|
|
|
|
|
2. xy′ = y(ln y − ln x) . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. x2 y′+ xy +1 = 0. |
|
|
|
|
|
4. 2xy′+ 2y = xy2 . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x / y |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
/ y |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
′ |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
5. (2x + e |
|
|
|
|
|
|
) dx + (1− y )e |
|
|
dy = 0 . |
6. e |
|
|
(y |
|
|
|
|
|
|
) = |
2 . |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ (y ) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. e |
x |
′′ |
|
x |
|
|
|
|
|
|
y(0) =1 |
. |
|
|
|
8. y |
IV |
|
− |
3y |
′′ |
− |
4y = 0 . |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(y e |
|
|
) =1, |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (0) = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
9. y |
′′ |
+ 4y |
′ |
|
|
|
|
4y = |
e−2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
+ |
|
|
x3 . |
|
|
|
|
|
10. y |
+ y |
= x |
+1. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
11. y′′+ 2y′−3y = e2x +9cos x . |
|
12. |
x |
|
= 2y − x +1 |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3y − 2x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = |
|
|
|
|
143
Вариант 3
1. y′ = |
e2x |
|
|
|
2. y dy = (2y − x) dx . |
|||
|
. |
|
|
|||||
ln y |
|
|
||||||
3. xy′+ y + xe−x2 = 0 . |
4. 2y′+ 2xy = x e−x2 y2 . |
|||||||
′ 2 |
+ yy |
′′ |
′ 2 |
. |
6. (10xy −8y +1) dx + (5x |
2 |
−8x + 3)dy = 0 . |
|
5. y y |
|
= (y ) |
|
7. y′′ |
= |
y |
′ |
ln |
y |
′ |
, |
y(1) = e, |
|||||
|
|
′ |
|||||||||||
x |
x |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y (1) = e. |
|||||||
|
′′ |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
e2x |
|
|
9. y |
− 4y |
+5y = cos x . |
|||||||||||
|
|
11. y′′+ 4y′+5y = 2x +3 + xex .
8. y′′′+ 2y′′−3y′ = 0 .
10. 4y′′+ 4y′+ y = 3cos 2x .
|
x |
= 2x − 4y |
|
12. |
|
|
. |
|
= x −3y +3et |
||
|
y |
|
|
|
|
|
|
Вариант 4
1.3ex (sin y) dx + (1+ ex )cos y dy = 0 .
3.y′ = 2x(x2 + y) .
5.(2x3 − xy2 ) dx + (2y3 − x2 y) dy = 0 .
7. y′′ = |
y |
′ |
+ x cos x , |
y(π) = π +1 |
. |
|
|
′ |
|||||
x |
||||||
|
|
y (π) = 2π |
|
9. y′′+ 2y′+ y = 3e−x x +1 . 11. y′′− 4y′ = 2x +1+ 4e2x .
2. |
dx |
= |
dy |
. |
|
xy − x2 |
2y2 − xy |
||||
|
|
|
4.y′+ 2xy = 2x3 y3 .
6.y y′′ = (y′)e3 .
8.yIV − y′′ = 0 .
10. y′′+ 9y = 4 cos 3x .
