|
2x1 + x2 − x4 = 2, |
|
|
|
2x1 + x2 + x3 = 0, |
|
|
|||||||
|
x |
+ 2x |
|
+ x = 0, |
|
|
|
|
|
|||||
1.25. а) |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
|
б) |
|
|
|
|
|
2x |
|
+ 2x |
2 |
+ 3x = |
2, |
|
x1 − 2x2 |
+ x3 = 0, |
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
+ 2x3 = 0. |
|
|
||
|
2x |
|
−3x |
− 2x = |
2. |
|
|
3x1 − x2 |
|
|
||||
|
|
1 |
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Задача 2 |
|
|
|
|
|
||
2.1. Вычислить |
|
|
|
|
, m2 |
– |
||||||||
(a |
, b) , где a = 3m1 − |
2m2; b = m1 |
+ 4m2; m1 |
|||||||||||
единичные векторы, угол между которыми равен π . |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
2.2. Найти |
проекцию вектора |
a = 4i −3 j + 4k |
на направление |
|||||||||||
вектора b = 2i + 2 j + k .
2.3. Найти (a, b) , |
|
a |
|
, |
|
b |
|
, если a = 2i + j −k , b = j + 2k . |
|
|
|
|
|||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.4. Вектор |
c , коллинеарный |
|
вектору a = 5i −2k , |
||||||||||
острый угол |
с осью |
Oz. Найти |
|
координаты |
вектора |
|||||||||||
|
c |
|
= 3 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a, ^ b )= |
|||
|
|
|
2.5. Найти (2a −3b, |
a −b ), если |
|
a |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
= |
2 |
, |
b |
= 2 , |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.6. Найти (a, b) , |
|
a |
|
, |
|
b |
|
, если a = 2m +3n − p; |
b = m −4p, |
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
ортогональный базис и |
|
m |
|
= 2, |
|
n |
|
= 3, |
|
p |
|
= 4 . |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
образует c , если
π4 .
m, n, p –
2.7.Найти длину вектора a = 3m + 4n , если |
|
m |
|
= |
|
n |
|
|
|
π |
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
=1, (m^ n)= |
3 . |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a = 2i + j − k |
|||
2.8. Найти вектор |
b |
, коллинеарный вектору |
|
|
и |
|||||||||||||||||
удовлетворяющий условию (a, b) = 3. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2.9. Найти (2a −5b, |
a +3b ), если |
|
a |
|
= 2, |
|
b |
|
= 3, |
(a^ b )= |
2π |
. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.10. Вычислить синус угла между диагоналями параллелограмма, сторонами которого служат векторы а = 2i + j −k , b = i −3 j + k .
2.11. Найти вектор d , удовлетворяющий условиям (d, a)= 5,
(d, b )= 2, (d, c)= 3 , если a (−1 ,2 ,0), b (−1, 0, 5), c(1, 0, 0).
56
2.12.Даны векторы a =3i −6 j −k, b = i +4 j −5k, c =3i −4 j +12k .
Найти проекцию вектора a + b на направление вектора c .
2.13.Вектор b , коллинеарный вектору a = 6i −8 j −7,5k , образует
острый угол с осью Oz. Найти координаты вектора |
b , если |
b |
= 50 . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2.14. Найти |
|
площадь |
треугольника, |
построенного |
на векторах |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
→ |
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
AB = 3a − 2b и |
|
AC |
= 6a |
+3b |
, если |
|
a |
= |
4, |
b |
= 3 |
(a^ b )= |
π . |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
2.15. Найти |
|
[a, b] |
|
, если |
|
a |
|
=8, |
|
b |
|
=15, |
(a,b )= 96 . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2.16. Какой угол образуют векторы |
a |
и b |
, если |
|
и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
m |
= a + 2b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n = 5a −4b |
|
|
a |
|
|
=1? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
ортогональны, |
|
|
= |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2.17. Вычислить |
|
|
(a, b |
|
)+ (b, c )+(c, a), |
если |
a +b +c = 0 , |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
a |
|
= |
|
b |
|
= |
|
c |
|
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.18. Даны точки А(–5, 7, –6) и B(7, –9, 9). Найти проекцию
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вектора a = i −3 j + k на направление вектора АВ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2.19. Найтикоординаты вектора a , если (a^i )= |
π |
, (a^ |
j )= |
π |
, |
|
a |
|
=6. |
|||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2.20. Найти |
вектор х , ортогональный вектору |
a(12, −3, 4), |
||||||||||||
имеющий с ним одинаковую длину и лежащий в плоскости Oyz. |
||||||||||||||||
|
|
2.21. Найти угол между векторами a = 2m + 4n |
и b = m − n , если |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
m |
= |
n |
=1, (m^ n)= |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2.22. Найти |
проекцию вектора a (4, −3, 4) |
на |
направление |
|||||||||||
вектора b(2, 2, 1).
