Задача 4 |
|
|
|
|
4.1. Написать уравнение |
прямой, |
проходящей |
через |
начало |
координат перпендикулярно прямой 2x −6y +13 = 0 . |
|
|
||
4.2. Найти угол между |
прямой |
2x + 3y −1 = 0 |
и |
прямой, |
проходящей через точки M1(−1; 2), M2 (0; 3).
4.3. Найти уравнение прямой, проходящей через точку M (−1; 4)
параллельно прямой 2x +3y −4 = 0 . |
|
|
B(0, 1) и |
||
4.4. Дан треугольник с вершинами в точках A(−1, 2), |
|||||
C(1, 4). Написать уравнение прямой, проходящей через вершину А |
|||||
параллельно противоположной стороне. |
|
(3α + 2)x + |
|||
4.5. При каком |
значении параметра α |
прямые |
|||
+ (1− 4α)y +8 = 0 |
и |
(5α −2)x +(α + 4)y −7 = 0 |
|
взаимно |
|
перпендикулярны? |
|
|
B(−3, 3) |
|
C(5, −8). |
4.6. Даны вершины треугольника A(3, 5), |
и |
||||
Определить длину медианы, проведенной из вершины С.
4.7. При каких значениях α прямые ax − 2y −1 = 0 и 6x −4y −3 = 0 :
а) параллельны; б) имеют одну общую точку? |
|
|
|
|
|||
4.8. Написать уравнение прямой, |
проходящей |
через |
точку |
||||
M (4; 3) перпендикулярно вектору M1M 2 , если M1 |
(0, − 2), |
M2 (3, 5). |
|||||
4.9. Дан треугольник с вершинами в точках M1 |
(2, 5), |
M2 (−1, 3) |
|||||
и M3(0, 0). |
Составить |
уравнение |
медианы, проведенной из |
||||
вершины M3 . |
|
|
|
|
|
|
|
4.10. Найти |
уравнение |
прямой, |
проходящей |
через |
точку |
||
M1(−1, 2) перпендикулярно прямой, соединяющей точки M2 (2, 3)
иM3(0, −1).
4.11.На прямой 2x + y +11 = 0 найти точку, равноудаленную от
двух данных точек A(1, 1) и B(3, 0).
4.12. Написать уравнение |
прямой, проходящей через точку |
M (−1; 1) параллельно прямой 4x + y −5 = 0 . |
|
4.13. Найти расстояние |
между прямыми 3x −4y + 25 = 0 и |
6x −8y −50 = 0 . |
|
60 |
|
4.14. Найти уравнение прямой, проходящей через точку M (1; 2, 3)
параллельно вектору AB , если A(−1; 2, 4), B(3; 5, 8). 4.15. Привести к каноническому виду уравнения прямой
2x −3y −3z −9 = |
0, |
|
x −2y + z +3 = 0. |
|
|
|
|
|
4.16. Найти уравнение прямой, проходящей |
через точку |
|
M(−1; 3) и точку пересечения прямых 2x − y −1 = 0, |
3x + y − 4 = 0 . |
|
4.17. Найти значения параметров a и d, при которых прямая
x = |
3 + 4t |
y = |
1 + 4t |
z = − 3 + t
принадлежит плоскости ax + 2y −4z + d = 0 .
4.18.Дан треугольник с вершинами в точках А(1, 5), B(−4, 3), С(2, 9). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины А.
4.19.Составить уравнение прямой, проходящей через точку
пересечения прямых 3x −5y + 2 = 0, 5x −2y + 4 = 0 и точку А(1, 3).
4.20.Дан треугольник с вершинами в точках А(1, 1), B(−2, 3), С(4, 7). Написать уравнение медианы, проведенной из вершины А.
4.21.Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, −1) параллельно прямой, соединяющей точки M1(2,−3) и M2 (5, 1) .
4.22. Даны уравнения сторон треугольника x + 2y −1 = 0, 5x + 4y −17 = 0, x − 4y +11 = 0 . Составить уравнение прямой,
проходящей через одну из вершин треугольника параллельно противоположной стороне.
4.23. Найти уравнение прямой, проходящей через точку M1(2, 3) ортогонально вектору M1M2 , если M2 (4, 5) .
4.24.Выяснить, принадлежат ли точки А(−1, 2), B(3, 4) и С(1, 2) одной прямой.
4.25.Даны точки А(−1, 2, 3), B(3, 1, 2) и С(1, 3, 1). Найти точку пересечения медиан треугольника ABC.
61
Задача 5
Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Требуется найти: 1) длину ребра А1А2; 2) угол между ребрами А1А2 и А1А4; 3) площадь грани А1А2А3; 4) объем пирамиды; 5) уравнение прямой А1А4; 6) уравнение плоскости А1А2А3; 7) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3. Сделать чертеж.