12.x = 4x + y −36tt .y = y − 2x − 2e
144
Вариант 5
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
yy′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||
1. 3y |
|
−x |
= |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
2. y′ = |
|
|
− |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
y |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
3. y′ctg x − y = 2cos2 xctg x . |
4. xy′+ y = y2 ln x . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. e |
y |
|
dx + (xe |
y |
− 2y)dy = 0 . |
|
′′ |
|
|
|
|
|
′ |
|
2 |
= y |
′ |
. |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
6. y y + (y ) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
7. x (y |
′′ |
− x) |
|
|
|
′ |
, |
y (1) |
′ |
8. y |
IV |
− y |
′′′ |
= 0 . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
= y |
|
= y (1) =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
9. y′′+ y = tg x . |
|
|
|
|
|
|
10. y′′+ 6y′+13y = 3e2x sin x . |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
= 2 x +3y +5t, |
|
|||||||||||||||
11. y′′− 2y′+ y = 2ex + x −1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
12. |
|
= 3x + 2y +8et . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
1. y′ |
1− x2 |
− cos2 y = 0 . |
2. 4xy dy = (x2 − y2 ) dx . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. y′−3x2 y − x2ex3 = 0 . |
4. y′−9x2 y = (x5 + x2 )y2 / 3 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5. |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
−1 dx . |
6. y′′ = y′+ x . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x |
+ y |
|
|
|
|
|
|
|
+ y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
′′ |
|
3 |
=1, |
|
y(0,5) = y |
′ |
8. y |
IV |
+8y |
′′ |
−9y = 0 . |
|
||||||||||||||||||||||||
7. y y |
|
|
|
(0,5) =1. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
e2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|||
9. y |
− y = ex −1 . |
|
|
10. y |
− 4y = 5e |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
11. y′′ − 4y′ = 2x − 3 + cos3x . |
x |
= 4x −3y + sin t |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
12. |
|
= 2x − y |
+ 2 cos t |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
145
Вариант 7
1. (1+ e |
3y |
) x dx = e |
3y |
dy . |
2. xy |
′ |
= y + y ln |
y |
. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
||||||||||||||||
3. (x2 −1)y′− xy = x3 − x . |
4. xy′+ y = xy2 . |
|
|
|
|||||||||||||||||
5. x dx + y dy = 0 . |
|
|
6. y |
′′ |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
′ 2 |
. |
||||||
|
|
|
+ y (y −1) = |
(y ) |
|||||||||||||||||
7. xy |
′′ |
|
|
′ |
|
′ |
8. y |
IV |
+ |
2y |
′′′ |
+ 2y |
′′ |
= 0 . |
|
||||||
|
= y |
, y(1) = y (1) = 2 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
9. y′′+ 4y = 2 tg x . |
|
10. y′′− 4y′+ 4y = 3e2x . |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
11. y′′− 6y′+13y = 4sin 2x − cos x . |
|
|
|
|
z . |
|
|
|
|||||||||||||
12. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
y |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
z′ = |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 8
1. (x + 2xy) dx + (1+ x2 ) dy = 0 . |
|
|
2. y dx = (2 |
|
|
− x) dy . |
||||||||||||
|
|
|
xy |
|||||||||||||||
3. y′+ 2y = e3x . |
|
|
|
|
|
4. xy′− y = y2 . |
|
|||||||||||
dx |
|
x |
|
dy = 0 . |
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
2 |
|
′ 2 |
|
||
5. y |
− y2 |
|
|
|
|
|
6. 2yy |
+ y |
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= (y ) |
|||||||||||
7. x (y′′+1) |
+ y′ = 2, y(1) = |
1 |
, |
y′(1) = |
5 |
. 8. yIV |
+8y′′+16y = 0 . |
|||||||||||
2 |
2 |
|||||||||||||||||
9. y′′− y′ = |
1 |
. |
|
|
|
10. y′′+10y′+ 26y = (3x −1)ex . |
|
|||||||||||
|
ex +1 |
|
|
|
|
|||||||||||||
11. y′′+ 4y′ =1+ 4 cos4 x . |
|
|
|
|
|
x |
= y −cost, |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
12. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = −x +sin t. |
|
146
Вариант 9
1. (1+ y2 ) dx − (2y + 1+ y2 )(1+ x)3 / 2 dy = 0 .
2. y2 −3xy + 3x2 y′ = 0 . |
3. y′+ |
|
y |
= 2 ln x +1. |
|||||||||||
|
x |
||||||||||||||
|
|
|
2y |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. y |
′ |
|
y |
|
′′ |
|
|
′ |
′ |
|
|||||
+ |
x |
= cos2 x . |
5. yy |
|
|
+1) . |
|||||||||
|
|
= y (y |
|
6.(ex + y +sin y) dx + (e y + x + cos y
7.y′′ = − yx′ , y(2) = 0 , y′(2) =1.
