- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Задача 1
- •Задача 2
- •Задача 3
- •Задача 4
- •Задача 5
- •Задача 6
- •Задача 7
- •Задача 1
- •Задача 2
- •Задача 3
- •Задача 4
- •Задача 5
- •Задача 6
- •Задача 7
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
- •Аудиторная работа
- •Домашнее задание
- •Ответы
Домашнее задание
7.1. Найти неопределенные интегралы:
а) |
∫e4x−3 dx . |
|
|
||||
в) |
∫(x2 − 4)(x + 2)dx . |
||||||
д) ∫ x2e−x3 dx . |
|
|
|||||
ж) |
∫ |
|
dx |
. |
|||
x |
2 − 4x + 20 |
||||||
|
|
|
|
|
|||
и) |
∫ |
|
|
3x −1 |
|
. |
|
|
|
|
|
||||
|
x2 − 4x +8 |
||||||
|
|
|
|
|
|
Ответы
3
4. а) x2 + 2x2 −2x +C. 2 3
в) tgx − ctgx + C.
б)
г)
е)
з)
к)
б)
г)
∫xx2 − 4 dx .
|
|
|
cos2x dx |
|
|
|||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
1+ sin2 2x |
|
|
||||||||
∫ |
|
|
dx |
|
. |
|
|
|||
x |
|
|
|
|
|
|||||
ln 2x |
|
|
||||||||
∫ |
|
|
|
|
4x −5 |
|
dx . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
3 + 2x − x2 |
∫cos2 3x dx .
ln x + 243x + 243x2 +C. 12 arctgx2 − 1x + C.
д) x −sin x +C. |
е) |
4x + 2ln |
|
x |
|
+ |
3 |
|
+C. |
|||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
x |
||||||||||||||||
|
|
1 cos 4x − |
1 cos 2x + C. |
|
(2x +3)6 |
|
|
|
|
|
||||||||
ж) |
− |
з) |
+С. |
|
|
|||||||||||||
12 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
8 |
|
4 |
|
|
|
|
1 x + C. |
|||||||||
и) |
1 |
|
sin 2x + |
1 sin 4x +C. |
к) |
− ctgx − |
||||||||||||
24 |
||||||||||||||||||
|
|
8 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
||||||
5. а) |
2sin x +C. |
|
б) |
− |
|
|
|
|
|
|
+C. |
|||||||
|
|
2ln x)3 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
6(1+ |
|
|
87
в) ln x2 +3x + 2 +C.
д) tg2 x + C. 2
ж) − 12 e−x2 +C.
и) ln ln 4x +C.
6. а) 12 x +121 sin 6x +C. в) 19 sin(3x3 +1)+C.
д) 12 arcsin x2 +C.
|
г) 2ln |
x2 + 2x |
+C. |
|
|||||||||||||
|
е) |
|
ln |
|
arctgx |
|
+ C. |
|
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
з) |
|
− |
1 |
|
|
|
|
|
+ |
1 |
+C. |
|||||
|
6cos3 |
2x |
2cos 2x |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
к) |
5 ln |
|
x2 − 4x +5 |
|
+12arctg(x − 2)+C. |
||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
2 |
|
|
arctg3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
б) |
|
|
|
+ C. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
ln 3 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) (x +65)6 −(x +5)5 +C.
е) arctgex + C.
7. а) 14 e4x−3 + C .
в) |
x4 |
+ |
2x3 |
−2x2 −8x |
|
4 |
3 |
||||
|
|
|
д) − 13 e−x3 +C .
з) 14 arctg x +4 2 +C .
к) 3x2 −4x +8 −5ln x
л) 12 x + cos126x + C .
б) 13 (x2 − 4)3/ 2 + C .
+C . г) 12 arctgsin 2x +C .
ж) 2ln 2x +C .
и) − 43 + 2x − x2 −arcsin x 2−1 +C .
−2 + (x −2)2 + 4 +C .
88
Занятие 2
Интегрирование с помощью замены переменой |
|||
в неопределенном интеграле |
|||
|
Аудиторная работа |
||
2.1. Найти неопределенные интегралы: |
|||
а) ∫ x(3x + 4)5 dx. |
б) ∫x |
|
dx. |
2x +3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
∫ |
ln x |
|
2 + ln2 x dx |
. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
д) |
∫ |
|
|
|
dx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ж) |
∫ |
|
|
|
sin x dx |
|
|
. |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1+ 2cos x |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
и) |
∫ |
|
|
|
dx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1+ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
1/ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
л) |
∫ |
2 |
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
cos |
|
x |
dx |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
н) |
∫ |
|
2 |
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 −sin |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
п) |
∫ |
(2x |
+1) |
dx |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
с) |
∫ |
sin x + x cos x |
dx. |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
2 |
sin |
2 |
x |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у) ∫4x ln x (1+ln x) dx.