5.1. |
A1(3,3,9), |
A2 (6,9,1), |
A3 (1, 7,3), |
A4 (8,5,8). |
5.2. |
A1(3,5, 4), |
A2 (5,8,3), |
A3 (1,9,9), |
A4 (6, 4,8). |
5.3. |
A1(2, 4,3), |
A2 (7, 6,3), |
A3 (4,9,3), |
A4 (3, 6, 7). |
5.4. |
A1(9,5,5), |
A2 (−3, 7,1), |
A3(5, 7,8), |
A4 (6,9, 2). |
5.5. |
A1(0, 7,1), |
A2 (4,1,5), |
A3 (4, 6,3), |
A4 (3,9,8). |
5.6. |
A1(5,5, 4), |
A2 (3,8, 4), |
A3 (3,5,10), |
A4 (5,8, 2). |
5.7. |
A1(6,1,1), |
A2 (4, 6, 6), |
A3 (4, 2, 0), |
A4 (1, 2, 6). |
5.8. |
A1(7,5,3), |
A2 (9, 4, 4), |
A3 (4,5, 7), |
A4 (7,9, 6). |
5.9. |
A1(6, 6, 2), |
A2 (5, 4, 7), |
A3 (2, 4, 7), |
A4 (7,3, 0). |
5.10. |
A1(1, −3,1), |
A2 (−3, 2, −3), |
A3(−3, −3,3), |
A4 (−2,0, −4). |
5.11. |
A1(1, −1, 6), |
A2 (4,5, − 2), |
A3 (−1,3, 0), |
A4 (6,1,5). |
5.12. |
A1(1,1,1), |
A2 (3, 4, 0), |
A3(−1,5, 6), |
A4 (4, 0,5). |
5.13. |
A1(0, 0, 0), |
A2 (5, 2, 0), |
A3 (2,5, 0), |
A4 (1, 2, 4). |
5.14. |
A1(7,1, 2), |
A2 (−5,3, − 2), |
A3 (3,3,5), |
A4 (4,5, −1). |
5.15. |
A1(− 2,3, − 2), |
A2 (2, −3, 2), |
A3 (2, 2, 0), |
A4 (1,5,5). |
5.16. |
A1(3,1,1), |
A2 (1, 4,1), |
A3(1,1, 7), |
A4 (3, 4, −1). |
5.17. |
A1(4, −3, − 2), |
A2 (2, 2,3), |
A3 (2, − 2, −3), |
A4 (−1, − 2,3). |
5.18. |
A1(5,1, 0), |
A2 (7, 0,1), |
A3 (2,1, 4), |
A4 (5,5,3). |
5.19. |
A1(4, 2, −1), |
A2 (3, 0, 4), |
A3 (0, 0, 4), |
A4 (5, −1, −3). |
5.20. |
A1(0, 0, 2), |
A2 (3, 0,5), |
A3(1,1, 0), |
A4 (4,1, 2). |
5.21. |
A1(3, 0,5), |
A2 (0, 0, 2), |
A3(4,1, 2), |
A4 (1,1, 0). |
5.22. |
A1(1,1, 0), |
A2 (4,1, 2), |
A3 (0, 0, 2), |
A4 (3, 0,5). |
5.23. |
A1(4,1, 2), |
A2 (1,1, 0), |
A3 (3, 0,5), |
A4 (0, 0, 2). |
62
5.24. |
A1(0, 0, 0), |
A2 |
(3, − 2,1), |
A3 (1, 4, 0), |
A4 (5, 2,3). |
5.25. |
A1(3,1, 0) , |
A2 |
(0, 7, 2), |
A3 (−1, 0, −5), |
A4 (4,1,5). |
Задача 6
Построить на плоскости кривую, приведя ее уравнение к каноническому виду.
6.1.x2 +8x + 2y + 20 = 0 .
6.2.3x2 −4y2 +18x +15 = 0 .
6.3.x2 + 2y2 − 2x +8y + 7 = 0 .
6.4.x2 +8x + y +15 = 0 .
6.5.x2 + y2 + 4x −10y + 20 = 0 .
6.6.5x2 +9y −30x +18y +9 = 0 .
6.7.4x2 +9y2 −40x +36y +100 = 0 .
6.8.9x2 −16y2 −5x − 64y −127 = 0 .
6.9.2x2 +8x − y +12 = 0 .
6.10.x2 + 4y2 − 6y + 3 = 0 .
6.11.9x2 + 4y2 −54x −32y +109 = 0 .
6.12.x2 −5x − y + 7 = 0 .
6.13.x2 −4y2 +6x +16y −11 = 0 .
6.14.4x2 +8x − y +7 = 0 .
6.15.9x2 + 4y2 −18x = 0 .
63