9.y′′+ 4y = ctg 2x .
11. 4y′′− 4y′+ y = x2 + 4e2x .
x) dy = 0 .
8. yIV |
|
+ y′′ = 0 . |
|
|
|
|
10. y′′+ y′ = 3cos x . |
|
|
||||
|
|
|
|
|
t |
, |
12. |
y′ = −5y + 2t + 40e |
|||||
|
′ |
|
−t |
|
|
|
|
|
= y −6t +9e |
. |
|
||
|
x |
|
|
|
Вариант 10
1. (2xy2 + x) dx + (3y − x2 y) dy = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2. (x − y) dx + (x + y) dy = 0 . |
3. y′+ |
2y |
|
|
|
= e |
x |
(x +1) |
2 |
. |
|
||||||||||||||||
x +1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
4. y′ |
|
|
xy |
|
|
|
|
|
|
|
5. xy′′ |
− y′′+ |
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
− |
|
= x y . |
|
x = 0 . |
|
|
|
||||||||||||||||||||
x2 −1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
6. 2x cos2 y dx + (2y − x2 sin 2y) dy = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
7. y |
′′ |
|
|
′ |
, y(0) = y |
′ |
8. y |
′′′ |
−8y = 0 . |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
= 2yy |
(0) =1. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
′′ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
−x |
|
|||
9. y |
+ 4y = cos 2x . |
10. y |
+ 4y |
+ 29y + 26e |
. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
147
11. y′′+ 4y′ = 2x +5 + xe3x . |
|
|
|
|
|
x |
= −y |
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
12. |
|
|
= 3x + 4y |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. ( xy − x) dy + y dx |
= 0 . |
|
|
|
|
2. xy |
− y = x tg x . |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. xy′+ y = ex . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. y′− y + y2 cos x = 0 . |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ 2 |
|
|
|
|
|||
5. 2xy dy + (x2 + y2 + 2x) dx = 0 . |
|
|
6. y′′+ |
(y ) |
|
= 0 . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1− y |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. y |
′′ |
− 2 ctg xy |
′ |
= sin |
3 |
x |
, y(π/ 4) = 0, |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
y (π/ 4) =1. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
IV |
|
|
|
′′′ |
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||
8. 4y |
+ 4y |
+ y |
= |
0 . |
|
|
|
|
|
9. y |
+ y = sin x . |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
10. y′′−12y′+ 36y = 32 cos 2x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
11. y′′− 2y′+ 2y = 3x + (4x −1)e2x . |
|
x |
= 2y − |
3x, |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
= y − 2x +t. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
2. xy |
′ |
− y = (x + y) ln |
x + y |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1. (x |
+ |
2x) y |
= y + 4 . |
|
x . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
3. xy′− |
y |
|
|
|
|
= x . |
|
|
4. y′ = y ctg x + |
y3 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
x +1 |
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
5. 2yy′ = y′′. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. (x3 −3xy2 + 2) dx − (3x2 y − y2 ) dy = 0 . |
|||||||||||||||||||||||||||||
7. y |
IV |
−5y |
′′ |
+ 4y = 0 . |
|
′′ |
|
2 |
+1) |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
8. y |
(x |
|
= 2xy |
|
, y(0) =1, y |
(0) = 3 . |
148
|
′′ |
|
′ |
e−x |
|
|
′′ |
|
′ |
|
−x |
|
|
9. y |
+ 2y |
+ y = x . |
10. y |
+ y |
= xe |
. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
11. y′′+3y′+10y = sin 3x −cos x . |
12. |
x |
= x |
− y +18t |
. |
||||||||
|
|
= 5x − y |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
Вариант 13
1.y2 + y′x2 = 0 .
