8.4. Уравнение для средних

Рассмотрим нелинейное дифференциальное стохастическое уравнение пер­вого порядка вида (8.1):

(8.0)

и будем полагать, что (t) –дельта-коррелированный процесс (белый шум)

(t + )(t) = 2C().

Пусть x(t)–решение уравнения (8.14).Рассмотрим вспомогательную, но очень важную задачу. Пусть известна функция f[x(t)],найдём функцию[x(t)] такую, что

f[x(t)](t) = [x(t)].

Для любого момента времени tи любого> 0 можно записать:

.

В силу причинности значение f[x(t – )]зависит только от значений(t  t – )и в силу дельта-коррелированности процесса(t)не коррелированны со значением (t).То есть в среднее значение f[x(t)](t)может дать вклад только коррелированная компонентаf^(k)(t):f(t)(t)=f^(k)(t)(t), где

.

Здесь штрихом обозначено дифференцирование по х ,а точкой – поt.

Из-за инерциальности системы, описываемой уравнением (8.14), x(t)ме­ня­ется мед­лен­но в сравнении с белым шумом(t), столь же медленно меняются функцииa(x) иb(x), поэтому коррелировать с белым шумом(t)может только членb(t).В силу произвольности,выберем его много меньше времени корреляции процессаx(t), <<_k(x). Тогда функцииf '(t) и b(t) на интервале интегрирования и чуть-чуть вне его почти постоянны, то есть:

.

Опять же в силу дельта-коррелированности процесса (t)функции(t)ине коррелированны с функциейf '(t– 2)b(t– 2). Тогда:

.

Здесь мы учли, что

и положили . Таким образом, мы получили:

, (8.0)

то есть (x) =Cf '(x)b(x).

Рассмотрим теперь среднее от производной произвольной функции , зависящей от решенияx(t) уравнения (8.14). С одной стороны,

(8.0)

в том смысле, в каком определена производная. С другой стороны, в силу уравнения (8.14) . Полагая в соотношении (8.15) F 'b = f,получим:

.

С учётом соотношения (8.16)окончательно получим:

. (8.0)

Уравнение (8.17) –дифференциальное уравнение для средних значений функцииF(x). В частности, полагаяF(x) =x, получим уравнение для среднего значенияx=m₁:

.

Например, для линейного уравнения вида (8.14)

,

то есть для уравнения со случайными коэффициентами, имеем:

.

Решение этого уравнения можно записать в виде интеграла Дюамеля:

.

Вообще говоря, для уравнения такого вида можно найти все моменты. По­ложив F(x) =xⁿ, получим замкнутую систему уравнений:

. (8.0)

Заметим, что точное решение этого уравнения вида (8.7)усреднить по случайному параметру очень трудно. ПоложивF(x) =exp(iux), для характеристической функции(u) =F(x)получим уравнение:

.

Уравнение для средних (8.17)часто удобно записать в другой форме. Поскольку

то, полагая проинтегрированные члены равными нулю, так как () = 0,получим из уравнения (8.17):

. (8.0)

Заметим, что

.

Если выбрать F(x) =(x–x₁), тоF(x)=(t,x₁),F(x)/t = (t,x₁)/t. Подставляя эти выражения в соотношение (8.19),получим уравнение ФПК:

. (8.0)

Если переписать его в другом виде

и сравнить с уравнением ФПК вида (7.22),то получаем связь коэффициентов сно­са и диффузии с коэффициентами дифференциального стохастического ура­в­­нения (8.14):

A = Cbb' – a, B = 2Cb².