г)
е)
з)
к)
м)
о)
р)
т)
ф)
|
|
|
|
sin 2x |
||||||
∫ |
|
|
|
|
|
dx. |
||||
4 +sin2 x |
||||||||||
|
|
|
x dx |
|||||||
∫ |
|
|
|
|
|
. |
|
|
||
|
|
|
|
|
||||||
|
x −1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
dx |
|||||
∫ |
|
|
|
|
. |
|||||
|
x |
|
|
|
|
|
||||
x2 −a2 |
∫ ex dx. x
∫ cos(lnx x) dx .
∫ 3xdx+1.
∫ lnx lnx +x1 dx.
∫ x1dx+ x2 .
∫ 2x −arccos x dx . 1− x2
89
2.2. Найти неопределенные интегралы и сделать проверку дифференцированием:
а)
в)
∫cos x − xsin x dx.
xcos x
arcctg x
∫ 1+ x2 dx.
б) ∫4 − x2 dx.
г) ∫ 2x(1+ x2 )arctg x + x2 dx. x2 (1+ x2 )arctg x
Домашнее задание
2.3. Найти неопределенные интегралы:
а) ∫ |
4sin 2x dx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
∫ |
|
|
|
|
|
ln x +1 |
dx. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ x ln x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 +sin2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
в) ∫ |
dx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) ∫ |
|
|
|
|
1+ x |
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
1+e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x(2ln x +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1/ x |
2 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
д) ∫ |
dx. |
|
е) |
∫ |
2 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
4 + x |
2 |
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ж) ∫x(4x +5)3 dx. |
|
з) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1− 4ln2 x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Ответы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
(3x + 4)7 |
|
|
2(3x + 4)6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2x +3)5 |
− |
|
|
|
|
+C. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
2.1. а) |
|
− |
+C. |
б) |
|
|
|
|
|
|
|
(2x +3)3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
63 |
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
в) |
13 (1+ln2 x)2 +C. |
|
г) |
ln |
|
4 +sin2 x |
|
+C. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
д) |
2arctg |
|
|
|
|
+ C. |
|
е) |
|
|
|
|
|
(x −1)3 |
|
|
|
+ C. |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
x −1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
ж) |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ C. |
|
з) |
|
|
|
ln |
|
|
x2 |
−a2 − |
|
ln x2 |
+C. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
1+ 2 cos x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a2 |
|
|
|
2a2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
90
и)
л)
н)
п)
т)
ф)
ln |
|
|
ex +1 |
−1 |
|
+C. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
ex +1 +1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
− |
|
2 x |
+C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ln 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
+ C. |
|||||||||||
− |
|
|
|
|
ln |
2 −sin |
|
||||||||||||
|
2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 (x +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
x +1 |
+C. |
|||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1ln 1− 1+ x2 +C.
21+ 1+ x2
−21− x2 +arccos2 x +C.
к) 2ex +C.
м) sin(ln x)+C.
о) x − ln13 ln(1+3x )+C.
р) ln |
|
x ln x |
|
+C. |
с) − |
1 |
+C. |
||||
|
|
||||||||||
|
|
|
xsin x |
||||||||
у) 4x ln x ln 4 +C. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2.2. |
|
|
а) ln |
|
x cos x |
|
+C. |
||||
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
+C. |
|||
2arcsin |
|
|
+sin 2 arcsin |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
г) |
2ln x + ln |
|
arctgx |
|
|
|
+C. |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2.3. а) |
ln |
|
4 + sin2 x |
|
+ C . |
|
|
б) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
в) |
ln |
ex −1 |
+C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
||||||||||
|
|
ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
д) |
1 ln |
|
4 + x2 ln x |
|
+C . |
|
|
|
е) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
(4x +5)5 |
|
|
|
|
5(4x +5)4 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
ж) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
) + |
|||||
16 |
|
|
|
5 |
|
|
|
4 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) 2arctg3x +C. 3
ln1+ x ln x + C .
2(13 x3/ 2 − 12 x +2x) −4ln(x +1) +C .
|
1 |
1/ x2 |
ln 2 +C . |
||
− |
2 |
2 |
|
||
C . |
|
|
з) |
1 arcsin(2ln x) +C . |
|
|
|
|
|
|
2 |
91