а) z = 2x2 −4xy +3y2 −2x +3 .

б)

z =

x

.

y

в)

z =

2xy

.

г)

z = ex sin y .

x2 + y2

д)

z = ln(x2 − y2 ) .

е)

z =

1

.

(x − y)2

е) du = (xy)z−1(zydx + zxdy + xy ln(xy)dz).

9.3. а)

∂2z

y2 − x2

∂2z

−4xy

∂2z

x2 − y2

∂x2

= 2

;

=

;

∂y2

= 2

.

(x2 + y2 )2

∂x∂y

(x2 + y2 )2

(x2 + y2 )2

г)

∂2 z

3x2 − y2

∂2 z

8xy

∂2 z

3y2 − x2

∂x2

= 2

;

=

;

∂y2

= 2

.

(x2 + y2 )3

∂x∂y

(x2 + y2 )4

(x2 + y2 )3

д)

∂2z

= −y cos xy;

∂2z

= −x cos xy.

∂x2

∂x∂y

∂2z

= −x

xy cos xy −sin xy

+

xy sin xy + 2cos xy

.

∂y2

y2

y3

е)

∂2 z

=

8

;

∂2 z

=

−12

;

∂2 z

=

18

.

∂x2

(2x

−3y)2

∂x∂y

(2x −3y)2

∂y2

(2x −3y)2

9.4. а)

d 2 z = 4dx2 −4dxdy +6dy2 ).

б)

d 2z = −

1

dxdy

+

2x

dy2.

y2

y3

в)

d

2

z

=

4xy(x2 −3y2 )

dx

2

+

2

6x2 y2 − x4 −4y4

dxdy +

4xy(y2 −3x2 )

dy

2

.

(x2 + y2 )3

(x2 + y2 )3

(x2 + y2 )3

г)

d 2 z = sin2

yex sin ydx2 + ex sin y cos y(1+ x sin y)dxdy +

+ xex sin y (x cos2 y −sin y)dy2.

д)

2

x2 + y2

2

4xy

x2 + y2

2

d

z

= −2

dx

+

dxdy

−2

dy

;

(x2 − y2 )2

(x2 − y2 )2

(x2 − y2 )2

9.5. а) dz =

1

((x4

+3x2 y2 +2xy3)dx +(y4 +3x2 y2 −2x3 y)dy).

(x2 + y2 )2

б)

∂z

=

y

.

∂z

=

− x

.

∂x

x2 + y2

∂y

x2 + y2

2(dx −

x

dy)

в)

dz

=

y

.

y sin

2x

y

г)

du = xdx + 2ydy + zdz

.

x2 + 2y2 + z2

д)

∂2 z

= ln y(ln y −1) eln xln y ,

∂2 z

= ln x ln y +1eln xln y ,

∂x2

∂x∂y

x2

xy

∂2 z

=

ln x(ln x −1)

e

ln x ln y

;

∂y2

y2

е)

d 2z = −y2 sin xydx2 + 2(cos xy − xysin xy)dxdy − x2 sin xydy2 .

а)

z = arcsin

x

, x = u2

+ v2 , y = uv;

∂z

−?

∂z

−?

y

∂u

∂v

б)

z = ex−2 y , x = sin 2t, y = cost;

dz

−?

dt

dz

в)

z = 2x2 − xy + y2 , x = 2t2 , y = 3t3;

−?

dt

г)

z = tx2 − y2 x +1,

x = arctg t, y = ln(1+ t2 );

dz

−?

dt

dz −?

д)

z = x2 ln y, x =

t2 +1, y = arcsin t;

dt

е)

u = ln(x2 + y2 + z2 ); x = t3, y = t2 , z = et ;

du

−?

dt

ж)

z = xcos y ; x = u

; y = uv;

∂z

−?

∂z

−?

∂v

v

∂u

а)

x2

+

y2

+

z2

=1;

∂z

−?

∂z

−?

a2

b2

c2

∂x

∂y

б)

xy

+ zxy +

z

=1;

∂z

−?

∂z

−?

z

y2

∂x

∂y

в)

z + exyz

= x cos z;

∂z

−?

∂z

−?

∂x

∂y

г)

ln(x + xyz + y) = ez 2 ;

∂z

−?

∂z

−?

∂x

∂y

д)

z arctg xy +

z2

=1;

∂z

−

?

∂z

−?

1+ x2 y2

∂x

∂y

е)

y sin(x + 2z) + z cos(x + 2y) = e

z

;

∂z

−?

∂z

−?

∂x

∂y

ж)

z xy + cos z = 0;

∂z

−?

∂z

−?

∂x

∂y