3.y′+ y = cos x .
5.2(y′)2 = y′′(y −1) .
2.xy′ = y cos ln xy .
4.y′− y = x2 .
xy
6. (x2 + y2 + y) dx + (2xy + x + e y ) dy = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
′′ |
|
|
|
′ |
= ln x, |
|
|
|
|
|
′ |
8. y |
′′′ |
+ 3y |
′′ |
+ 3y |
′ |
+ y = 0 . |
|||||||||||
7. y x + y |
|
|
y(1) =1, y (1) = 2 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
′′ |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
ex |
|
|
|
′′ |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
9. y |
− 2y |
+ y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
4 − x2 . |
10. y |
+ 6y |
+ |
9y |
= 2x |
|
−1. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
= 2y − x, |
|
|
|
|||||
11. y′′ + 4 y′ + 5y = 4xe2x + cos x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
12. |
|
|
= 4y −3x + e3t . |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. 2e y (1+ x2 ) dy − x(e y +1) dx = 0 . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
2. x dy − y dx = x2 + y2 dx . |
||||||||||||||||||||||||||||||
3. y′ |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. y′+ 2y = y2ex . |
|
|
|
|
|||||||||||||
− |
|
= x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
′ |
|
′′ |
|
|
|
′ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
5. (y |
+ xln y) dx +(2y + x +1) dy = 0 . |
|
|
|
|
|
+ |
1. |
|
|
|
|||||||||||||||||||
6. 2xy y |
|
= (y ) |
|
|
|
|
149
7. y |
′′ |
|
|
|
′ |
|
y |
, |
|
y(0) = |
′ |
|
|
|
8. y |
IV |
+ 4y |
′′′ |
−5y |
′′ |
= 0 . |
||||||||||||
|
= y e |
|
|
0, y |
(0) =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
9. y′′+ y = tg2 x . |
|
|
|
|
|
|
10. 4y′′+ 9y = 5cos 3x . |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x = 2x + y + 2e |
|
12. y |
′′+8y′+17 y = 2x2 +3x +1+3e2x . |
||||||||||||||||||||||||||||||
11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
y = x + 2y −3e4t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. y |
′ |
|
|
x2 + y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. x ln xy |
= y . |
|
|
|
= |
xy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
3. y′ |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
4. xy′− 4y − 2x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
− |
|
|
|
|
|
=1+ x |
. |
|
y = |
0 . |
|
|
|||||||||||||||||||||
1− x2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
5. y′′ |
− |
|
|
y′ |
|
|
= x(x − |
1) . |
6. (3x2 y + sin x) dx + (x3 − cos y) dy = 0 . |
||||||||||||||||||||||||
|
x −1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
7. y |
′′ |
|
|
|
|
|
|
′ |
3 |
= 0, |
|
y(0) |
′ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
+ 2y(y ) |
|
|
= 2, y (0) |
= 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
8. y′′′− 6y′′+12y′−8y = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
′′ |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
ex |
+ 2 |
|
|
′′ |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||
9. y |
−3y |
+ |
2y = ex +1 . |
10. y |
+ 4y |
+ |
5y |
= 4e |
cos3x . |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
11. y′′− 4y′+ 4y = 5e2x +3cos 4x .
Вариант
1.(4 + x2 ) dy − 1−16y2 dx = 0 .
3.y′− 2xy = x3 .
|
x |
= 2x − y, |
12. |
|
|
|
= x + 2et . |
|
|
y |
|
|
|
|
16
2. x2 + xy + y2 = x2 y′.
4. xy2 y′ = x2 + y3.
