в) y = 1

(x2 −1)arctgx −

1 x ln(1+ x2 )+

1 x +C1x +C2.

2

2

2

г) y = C1 ln

x

+C2 .

д) 9С12 (y + С2 )2 = 4(С1x +1)3.

е) y = (C1x −C12 )e

x

+1 + C2.

C1

ж) C1x +C2 +C tgy = 0.

з) y = C2eC1x , y = C.

е) y =

1

.

cos2 x

к) y = −(x + 3)e−x + C x2 + C

x + C

.

1

2

3

л) y =

8

(x − 2)7 / 2 +C x2

+C

x +C

.

125

1

2

3

1

м) y = xarccosC x +

1−C

2 x

2 +C

2

.

1

C1

1

н) y = 2x −

x2

+C ln x +C

2

.

4

1

о) C y2

−1 = (C x +C

2

)2 .

1

1

п) C y −1 = C

eC1x , y

= C − x .

1

2

1

Аудиторная работа

16.1. Решить дифференциальные уравнения:

а) y′′+ 4y′−5y = 0 .

б) y′′+ 4y′ = 0 .

в) 4y′′− 4y′+ y = 0 .

г) y′′− 6y′+ 9y = 0 .

д)

y(V ) + 3y(IV ) + 3y′′′+ y′′ = 0 .

е) y(V ) − y′′′ = 0 .

ж) yIV + 5y′′+ 4y = 0 .

з) yIV + 2yII + y = 0 .

и)

y

′′

+ 6y

′

+ 9y = 0,

′

y (0) = y(0) =1.

к)

y ''−2y '+ 2y = 0,

y(0) =1,

y(0) =1.

′′

ex

′′

1

а) y

− y = ex +1 .

б) y

+ 4y = cos 2x .

1

′′

′

1

в)

y ''+ y = sin x .

г)

y

+ 3y

+ 2y = 1+ ex .

д)

′′

′

ex

y

+ 2y

+ y =

4 − x2 .

г) y = e3x (C

+ C

2

x).

1

д) y = C1 + C2 x + e−x (C3 + C4 x + C5 x2 ).

е) y = C

+C

2

x +C

3

x2 +C

4

ex

+C

e−x .

1

5

ж)

y = C1 cos x + C2 sin x + C3 cos 2x + C4 sin 2x.

з)

y = C1 cos x + C2 sin x + x(C3 cos x + C4 sin x).

и) y = e−3x (1+ 4x).

к)

y = ex sin x.

16.2. а)

y = C1e

x

+C2e

−x

+

1

x

+1)e

x

+

1

−

1

e

−x

ln(e

x

2

x −ln(e

2

2

+1) .

б)

y =

x

sin 2x + cos2x ln

cos2x

+ C

sin 2x + C

2

cos2x.

2

4

1

в)

y = (C1 + ln

sin x

)sin x + (C2 − x)cos x.

г) y = C1e−x + C2e−2x + (e−x + e−2x )ln(ex +1).

−x

x

2

д)

y = e

C

+ C

x +

4 − x

+ x arcsin

.

2

1

2

16.3. а)

y = C ex

+ C

2

e−4x ;

1

б) y = ex (C

+ C

2

x) .

1

в)

y = e−2x (C cos x + C

2

sin x) .

1

г)

y = C e−2x +C

e2x +C sin x +C

4

cos x .

1

2

3

д)

y = (C

− ln | sin x |) cos 2x + (C

2

− x − 1 ctg x)sin 2x .

1

2

е) y = (C +C

2

x)e−x + xe−x ln | x | .

1

а) y′′ + 4y = 2x2 + 3x +1.

б) y′′+ 2y′+ y = 8e−x .

в)

y′′− 4y′+ 3y = (2x + 3)e2x .

г)

y′′+ 3y′− 4y = 5sin x .

д)

y′′+ 6y′+10y = x2 + 4ex .

е)

y′′+ y = 2 + cos 2x .

ж)

y′′+ 3y′ =1+ sin 3x + 4e2x .

з)

y′′− 4y = 2sin x + cos 2x .

и)

y

′′

− 4y

′

= 3x +1,

′

y(0) =1, y (0) = 2.

к)

y

′′

+ 9y

′

= 3cos 3x,

′

y(0) = 0, y (0) =1.

Домашнее задание

а) y′′+ y′ = 2x −1.

б)

y′′−3y′+ 2y = (34 −12x)e−x .

в)

y

′′

′

′

−2y

+ y = −12cos2x −9sin 2x, y(0) = −2, y (0) = 0 .

г)

y

′′

+16y = 32e

4x

′

, y(0) = 2, y (0) = 0 .

д)

y

′′

− 4y

= e

2x

,

′

y(0) =1, y (0) = −8 .