3.2.Сходимость, дифференцируемость, непрерывность и стационарность случайных функций

Введенные в 1главе понятия сходимости последовательности случайных величин позволяет ввести понятие непрерывности случайной функции. Случайная функция(t) называетсянепрерывнойвсреднеквадратичном, если , то есть ;непрерывнойповероятности, если, инепрерывнойпочтинаверняка, если. Подчеркнем, что непрерывность случайной функции (t) по вероятности отнюдь не означает непрерывности ее значениях(t). Например, в задаче о дробовом шуме (см. п. 2.2)зарядQ(t), пришедший на анод –дискретная величина, но случайная функцияq(t) непрерывна по вероятности, так как в силу пуассоновского приближения вероятность прихода на анод зарядаq=e, то есть вылета из катода одного электрона за времяt, стремится к нулю при

t0. Следовательно,P{| q(t+t) –q(t)| >} <для любых> 0 и > 0, а это и означает непрерывность по вероятности.

Точно так же определяется и дифференцируемость случайной функции, как существование в каком-либо смысле предела . В тех же трех смыслах можно понимать существование интеграла, как предела суммы вида .

Случайная функция (t) называетсястационарной, илиоднороднойпоt,если для всех ее конечномерных распределений при любомвыполняется условие

_n(t₁ + , x₁, …, t_n + , x_n) = _n(t₁, x₁, …, t_n, x_n). (3.0)

Из определения (3.2)следует, что одномерная функция распределения стационарной случайной величины вообще не зависит от времени₁(t,x) =₁(x), аn-мерная зависит от (n– 1) переменныхt_i.

3.3.Моменты случайных функций

Моменты случайных функций определяются так же, как и моменты случайной величины:

,

,

.

Вообще для определения любого момента до n-го порядка включительно достаточно задатьn-мерное распределение_n(t₁,x₁, …,t_n,x_n). Смешанный момент второго порядка называетсякорреляционнойфункцией

. (3.0)

Для совпадающих моментов времени B(t,t) = <²(t)>.

Центральный смешанный момент второго порядка

(t₁, t₂) = <[(t₁) – <(t₁)>] [(t₂) – <(t₂)>]> = B(t₁, t₂) – <(t₁)><(t₂)>.

При t=t₁=t₂он равен дисперсии случайного процессаD[(t)]. Часто упо­т­реб­ля­ется также нормированный коэффициент корреляции

.

Нетрудно показать, что |R(t₁,t₂)|R(t,t) = 1. Если значение(t₁) и(t₂) статистически независимы, тоR(t₁,t₂) = 0.

Для случайных функций, так же как и для случайных величин, можно ввести условную функцию распределения

v_k(t₁,x₁, …,t_k,x_k | t_{k + 1},x_{k + 1}, …,t_n,x_n)dx₁…dx_k=

= P{x₁(t₁)x₁+dx₁, …,x_k(t_k)x_k+dx_k |(t_{k + 1}) =x_{k + 1}, …,(t_n) =x_n}.

Тогда по аналогии с формулой (1.13 в новых лекциях 1.18)можно записать:

_n(t₁, x₁, …, t_n, x_n) = _{n – k}(t_{k + 1}, x_{k + 1}, …, t_n, x_n)v_k(t₁, x₁, …, t_k, x_k|t_{k + 1}, x_{k + 1}, …, t_n, x_n). (3.0)

Можно также ввести условные моменты, например, условноесреднее:

. (3.0)

Тогда, пользуясь соотношениями (3.4)и (3.5),можно записать корреляционную функцию (3.3)в виде

Корреляционная функция B(t₁,t₂) настолько важна, что существует специальнаякорреляционнаятеорияслучайных процессов, рассматривающая только одно- и двухмерные функции распределения, что достаточно для вычисления функции корреляции.

Заметим, что так как для стационарных случайных процессов одномерная функция распределения не зависит от времени t,то

.

Для функции корреляции стационарного случайного процесса получаем:

,

где =t₂–t₁. Заметим, чтоB(), а значит и (), иR() – четные функции:

B() = <(t)(t + )> = <(t – )(t)> = B(–).

В рамках корреляционной теории возможно более широкое определение ста­ци­онарного процесса. Стационарнымивширокомсмысле, или стаци­о­нар­ны­ми по Хинчину называются случайные функции, функция корреляции которых зависит только от разности=t₂–t₁и конечна при = 0.Естественно, что из об­щей (узкой) стационарности следует широкая стационарность при конечном значении <²(t)>.