150
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
2 |
|
|
|
5. x |
|
sin y dx + (1+ 3 |
|
cos y) dy |
= 0 . |
|
|
|
|
6. y |
+ 4y |
= 2x |
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
7. y |
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
8. y |
IV |
|
+ y |
′′ |
= 0 . |
|
|
|
|||||||||||||
|
= 2 − y , y(0) = 2, y (0) = 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. y |
+ 4y = sin2 x . |
|
|
|
|
|
|
|
10. y |
+ 9y = 3cos 3x . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
11. y′′− y′ = 4x +3 + 4e2x . |
|
|
|
|
|
12. |
x |
|
= x + 2y |
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= x |
−5sin t |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1. yy′ = e2x−y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2. (x2 + xy) y′ = x x2 − y2 + xy + y2 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. y′tg x − y =1. |
|
|
4. xy′+ y = |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
5. e |
x |
dy + (ye |
x |
− |
2x) dx = 0 . |
6. x |
2 |
y |
′′ |
= |
|
|
|
|
′ |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(y ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
7. y′′ |
1 |
|
|
, y(0) =1, |
y′(0) = 0 . |
8. yIV |
+ 2y′′′+ y′′ = 0 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
y3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9. y |
′′ |
− 2y |
′ |
+ y = |
ex |
|
|
10. y |
′′ |
+ 2y |
′ |
|
+5y = 3xe |
2x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
x . |
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
11. y′′+ 4y′+ 4y = 3x +1+ 5cos 3x . 12. |
x |
= 2x |
|
− y, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = y −2x +18t. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1. xy′+ y = y2 . |
|
|
|
|
|
2. 4y′ = |
|
y2 + 4x2 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. y′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. y′− |
|
|
|
|
|
|
|
2 x y2 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
− |
|
= x cos 2x . |
|
|
|
|
|
|
|
= e |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
151
5. (ln y |
− x) dx |
|
|
x |
− y) dy = 0 . |
|
6. y |
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
+ ( y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
(2y + |
3) = 2(y ) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. x |
3 |
y |
′′ |
+ x |
2 |
y |
′ |
=1, |
y(1) =1, |
′ |
|
8. y |
IV |
−3y |
′′′ |
+ |
3y |
′′ |
− y |
′ |
|
= 0 . |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y (1) = 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
9. y′′+ y = ctg x . |
|
|
|
10. y′′−16y = 3xe4x . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
11. y′′+ 5y′ |
= 4x + 3 + cos 2x . |
|
12. |
x |
= x |
− y |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− x + cos 3t |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = y |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. y′ |
|
|
|
y −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. (xy′− y) arctg |
y |
= x . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
3. xy′+ y = ex . |
|
|
|
4. y′ |
|
|
|
2xy |
|
|
|
|
|
|
4 arctg x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
− |
|
|
|
= |
|
y . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1+ x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1+ x2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
′′ |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5. xy |
+ y |
= ln x . |
|
sin 2x |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
6. |
y |
+ x dx |
y − |
|
|
y |
dy = 0 . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7. y |
′′ |
|
|
|
|
|
′ |
|
3 |
|
= 0, |
y(0) =1, |
′ |
|
|
|
8. y |
IV |
|
+18y |
′′ |
+81y = 0 . |
|||||||||||||||||||||||
|
+ y(y ) |
|
|
y (0) = 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||
9. y |
+ y = cos2 x . |
|
|
|
10. y |
+ |
5y |
−6y = (2x +3)e |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11. y′′− 4y′ = (3x +1)2 +5xex . |
|
x = −y + t −1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = x + 2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. sin xsin ydx + cos xcos ydy = 0 . |
2. y |
2 |
+ x |
2 |
y |
′ |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= xy y . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. x2 y′+ 2xy −1 = 0 . |
|
|
4. y′+ |
|
y |
