6.17. а) |
lim |
tg x −sin x |
; |
|
|
б) |
lim |
x3 |
|
. |
|
||
x −sin x |
|
|
3x |
|
|||||||||
|
x→0 |
|
|
|
|
x →∞ |
|
|
|||||
|
|
x3 −3x2 + 2 |
|
|
|
3 |
|
|
1 |
||||
6.18. а) |
lim |
; |
б) |
lim |
x 2 sin x . |
||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
x →1 x3 − 4x2 + 3 |
|
|
x →∞ |
|
|
|
|
|
||||
6.19. а) |
lim |
eαx − cos αx |
; |
б) |
lim |
ln x |
. |
||||||
eβx − cosβx |
|
1 |
|
||||||||||
|
x →0 |
|
|
x →∞ |
|
|
|||||||
|
|
|
x10 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6.20.а) lim xm − am ;
x→a xn − an
6.21.а) lim e3x −23xx−1 ;
x→0 sin 4
6.22. а) |
lim |
ex3 |
−1 |
; |
|
|
|
|
|||
|
x →0 cos x −1 |
|
|||
6.23.а) lim e5x + x −1 ;
x→0 sin 2x
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
||
6.24. а) |
lim |
|
− |
|
; |
||||
|
|
|
|||||||
|
|
x |
|
||||||
|
x →0 |
tg x |
|
|
|
||||
6.25. а) |
lim |
ex −e−x |
; |
|
|||||
|
sin x |
|
|
|
|||||
|
x →0 |
|
|
|
|
|
|||
Задача 7
б)
б)
б)
б)
б)
б)
lim 1 tg x . x→0 x
lim x9 .
x →∞ 3x
lim |
x sin a . |
||||
x →∞ |
|
|
x |
|
|
|
|
+ |
1 |
|
|
|
ln 1 |
x |
|
||
lim |
|
|
|
. |
|
arctg x |
|
||||
x →∞ |
|
|
|||
lim (π− 2x)cos x .
x → π2
3
lim (cos 2x) x2 .
x →0
Написать формулу Тейлора третьего порядка с остаточным членом в форме Лагранжа для заданной функции в точке x0 .
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
x |
|
− |
x |
|
|
|
|
|
7.1. xe |
2x |
, |
x |
|
= −1. |
7.2. |
|
ea |
+ e |
a |
|
x |
|
= 0 . |
|||
|
0 |
2 |
|
|
, |
0 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
82
7.3. ex , |
x |
= −1. |
|
|
7.4. 4x , x = 0 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.5. |
|
|
|
, |
|
|
x |
|
= 4 . |
|
|
7.6. x10 −3x |
6 + x |
2 + |
2, x |
|
=1. |
|||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
0 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7.7. |
1 |
|
|
, |
|
|
x = 0 . |
|
7.8. x cos x, |
x |
0 |
= 0 . |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
x +8 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
7.9. |
|
|
x |
|
|
, |
|
x |
|
= 2 . |
|
|
7.10. esin x , |
x |
|
|
= 0 . |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x −1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7.11. |
|
1 (ex |
+ e−x ), |
x0 = 0 . |
7.12. ln(1+ sin x), |
|
x0 = 0 . |
|
||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7.13. ln(5 − 4x), |
x |
|
= 0 . |
7.14. 3x , x |
= 0 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.15. |
1 , |
|
|
x |
0 |
=1. |
|
|
7.16. e5x−1, |
x |
0 |
= |
0 . |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7.17. |
1 |
|
|
|
, |
|
x |
|
= −3 . |
7.18. arcsin x, |
|
|
x |
|
= 0 . |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
x + 2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
7.19. x3 ln x, |
|
x |
0 |
= |
1 . |
7.20. ln x, x |
0 |
|
=1. |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7.21. x5 −5x |
3 + x, |
|
x = 2 . |
7.22. ln(x + 5), |
x |
|
= 0 . |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
7.23. |
sin |
|
x |
, |
|
x0 = 0 . |
7.24. xex , x0 = 0 . |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7.25. |
1 |
|
|
|
, |
|
x0 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
3 − 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Задача 8
Исследовать функцию и построить ее график.
8.1. y = |
1− x2 |
8.2. |
y = |
x |
8.3. y = |
4x2 +1 |
|
|
x2 . |
|
. |
x |
. |
||||
(1+ x)3 |
||||||||
83
8.4. y = x2x3−1 .
8.7. y = 4 +4xx2 .
8.10. |
y = |
4x3 + |
5 |
. |
||||
|
x |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.13. |
y = |
2 + x3 |
|
. |
|
|||
|
x2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.16. |
y = |
4x3 |
|
|
. |
|
|
|
1− x |
3 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
8.19. |
y = |
|
x3 |
|
|
|
. |
|
x |
2 − |
4 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
8.22.y = 4x3 .
x3 −1
8.25. y = x
1− x2 .
