5.2.Распределение вероятностей на выходе линейной системы

Рассмотрим случай воздействия на систему стационарного гауссова слу­чайного процесса ₁(t) =₁(t) +₁(t), где <₁(t)> = 0, то есть,

<₁(t) > = <₁(t)> =x. Поскольку для стационарного процесса все его моменты постоянны, то двумерное совместное распределение гауссова процесса имеет вид (1.17):

(5.0)

где обозначено =t₂–t₁, ,

₁² = D[₁(t)] = D[₁(t)]. Естественно,что любое одномерное распределение гаус­сов­а процесса должно быть нормальное вида (1.8):

. (5.0)

Случайный процесс ₂(t) на выходе системы можно записать в виде интеграла Дюамеля (5.1):

.

В этой сумме все случайные величины ₁(n) имеют нормальное распределение (5.6),соответственно и их сумма с любыми весовыми коэффициентами независимо от числа слагаемыхnбудет иметь нормальное распределение. Значит, и процесс₂(t), определяемый как предел суммы приn, также будет иметь нормальное распределение вида (5.6),но уже с другими моментами. Нетрудно видеть, что с учётом формул (5.2)и (5.4),

.

Поэтому двумерное распределение процесса на выходе линейной системы –нормальное вида (5.5),но с другими параметрами.

Пусть теперь процесс на входе ₁(t) не гауссов, но система узкополосная, то есть<<₁, где– интервал частот, на котором отлична от нуля АЧХ системыk();₁ –интервал частот, на котором отлична от нуля спектральная интенсивностьG₁(i) случайного процесса на входе. С учётом соотношения неопределённостей (4.8)это условие с учетом формулы (4.17) принимает вид:_k<<_p, где_k–интервалкорреляциипроцесса₁(t); _p –интервалрелаксации, определяемый условиемh(>_p) = 0. Выберем интервал, удовлетворяющий ус­ловию_k<<<<_p, и перепишем интеграл Дюамеля (5.1)в виде:

,

где .

Поскольку >>_k,можно считать, что величины_nнекоррелированы, по­э­то­му процесс₂(t) представляет собой сумму большого числа не­кор­ре­ли­ро­ван­ных случайных величин и в силу центральной предельной теоремы является га­ус­сов­ым (нормальным) процессом. Это утверждение называетсятеоремойонор­мализации.

5.3.Узкополосный гауссов процесс

Случайный процесс, как и детерминированный, можно представить в различных формах через огибающую(t) ифазу(t):

(t) = (t)cos[₀t + (t)]; (5.0)

через квадратурныекомпоненты(t) и(t):

(t) = (t)cos(₀t) – (t)sin(₀t) (5.0)

или через комплекснуюамплитуду:

. (5.0)

Такое представление особенно плодотворно для узкополосногопроцесса,удов­лет­воряющего условию:<<₀,G(|–₀| >) = 0, где₀–центральнаячастота. Тогда(t),(t),(t),(t),– медленно (в сравнении с 1/₀)меняющиеся функции времени.

Заметим, что в записи (5.7)или (5.8)одной случайной функции(t) ста­вятся в соответствие две случайные функции:(t) и(t) или(t) и(t). Такая про­цедура неоднозначна, и можно наложить дополнительное условие. Например, если существует производнаяd(t)/dt, то положим

.

В этом случае

d(t)/dt= –₀(t)sin[₀t+(t)],

то есть при дифференцировании узкополосного случайного процесса (5.7)мож­­но пренебречь производными медленно изменяющихся функций(t) и(t).Фор­му­лы (5.7)– (5.9)связаны друг с другом простыми соотношениями:

Будем считать как сам процесс (t), так и процессы(t),(t),(t),(t),стационарными. Можно показать, что в этом случае распределение процесса(t) должно быть симметричным:(х) =(–х). Пусть <(t)> = 0. Тогда:

<(t)> = <(t)> = 0, (5.0)

Это значит, что

, (5.0)

, (5.0)

где – мощность процесса(t). Нетрудно видеть, что

,

то есть р(0) = 1. С учетом формул (5.11) и (5.12) выражение для функции автокорреляции принимает вид:

B() = ²p()cos(₀) – ²q()sin(₀) = ²R(), (5.0)

где R() = r()cos(₀ + ()), .

Вводя в формуле (4.4)новую переменную=  – ₀,получим:

Сравнивая это выражение с соотношением (5.13), находим:

, (5.0)

. (5.0)

Следовательно, q() = –q(–),q(0) = 0, то есть, в соответствии с формулой (5.12)в совпадающие моменты времени квадратурные компоненты не коррелированны:

<> = 0.

Кроме того, если функция G⁺() симметрична относительно центральной частоты₀, то естьG⁺(₀+) =G⁺(₀–), тоq() = 0 и

B() = ²p()cos(₀). (5.0)

При этом, естественно,с учётом соотношения (5.14)

.

Сравнивая эти соотношения с формулой (4.3),видим:

.

Соответственно для комплексной амплитуды нетрудно получить:

(5.0)

Если спектр G⁺() симметричен относительно центральной частоты₀, то

.

Наиболее интересные результаты анализа получаются для случая, когда (t) и(t) – стационарные гауссовы процессы, тогда и(t) – стационарный гауссов процесс. Из соотношений (5.10) – (5.12)следует, что (t),(t) и(t) имеют одинаковые два первых момента, и, следовательно, одинаковые распределения вида (1.8):

.

В силу отсутствия корреляции (5.16)(t) и(t) имеют совместное распределение вида (1.17)приr= 0, то есть:

. (5.0)

Следовательно, (t) и(t) независимы. Тогда, как показано в п. 1.5,огибающая(t),то есть модуль вектора с компонентами ((t),(t)), имеет релеевское распределение вида (1.18):

. (5.09)

Поскольку якобиан преобразования известен , то с помощью формулы (2.3) из совместного распределения (5.18) можно найти совместное распределение огибающей и фазы:

.

Сравнивая это выражение с формулой (5.18),видим, что() = 1/(2). То есть огибающая и фаза узкополосного стационарного нормального процесса ста­тис­ти­чески независимы, причём огибающая имеет релеевское распределение, а фаза –равномерное.

Нетрудно найти моменты распределения (5.18):

.

Для интенсивности i=²/2 узкополосного нормального процесса с учётом фор­­мулы (2.1)получаем:(I) =exp(–I/²)/²–экспоненциальноераспределение.