= x2 y4 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
152
|
|
y2 |
2y |
|
|
||
5. |
|
|
|
|
|
dy = 0 . |
6. y′′ = 2(y′−1) ctg x . |
1+ |
x |
2 |
dx − |
x |
|||
|
|
|
|
|
|
7. y |
IV |
+ 2y |
′′′ |
= 0 . |
|
|
|
′ |
|
2 |
+ yy |
′′ |
|
′ |
2 |
, |
y(0) =1, |
y |
′ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
8. y y |
|
|
= (y ) |
|
(0) = 2 . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
9. y′′+ 4y′+ 4y = e−2x ln x . |
|
|
|
10. y′′− y′− 2y = x cos x −sin x . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 3x − 4y −e |
−2t |
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
11. y′′+9y = x2 +5 −9e4x . |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
12. |
= x − 2y −3e−2t . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1. (y − 2) dx + x2dy = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
2. y′ |
= |
3x |
+ |
y |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
3. xy′− y = x2ex . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. xy′+ 2y + x5 y3ex = 0 . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. (5x |
+ xy |
2 |
|
)dx + |
(4 y + x |
2 |
y)dy = 0 ; |
|
|
|
|
|
|
′ ′′ |
= 2y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
6. 3y y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. x (y |
′′ |
|
|
|
′ |
|
|
|
′ |
, |
y(0) = −1, |
|
′ |
|
|
|
8. y |
V |
− 2y |
IV |
+ y |
′′′ |
= 0 . |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
+ y ) = y |
|
y (0) = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
′′ |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
9. y |
+5y |
+ |
6y = 1+ e2x . |
|
|
|
|
|
10. y |
+ |
2y |
− |
3y = (x |
+3)e |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11. y′′+ 4y =1+ 6 cos 3x . |
|
|
|
|
|
|
|
12. |
x = y −5cost, |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = 2x + y. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
3 + y2 |
dx − ydy = x2 ydy . |
|
|
2. ydy = (2y − x)dx . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. xy′ |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. 2y′ |
|
|
|
|
xy |
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||||||||
− |
|
= x . |
|
|
|
|
|
|
− |
|
= |
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
x +1 |
|
|
|
|
|
|
x2 −1 |
y |
|
|
153
5. x (y |
′′ |
− x) = y |
′ |
. |
|
|
|
6. (3x sin y +1) dx |
+ ( |
3 |
x |
2 |
cos y +1) dy = 0 . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. y |
IV |
−5y |
′′′ |
= 0 . |
|
|
|
′ |
′′ |
= y + |
′ |
3 |
+ |
1, |
y(0) = −2, |
′ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
8. 3y y |
|
(y ) |
|
y (0) = 0 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||
9. y′′+ 9y = 3 tg 3x . |
|
|
|
|
|
|
10. y′′+ 4y′ = (x +1)2 . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= y + 2e |
t |
, |
|
|
|
|
|
||||||||||
11. y′′−3y′+ 4y = cos3x +12e2x . |
12. |
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= x +t 2. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1. (1+ x) y′ = xy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. x2 y′ = y (x + y) . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
−x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. (1− x)(y |
+ y) |
= e |
. |
|
|
|
|
4. y2 = y |
|
+ y . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
y |
dx − |
xy +1 |
dy = |
|
|
|
|
|
6. (x |
|
+1) y |
′′ |
|
|
|
′ |
2 |
= y |
′ |
. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
5. x2 |
|
|
|
x |
|
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ x(y ) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
7. y |
IV |
+13y |
′′ |
+ |
36y = |
|
|
′ |
′ 2 |
) = 3y |
′′ |
; y(2) =1, |
′ |
|
2 . |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 . 8. y (1+(y ) |
|
|
|
y |
(2) = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
′′ |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
10. y |
′′ |
+ 4y |
′ |
|
4y = |
e−2x |
|
|
||||||||||||
9. y |
+ 6y |
+9y |
= 4e |
(cos x −sin x) . |
|
|
+ |
|
x3 . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ = |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
11. y′′+ 4y′ = x2 + 2x |
−3 +5e3x . |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
12. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z′ = y + z. |
|
|
|
|
|
Вариант 24
1.y′− 2 y ln x = 0 .
2.(4x2 + 3xy + y2 ) dx + (4y2 + 3xy + x2 ) dy = 0 .