8.5. y = |
x3 |
|
|
. |
|
2(1+ x)2 |
||
8.8.y = x2 −1 .
x2 +1
8.11.y = x3x4−1 .
8.14.y = x4x2+1 .
8.17. y = |
|
|
x2 |
|
. |
|
1 |
− x |
|
||||
|
|
|
||||
8.20. y = |
|
|
x3 |
|
. |
|
|
(x − 2)2 |
|||||
8.23.y = x2 −5 .
x−3
8.6. |
y = |
x3 |
+ |
|
2 |
|
. |
|
|
||||
|
2x |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
8.9. |
y = |
|
|
|
x2 |
|
. |
|
|
|
|
||
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
8.12. |
y |
= |
2 − 4x |
2 |
. |
||||||||
1− |
4x2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
8.15. |
y = |
|
x3 |
. |
|
||||||||
1− x2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
8.18. y = 1−x4x2 .
8.21. y = x3x2−1 .
8.24. y = x2e−x .
84
II. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Занятие 1
Комплексные числа и действия над ними. Простейшие приемы интегрирования
Аудиторная работа
1.1. Выполнить действия:
а) (2 +3i)(4 −i) +5 + 4i; |
|
|
б) |
|
(2 +5i)2 +(3 −i)2 + |
3 + 4i |
. |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8 −i)2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 −3i |
|
|||||||||
в) |
1−3i |
+ 4i −1. |
|
|
|
г) |
|
+3i −4. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1+ |
2i |
|
|
|
|
3 +5i |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2.1. Представить |
следующие |
|
|
комплексные |
числа |
в |
||||||||||||||||||||||||||||
тригонометрической форме записи: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
i. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
а) 1+i. |
|
|
|
б) −i. |
в) |
− |
|
3 |
|
|
|
г) |
5 −4i. |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
3.1. Выполнить действия: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
а) (1−i)5. |
|
|
б) (2 + 2i)4. |
|
|
|
|
|
|
|
в) (−i)10. |
|
||||||||||||||||||||||
г) 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е) 3 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
д) |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ |
|
i. |
|
||||||||||
3 + 3i |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||||||||||||
4.1. Пользуясь |
|
|
таблицей |
|
|
интегралов, |
свойствами |
|||||||||||||||||||||||||||
неопределенного |
|
|
интеграла |
|
|
и |
|
|
|
|
основными |
|
правилами |
|||||||||||||||||||||
интегрирования, найти неопределенные интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1+ 43 |
|
)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
а) ∫( |
|
|
+ 2)( |
|
|
−1)dx. |
|
|
б) |
|
∫ |
|
x |
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
85 |
в) |
∫ |
|
|
dx |
|
|
. |
|
sin |
2 |
x cos |
2 |
x |
||||
|
|
|
|
|
||||
д) |
∫sin2 |
x |
dx. |
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ж) |
∫sin 3x cos x dx . |
|||||||
и) ∫cos 4x cos8x dx .
г) |
∫ |
|
1+3x2 |
|
|
dx. |
||||||
x |
2 |
(1 |
+ 2x |
2 |
) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
е) |
∫ |
|
4x2 + 2x −3 |
dx . |
||||||||
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
з) |
∫(2x + 3)5 dx . |
|
||||||||||
к) |
∫ |
1+ cos2 x |
dx . |
|||||||||
1 |
−cos2x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5.1. Найти неопределенные интегралы поднесением под знак дифференциала:
а) |
∫cos x 2sin x dx . |
б) |
∫ |
|
|
|
|
dx |
|
. |
|
|||||||||
|
x(1 |
+ 2ln x)4 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
в) ∫ |
|
|
2x +3 |
dx . |
г) ∫ |
|
4x + 4 |
dx . |
|
|
|
|||||||||
|
|
x2 +3x + 2 |
|
|
|
|
x2 + 2x |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|||
д) |
∫ |
|
|
tgxdx |
|
е) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
. |
|
∫ |
|
|
|
|
. |
|||||||||||
|
cos2 x |
|
(1+ x2 )arctg x |
|||||||||||||||||
|
∫ xe−x2 dx . |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||
ж) |
|
з) |
∫ |
sin |
|
4 2x dx . |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
2x |
|
|
|
|||||
и) ∫ |
|
|
dx |
. |
|
|
к) ∫ |
|
|
|
|
5x + 2 |
|
dx . |
||||||
|
xln 4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
x |
2 − 4x + 5 |
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6.1. Найти неопределенные интегралы и сделать проверку дифференцированием:
а) |
∫cos2 (3x + π/ 6) dx . |
б) |
∫ |
3x dx |
. |
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1+9x |
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в) |
∫x2 cos(3x3 +1)dx . |
г) |
∫x(5 + x)4 dx . |
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д) |
∫ |
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x dx |
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. |
е) |
∫ |
ex dx |
. |
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1+ e2x |
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1− x4 |
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