Домашнее задание

а) z = u2v2 , u = x − y; v = x + y;

∂z

−?

∂z

−?

∂x

∂y

dz −?

б)

z =

x2 + y2 , x = sin 2t, y = ln t;

dt

в)

z = x sin y + y cos x; x = t2 , y = t3;

dz −?

dt

г) x2 y + y2 z + z2 x =1;

∂z −?

∂z

−?

∂x

∂y

д)

ze

xy

+ zxy

2

= a

2

;

∂z

−?

∂z

−?

∂x

∂y

е) xy ln z + xz ln y + yz ln x =1;

∂z −?

∂z

−?

∂x

∂y

Ответы

∂z

1

x

∂z

1

x

10.1. а)

=

2u −

v ;

=

2v −

u .

∂u

y2 − x2

y

∂v

y2 − x2

y

б)

dz = ex−2 y (2cos 2t + 2sin t).

dt

е)

du

=

2

(3xt2 + 2ty + zet ).

dt

x2 + y2 + z2

ж)

∂z

= cos y xcos y−1 1

− xcos y ln x sin(уv);

∂u

v

∂z

=

−u cos y xcos y−1

−sin ln xcos yu.

∂v

v2

10.2. а)

∂z

= −

c2x

;

∂z

= −

c2 y

.

∂x

a2z

∂y

b2z

б)

∂z

z(xy3 + xy3z2 −2z2 )

= −

y(− xy3 + xy3z2 + z3 ).

∂y

в)

∂z

= −

yzexyz −cos z

;

∂z

= −

xzexyz

.

∂x

1+ xyexyz + xsin z

∂y

1

+ xyexyz + xsin z

г)

∂z

= −

1+ yz

;

∂z

= −

1+ xz

.

∂x

xy −2z(x + xyz + y)e

z2

∂y

xy

−2z(x + xyz + y)e

z2

ж)

∂z

= −

zxy y ln z

;

∂z

= −

xxy x ln z

.

∂x

xyzxy−1

−sin z

∂y

xyzxy−1

−sin z

10.3. а)

∂z

= 2uv2 + 2vu2;

∂z

= −2uv2 + 2vu2.

∂x

∂y

б)

dz

=

1

(2x cos 2t + y / t) .

dt

x2 + y2

в)

dz

= (sin y − y sin x)2t +3(x cos y +cos x)t2 .

dt

г)

∂z

= −

x2 +

2yz

;

∂z

= −

2xy + z2

.

∂y

y2 +

2zx

∂x

y2

+ 2zx

д)

∂z

yzexy + zy

2

∂z

xzexy + 2xyz

= −

exy

+ xy2

;

= −

exy

+ xy2

.

∂x

∂y

е)

∂z

= −

y ln z + z ln y + yz / x

;

∂z

= −

x ln z + z ln x + xz / y

.

∂x

x ln y + y ln x + xy / z

∂y

x ln y + y ln x + xy / z

а)

z = arctg

x +1

, M (0;1; π).

y

4

б)

2x2 +3y2 + 2xz2 − zx =15,

M (1; 2;1).

в)

z = x2 + y2 − xy,

M (3; 4; −7).

г)

x3 + y3 + z3 + xyz −6 = 0,

M (1; 2; −1).

M (1; 2) в направлении, идущем от этой точки к точке N(4; 5) .

11.3. Найти

производную

функции

z = xy x2 + y2 в

точке

M (3; 4) в направлении, составляющем с осью Ox угол 60°.

11.4. Найти

производную

z = arctg

y

в точке M (1/ 2;

/ 2) ,

3

x

11.5.

Доказать, что производная функции z =

y2

в любой точке

x

эллипса

2x2 + y2 =1 по направлению нормали к эллипсу равна нулю.

а)

z = 4 + x2 + y2 , M (2;1).

б)

x2 + y2 + z2 − xyz = 5,

M (1; 0; 2).

11.7. Каково направление наибольшего

изменения функции

u = x sin z − y cos z в начале координат?

11.8. Даны две функции

z = ln(x2 + y2 −1)

и z = x2 + y2 −3xy .

а) z = 4 + x2 + 2y2 ,

M (1; 0; 5).

б) z = xln y + y ln x, M (e; e; 2e).

в) x2 + 2y2 +3z2 = 6,

M (1;1;1).

11.10. Дана функция z = arcsin

x

. Найти угол между

x + y

градиентами этой функции в точках M1(1;1)

и M2 (3; 4) .