- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Задача 1
- •Задача 2
- •Задача 3
- •Задача 4
- •Задача 5
- •Задача 6
- •Задача 7
- •Задача 1
- •Задача 2
- •Задача 3
- •Задача 4
- •Задача 5
- •Задача 6
- •Задача 7
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
Ответы
13.1. а) y = 1−c x .
в) 1+ y2 = c(1− x2 ).
д) y = x.
tg x
ж) у = е 2
и) |
y = |
x(2 + cx3 ) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1− cx3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л) |
y = |
|
|
x2 + y2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
= arctg |
y |
. |
||||||||||||
н) |
ln c |
|
x2 +y2 |
|||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
б) y = C |
1+e2x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
г) |
1 (x2 + y2 ) + ln |
|
|
|
y |
|
=1. |
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x |
|||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е) y = ±x |
|
. |
||||||||||||||||||
2ln | x | +C |
||||||||||||||||||||
з) |
y = xln(1+ln x) . |
|
|
|
|
|
|
б) x2 + y2 = 2ln cx.
г) ex + e−y + c = 0.
е) y = esin x .
з) y = tg x33 − x22 + c .
к) x2 + y2 = cy.
м) 4x = (2x − y)2.
13.2. а) arctg y − arcsin x = C .
в) tg x +2 y − x = C .
д) y = sin x .
ж) ln | y | +2 xy = 2 .
Занятие 14
Интегрирование линейных дифференциальных уравнений и уравнений Бернулли. Уравнения в полных дифференциалах
Аудиторная работа
14.1. Решить дифференциальные уравнения:
а) y′ + 2xy = xe−x |
2 |
. |
б) y′+ |
y |
= 2 ln x +1. |
|
x |
120
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
1− 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
в) |
|
y |
+ ytgx = cos x |
, |
|
y(0) = 0 . |
|
|
г) |
y |
+ |
|
|
|
x2 |
|
y =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
д) |
|
y′ |
= 2y + e |
x |
− x, |
y(0) |
1 |
|
|
е) |
y′+ |
|
3y |
|
|
2 |
|
|
y(1) =1. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= 4 . |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
x3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ж) |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y3 |
|
|
|
|
|
|
з) |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
y |
= y ctg x + sin x . |
|
|
|
|
y |
+ |
4xy = 2xe |
|
|
|
|
|
|
y . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
и) xy′− 4y = x2 |
|
. |
|
|
|
|
|
к) y′+ 2xy = 2x3 y3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
л) |
|
y′− y = xy2 , |
y(0) =1. |
|
|
м) (2x + y)dx + (x + 2y)dy = 0 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
н) e ydx + (xey − 2y)dy = 0 . |
|
|
о) |
y |
dx + (y3 + ln x)dy = 0 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
п) |
|
2x cos2 ydx + (2y − x2 sin 2y)dy = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
xdy |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
р) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x |
+ y |
|
|
|
|
|
+ y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
с) |
(x2 + y2 + y)dx + (2xy + x + e y )dy = 0; |
|
|
y(0) = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Домашнее задание |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
14.2. Решить дифференциальные уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а) (1+ x2 )y′− 2xy = (1+ x2 )2 . |
|
|
|
б) y′− |
2y |
|
= x |
3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в) y′ |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
г) 4xy′+ 3y = −e |
x |
|
4 |
|
5 |
|
||||||||||||||||||||||||
− |
|
= x ln x, |
|
y(e) = 2 e |
|
. |
|
|
|
x |
|
y |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x ln x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
д) |
|
y |
+ y = 2 e |
|
|
|
y; |
y(0) = 4 . |
|
|
|
е) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y . |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
− |
|
x = e |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
ж) |
|
yexdx + (y + ex )dy = 0 . з) |
e−ydx − (xe−y + 2y)dy = 0, y(5) = 0 . |
121
Ответы
14.1. а) y = e−x2 c + x22 .
в) y = sin x.
д) y = −ex + 1 x + |
1 |
+ e2x. |
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
||
ж) y = |
|
|
|
sin x |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2cos x + c |
|
|
|||||||||
и) y = x |
4 |
1 |
ln |
|
x |
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
+ c . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л) y = 1−1 x .
н) xey − y2 = c.
п) x2 cos y + y2 = c.
с) 13 x3 + xy2 + xy + ey =1.
б) y = 16 x4 + xC2 .
г) y−4 = (ex + C)x3 .
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
x |
|
2x |
|
|
|
|
x |
||||||
е) y = e |
e |
|
x − |
e |
||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
8 |
|
|
+ C . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з) xe−y + y2 = 5 .
б) y = xln x + cx.
г) y = cx2e 1x + x12 . е) y = x22 − x13 .
з) y |
2 |
= e |
−2x2 |
1 |
x |
2 |
|
2 |
|
c + |
2 |
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
к) y12 = x2 + 12 + ce2x2 .
м) x2 + xy + y2 = c.
о) y ln x + 41y4 = c.
р) arctg xy − x = c.
14.2.а) (1 + x2 )(x + C) = y .
в) |
y = 1 x2 ln x . |
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
д) |
y = e |
−x |
1 |
e |
x |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
+1 . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ж) |
yex + |
1 y2 |
= C . |
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
122
Занятие 15
Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аудиторная работа |
|
|
|
|
|
|
|
||
15.1. Решить |
|
|
дифференциальные уравнения, |
допускающие |
|||||||||||||||||
понижение порядка: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
а) |
y′′ = ln x + x . |
|
|
|
|
|
б) |
y′′′ = x |
|
. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||||||||
в) |
y′′ = arctg x . |
|
|
|
|
|
г) |
xy′′+ y′ |
= 0. |
|
|||||||||||
д) |
|
|
′ |
′′ |
′ |
|
2 |
|
|
|
|
е) xy |
′′ |
′ |
|
|
y′ |
|
|||
|
|
|
− |
1. |
|
|
ln |
x . |
|||||||||||||
2xy y |
|
= (y ) |
|
|
|
|
|
= y |
|||||||||||||
ж) |
y |
′′ |
|
|
|
|
|
|
′ 2 |
. |
|
|
з) |
yy |
′′ |
|
′ 2 |
. |
|
||
|
tg y = 2(y ) |
|
|
|
= (y ) |
|
|||||||||||||||
и) |
2yy |
′′ |
|
′ |
2 |
|
= |
4y |
2 |
, |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
−3(y ) |
|
|
|
|
y(0)=1, y (0)= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
Домашнее задание
15.2. Проинтегрировать уравнения:
а) y′′′ = xe−x .
в) xy′′ + ctg y′ = 0 .
д) y3 y′′ =1.
Ответы
б) y′′′ = |
x − 2 |
. |
|||||
г) |
xy′′ + y′ = −x + 2 . |
||||||
е) |
yy |
′′ |
|
′ |
′ |
+1) . |
|
|
= y ( y |
|
15.1. а) y = 1 x2 ln x − |
3 |
x2 + |
x3 |
+C x +C |
2 |
. |
|
|
|||||
2 |
4 |
6 |
1 |
|
||
|
|
|
б) y = 3158 x4 x + C1x2 + C2 x +C3.
123