2.23.Какой угол образуют единичные векторы m и n , если векторы a = m + 2n и b = 5m − 4n ортогональны?
2.24.Доказать, что скалярное произведение двух векторов не изменится, если к одному из них прибавить вектор, ортогональный другому сомножителю.
57
2.25. При каких значениях α и β векторы a = 2i − j + 2k и
b = 5i +βj −k коллинеарны?
Задача 3
3.1.Найти [2a +b, b], где a = 3i − j −2k; b = i + 2 j −k .
3.2.Вычислить площадь параллелограмма, построенного на
векторах |
|
|
|
|
|
, если |
|
= 5; |
|
|
|
π |
a |
= m + 2n |
иb = m −3n |
m |
n |
= 3, (m^ n)= |
6 . |
||||||
3.3. Вектор с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
перпендикулярен векторам a |
и b , угол между a |
|||||||||||
иb равен π6 . Зная, что a = 6, b = 3, c = 3 , вычислить (a, b, c) .
3.4.Найти [2a −b, 2a + b], где a = 2i − j + k; b = 3k −i −2 j .
3.5.Найти вектор x, если известно, что он ортогонален векторам
a = i − j +3k , b = 2i +3 j −k и (x, 2i −3 j + 4k )= 51.
3.6. Найти координаты вектора x , если он ортогонален векторам
a(2, 3, −1), b(1, −1, 3) и |
|
x |
|
=1. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3.7. Найти |
единичный |
вектор |
d , компланарный |
|
векторам |
||||||
a(2, −1, 3) и b(4, 2, 0) и ортогональный вектору c(1, 1, 1). |
|
|
|||||||||
3.8. Вычислить площадь |
параллелограмма, |
сторонами |
|
которого |
|||||||
являются |
векторы |
|
a = m + 2n |
и |
|
|
, |
если |
|||
|
b = m −3n |
||||||||||
m = 5, n = 3, (m ^ n)= π6 .
3.9. Вычислить синус угла между диагоналями параллелограмма, сторонами которого служат векторы a = 2i + j + k , b = i −3 j + k .
3.10. Вычислить |
высоту |
параллелепипеда, |
построенного |
на |
||
векторах |
a = 3i + 2 j −5k , b = i − j + 4k , c = i −3 j + k , |
если |
за |
|||
основание взят параллелограмм, построенный на векторах a и b . |
|
|||||
3.11. Вектор x , перпендикулярный векторам a = 4i −2 j −3k |
и |
|||||
b = j +3k , |
образует |
с осью |
Oy тупой угол. |
Найти |
координаты |
|
вектора x , если x = 26.
58
3.12. Вычислить площадь параллелограмма, сторонами которого
являются векторы AB и AC , если A(1, −1), |
B(2, −3), |
C(1, 4). |
||||
3.13. Вершины |
треугольной |
пирамиды |
находятся |
в точках |
||
A(0, 0, 0), B(3, 4, −1), C(2, 3, 5), |
D(6, 0, −3). Найти длину высоты, |
|||||
проведенной из вершины А. |
|
|
B(3, 0, 5), |
C(−1, 2, 3), |
||
3.14. Проверить, |
лежат ли точки A(2, −1, 2), |
|||||
D(0, 2, −1) в одной плоскости. |
|
|
|
a = i −2 j + k , |
||
3.15. Проверить, |
компланарны ли |
векторы |
||||
b = 3i + j −2k , c = 7i +14 j −13k . |
|
|
|
|
A(0, 0, 1), |
|
3.16. Дана треугольная пирамида с |
вершинами |
|||||
B(2, 3, 4), C(6, 2, 3), D(3, 7, 2). |
Найти длину высоты пирамиды, |
|||||
проведенной на грань BCD.
3.17.Найти площадь параллелограмма, сторонами которого являются векторы a = i −3 j + k и b = 2i − j +3k .
3.18.Найти [3a −b, a], если a = 2i + 4 j −k , b = −i + j + 2k .
3.19.Найти (a, b, c) , если векторы a, b, c образуют правую
тройку и взаимно перпендикулярны, a = 2, b = 3, c = 4.
3.20.Показать, что точки A(3, 1, –1), B(5, 7, –2), C(1, 5, 0) и
D(9, 4, –4) лежат в одной плоскости.
3.21.Вычислить площадь параллелограмма, построенного на
векторах a = 2i +3 j, b = i −4 j .
3.22. Найти единичный вектор, ортогональный векторам a =i + j +2k
иb = 2i + j + k .
3.23.Вершинами треугольной пирамиды являются точкиA(-5, 4, 8), B(2, 3, 1), C(4, 1, –2) и D(6, 3, 7). Найти длину высоты, проведенной на грань BCD.
3.24. Вычислить синус угла между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах
a = 2i + j −k , b = i −3 j + k .
3.25.Проверить, лежат ли точки A(–1, 2, 3), B(0, 4, –1), C(2, 3, 1)
иD(–2, 1, 0) в одной плоскости.
59