154
3. y′+ y cos x = sin x cos x . |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
1 |
|
3x2 |
|
|||
5. |
1 |
+ |
|
|
dx + |
|
|
− |
|
|
dy = 0 . |
||||
|
3 |
|
2 |
|
4 |
||||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
y |
|
y |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7. 2y |
′′ |
= 3y |
2 |
, |
y(−2) = |
|
′ |
||||||||
|
|
1, y |
(−2) =1. |
9. y′′+ 2y′+ y = e−x ln x .
11. y′′+ 6y′+9y = 4x +3 −5e−3x .
4.y′−3y = x3 y .
6.y′′(1+ ln x) + yx′ = 2 + ln x .
8.yIV + 4y′′′+ 5y′′ = 0 .
10.2y′′+9y′ = 4sin3x +cos3x .
x = x + y +t,
y = −4x −3y + 2t.
Вариант 25
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
||||
1. (4x + xy |
2 |
) dx |
+ (3y − x |
2 |
y) dy = 0 . |
2. y |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
y′−e x |
|
x . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
−x |
2 |
|
||
3. y |
− y tg x = cos x . |
|
|
|
|
4. y |
− xy = −y |
e |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
2 |
|
|
|||
5. (3x |
|
y − x2 ) dx + (cos y |
+ x |
|
) dy = 0 . |
6. y |
(y |
+1) |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= (y ) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
′ |
, y(e) =1, |
′ |
|
|
8. y |
IV |
−15y |
′′ |
−16y = 0 . |
||||||||||||||||||||
7. y x ln x = 2y |
y (e) = 2 . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
′′ |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
e2x |
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
9. y |
− |
4y |
+ 4y = 4 + x2 . |
|
|
10. 4y |
− |
4y |
+ y |
= 4x |
+ 5x . |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −y |
+ e |
3t |
, |
|
|
|
||||||||||
11. y′′−8y′+ 20y = 4sin 2x + xe2x . |
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
12. |
|
= −x |
+ 2e3t . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
155
ЛИ Т Е Р А Т У Р А
1.Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука 1980. 336 с.
2.Бугров Я. С., Никольский С. М. Задачник. М.: Наука 1982. 192 с.
3.Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М.: Наука, 1980. 176 с.
4.Воеводин В. В. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. М.: Наука, 1975. 176 с.
5.Высшая математика для экономистов / Под ред. Н. Ш. Кремера. М: ЮНИТИ, 2002. 471 с.
6.Высшая математика. Общий курс / Под общей ред. С. А. Самаля. – Мн.: Вышэйшая школа, 2000. 351 с.
7.Высшая математика. Общий курс / Под ред. А. И. Яблонского. Мн.: Высшая школа, 1993.
8.Головина Л. И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. М.: Наука, 1985. 480 с.
9.Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. М.:
Наука, 1971. 232 с.
10.Коваленко Н.С., Чепелева Т.И. Высшая математика. Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Мн.: Юнипресс, 2006. 208с.
11.Лихолетов И. И. Высшая математика, теория вероятностей и математическая статистика. Мн.: Высшая школа, 1976. 720с.
12.Мантуров О. В., Матвеев Н. М. Курс высшей математики. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. М.: Высшая школа, 1986.
13.Рублев А. Н. Курс линейной алгебры и аналитической геометрии. Мн.: Высшая школа, 1972. 424 с.
14.Сборник задач по математике для втузов: Линейная алгебра
иосновы математического анализа / Под ред. А. В. Ефимова
иБ. П. Демидовича. М.: Наука. 1975. 480 с.
15.Сухая Т. А, Бубнов В. Ф. Задачи по высшей математике. I. Мн.: Высшая школа, 1993. 446 с.
16.Элементы линейной алгебры / Р. Ф. Апатенок, А. М. Маркина, Н. В. Попова, В. Б. Хейнман. Мн.: Высшая школа, 1977. 256 с.
156